《直线与圆的位置关系》2.1.1《直线和圆的位置关系》

1.点 和 圆 的 位 置 关 系 有 几 种 ？ 点 在 圆 内 点 在 圆 上 点 在 圆 外 dr rO rO rO 用 数 量 关 系 如 何 来 判 断 ？ (d表 示 点 到 圆 心 O的 距 离 ) 2、 如 果 我 们 把 太 阳 看 成 一 个 圆 ， 地 平 线 看 成 一 条直 线 ,那 你 能 根 据 直 线 与 圆 的 公 共 点 的 个 数 想 象 一下 ， 直 线 和 圆 的 位 置 关 系 有 几 种 ？ 在 日 出 过 程 中 ,你 认 为 地 平 线 与 太 阳 之 间 的 位 置 关 系是 怎 样 变 化 的 ？ 它 是 否 和 “ 点 与 圆 的 位 置 关 系 ” 类 似 ， 也 可 以 从 形和 数 量 关 系 上 加 以 研 究 ？ 我 们 把 太 阳 与 地 平 线 分 别 抽 象 成 圆 和 直 线 ，那 么 直 线 与 圆 有 几 种 位 置 关 系 ? 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 O O O相 交 相 切切 线 切 点 相 离割 线 当 直 线 与 圆 有 两 个 公 共 点 时 ， 叫 做 直 线 与 圆 相 交 ；形 当 直 线 与 圆 有 唯 一 公 共 点 时 ， 叫 做 直 线 与 圆 相 切 ；当 直 线 与 圆 没 有 公 共 点 时 ， 叫 做 直 线 与 圆 相 离 。 （ 1） 当 直 线 和 圆 相 离 时 ， 直 线 和 圆 一 定 没 有 公 共 点 。 （ ） （ 3） 过 O内 一 点 P作 直 线 l,则 直 线 l与 O相 交 。 （ ）（ 4） 过 O外 一 点 P作 直 线 l， 则 直 线 l与 O相 切 或 相 交 。 （ ）（ 5） 过 O上 一 点 p作 直 线 l， 则 直 线 l与 O相 切 。 （ ）（ 2） 直 线 和 圆 有 公 共 点 时 叫 做 直 线 和 圆 相 切 . （ ） 1、 过 O内 两 点 、 ， 作 直 线 l,则 直 线 l与 O的 位 置 关 系 是 _2、 过 O外 两 点 、 ， 作 直 线 l,则 直 线 l与 O的 位 置 关 系 是 _3、 过 O内 一 点 P作 直 线 l,则 直 线 l与 O的 位 置 关 系 是 _ 、 过 O外 一 点 P作 直 线 l,则 直 线 l与 O的 位 置 关 系 是 _ 、 过 O上 一 点 P呢 ？ _相 交 相 交 、 相 切 、 相 离 相 切 、 相 交相 交相 交 、 相 切 、 相 离 用 数 学 的 眼 光 看 生 活 用 数 学 的 眼 光 看 生 活 用 数 学 的 眼 光 看 生 活 如 图 .O为 直 线 L外 一 点 ,OT L,且 OT=d.请 以 O为 圆 心 ,分 别 以 为 半 径 画 圆 .所 画 的圆 与 直 线 l有 什 么 位 置 关 系 ?ddd 23,21 LTOd 看 图 判 断 直 线 l与 O的 位 置 关 系（ 1） （ 2） （ 3）（ 4） （ 5）相 离 相 切相 交相 交 ？l l ll lO O O O O （ 5） ？ l 如 果 ， 公 共 点 的 个 数 不 好 判 断 ，该 怎 么 办 ？OA B ddd .O.O .O rrr 相 离相 切相 交（ 3） 直 线 与 圆 相 离（ 2） 直 线 与 圆 相 切（ 1） 直 线 与 圆 相 交当 直 线 与 圆 相 离 、 相 切 、 相 交 时 ， 圆 心 到 直 线 的距 离 d与 圆 的 半 径 r有 何 关 系 ？ lll数 dr 设 O的 半 径 为 r,圆 心 O到 直 线 L的 距 离 为 d,根 据 下 列 条 件判 断 直 线 L与 O的 位 置 关 系 :(1)d=4,r=3 (2)d=1,r= (3) (4) 3 53,32 rd52,52 rd 2 在 Rt ABC 中 ， C = 90 ， AC = 3 cm , BC = 4 cm , 以 C 为 圆 心 ， r 为 半 径 的 圆 与 AB 有 怎 样 的 关 系 ？ 为 什 么 ？（ 1） r = 2 cm ; (2) r = 2.4 cm ; (3) r = 3 cm .解 ： 过 C 作 CD AB 于 D， 在 Rt ABC 中 ,543 2222 BCACAB根 据 三 角 形 面 积 公 式 有CD AB = AC BC )(4.2543 cmABBCACCD 即 圆 心 C 到 AB 的 距 离 d = 2.4 cm .(1) 当 r = 2 cm 时 ， 有 d r ， 因 此 C 和 AB 相 离 . (2) 当 r = 2.4 cm 时 ， 有 d = r ， 因 此 C 和 AB 相 切 . (3) 当 r = 3 cm 时 ， 有 d r ， 因 此 C 和 AB 相 交 . 变 式 ： 在 ABC 中 ， ACB=90 ， AC=3cm，BC=4cm， 设 C的 半 径 为 r。1、 当 r满 足 _时 ， C与 直 线 AB相 离 2、 当 r满 足 _ 时 ， C与 直 线 AB相切 ABC D3cm4cm 2.4cm3、 当 r满 足 _时 ， C与 直 线 AB相交 BC AD变 式 ： 若 要 使 圆 C与 线 段 AB只 有 一 个 公 共 点 ， 这时 圆 C的 半 径 r 有 什 么 要 求 ？ 当 r = 2.4或 3 r 4时 ，圆 C与 线 段 AB只有 一 个 公 共 点 。 总 结 判 定 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 的 方 法 有 _种 ：(1)根 据 定 义 ,由 直 线 与 圆 的 公 共 点 的 个 数 来 判 断 ； (2)根 据 定 理 ,由 圆 心 到 直 线 的 距 离 d与 半 径 r的 关 系 来 判 断 。两例 1已 知 :如 图 ,P为 ABC的 角 平 分 线 上 一 点 , P与 BC相 切 .求 证 ： P与 AB相 切 .直 线 与 圆 相 切 d=r 船 有 无 触 礁 的 危 险 例 ： 在 码 头 的 北 偏 东 方 向 有 一 个 海 岛 ， 离该 岛 中 心 点 的 海 里 范 围 内 是 一 个 暗 礁 区 。 货 船 从 码头 由 西 向 东 方 向 航 行 ， 行 驶 了 海 里 到 达 点 ， 这 时岛 中 心 在 北 偏 东 方 向 。w若 货 船 不 改 变 航 向 ， 你 认 为 货 船 会 有 触 礁 的 危 险 吗 ?P A B H 北600 450 暗 礁 区 例 . 在 码 头 A的 北 偏 东 60 方 向 有 一 个 海 岛 ， 离该 岛 中 心 P的 12海 里 范 围 内 是 一 个 暗 礁 区 。 货 船从 码 头 A由 西 向 东 方 向 航 行 ， 行 驶 了 10海 里 到 达B， 这 时 岛 中 心 P在 北 偏 东 45 方 向 。 若 货 船 不改 变 航 向 ， 问 货 船 会 不 会 进 入 暗 礁 区 ？ BA P 60 30 解 :如 图 ,作 PH AB,垂 足 为 H .则 PAH =30 PBH =45 ， 货 船 不 会 进 入 暗 礁 区 H45 AH = PH , BH =PH3 AH -BH =AB=10 PH -PH =103 10 -13PH = 13.66(海 里 ) . 13.66 12 2.如 图 ,在 Rt ABC中 , ACB=900,AC=6cm,CB=8cm.设 C的 半 径 为 r,根 据 下 列 r的 值 ,判 断 直 线 AB与 C的 位 置 关 系 ,并 说 明 理 由 . (1)r=4cm (2)r=4.8cm (3)r=6cm知 识 运 用 D C B A ABC D6cm8cm(1) r = 4 （ 2） r =4.8 ABC D6cm8cm （ ） r =6 ABC D6cm8cm当 r =4cm时 ， d r， C 与直 线 AB相 离 ； 当 r =4.8 cm时 ， d = r， C 与 直 线 AB相 切 ； 当 r =6cm时 ， d r， C 与 直 线 AB相 交 。4. 8 cm 4. 8cm 4. 8cm 变 式 :在 ABC 中 ， ACB=90 ， AC=6cm，BC=8cm， 设 C的 半 径 为 r。1、 当 r满 足 _时 ， C与 直 线 AB相 离 2、 当 r满 足 _ 时 ， C与 直 线 AB相 切 r 4. 8cmr=4.8 cm ABC D6cm8cm 4.8cm3、 当 r满 足 _时 ， C与 直 线 AB相 交 r 4.8 cm4、 当 r满 足 _ 时 , C与 线 段 AB只 有 一 个 公 共 点 .0cmr=4.8cm r 8cm或 6cmr 1d=r切 点切 线 2dr交 点割 线 ld r ld r Oldr图 形 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 公 共 点 的 个 数 圆 心 到 直 线 的 距 离d与 半 径 r的 关 系 公 共 点 的 名 称 直 线 名 称 .A C B. .相 离 相 切 相 交 直 线 与 圆 的 三 种 位 置 关 系 判 定 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 的 方 法 有 _种 ：（ 1） 由 _ 的 个 数 来 判 断 ；（ 2） 由 _ 的 数 量 大 小 关 系 来 判 断 注 意 ： 在 实 际 应 用 中 ， 常 采 用 第 二 种 方 法 判 定 两直 线 与 圆 的 公 共 点圆 心 到 直 线 的 距 离 d与 半 径 r O北AC 1C12)台 风 沿 OA方 向 以 每 小 时 20公 里 的 速 度 正 面 袭 击 A城 市 .几 点 钟 开 始 公 路 必 须 停 止 运 营 ？ 例 2、 我 省 的 气 象 台 上 午 6点 测 得一 台 风 中 心 位 于 A市 南 偏 东 30方向 280公 里 的 海 面 上 ， 预 计 他 的周 围 100公 里 范 围 要 受 到 台 风 影响 。 如 图 有 一 公 路 经 过 A城 市横 穿 南 北 。 问 ： 1） 此 时 该 公 路 有 没 有 受 到 台 风 的 影 响 ? 3)受 台 风 影 响 雷 达 出 故 障 ， 只 测 得 台 风 中 心 位 于 A市 南 偏 东30方 向 ,A市 正 南 方 向 的 B市 测 得 台 风 中 心 位 于 B市 东 南 方 ，预 计 他 的 周 围 100公 里 范 围 要 受 到 影 响 。 如 图 有 一 公 路 经过 A、 B两 市 ,已 知 AB两 城 市 距 离 100公 里 . O 北AB此 时 该 公 路 有 没 有 受 到 台 风 的 影 响 ? C北 LA B CO 挑 战 自 我 在 Rt ABC 中 ， C = 90 ， AC = cm , BC = cm , 以 C 为 圆 心 ， r 为 半 径 画 圆（ 1） r = cm时 ， 圆 与 直 线 ; (2) r = 2.4 cm时 ， 圆 与 直 线 ; (3) r = 3 cm 时 ， 圆 与 直 线 ；（ ） 若 圆 与 斜 边 只 有 一 个 公 共 点 ， 求 r 的 取 值 范 围 1、 已 知 圆 的 直 径 为 13cm， 设 直 线 和 圆 心 的 距 离 为 d ：1)若 d=4.5cm ,则 直 线 与 圆 , 直 线 与 圆 有 _个 公 共 点 . 相 交 23)若 d=8cm ,则 直 线 与 圆 _, 直 线 与 圆 有 _个 公 共 点 . 2)若 d=6.5cm ,则 直 线 与 圆 _, 直 线 与 圆 有 _个 公 共 点 . 相 切相 离 10 .A O xy2、 已 知 A的 直 径 为 6， 点 A的 坐 标 为 （ -3， -4） ，则 A与 X轴 的 位 置 关 系 是 _, A与 Y轴 的 位 置 关 系 是 _。 B C4 3相 离相 切课 内 练 习 1 1.已 知 Rt ABC的 斜 边 AB=8cm,直 角 边 AC=4cm.n以 点 C为 圆 心 作 圆 ,当 半 径 为 多 长时 ,AB与 C相 切 ? AC B D例 1； 例 1 已 知 Rt ABC中 ， C=90 ， AC=6 , BC=8cm,以 点 C为 圆 心 ,r为 半 径 的 圆 与 AB所 在 的 直 线 有何 位 置 关 系 ？ AC BD以 点 为 圆 心 为 半 径 的 圆 与 所 在 的 直 线 有何 位 置 关 系 ？(1) r=4 ; (2) r=4.8cm ; (3)r=6cm 如 果 该 货 船 将 一 批 重 要 物 资 运 往 M处 ， 到 达 后 必 须 立 即卸 货 .此 时 ， 接 到 气 象 部 门 的 通 知 ， 一 台 风 中 心 正 以 40海 里 /小 时 的 速 度 由 N处 （ N在 M的 正 西 320海 里 处 ）向 北 偏 西 60 的 方 向 移 动 ， 距 台 风 中 心 200海 里 的 圆形 区 域 (包 括 边 界 ） 均 会 受 到 影 响 ， 问 ：（ 1） M处 是 否 会 受 到 影 响 ？（ 2） 若 使 该 船 不 受 台 风 影 响 ， 应 在 多 长 时 间 内 卸 完 货 物 ？ M NDF EC 32030 2、 已 知 圆 心 和 直 线 的 距 离 为 4cm， 如 果 圆 和 直 线 的 关 系 分 别为 以 下 情 况 ， 那 么 圆 的 半 径 应 分 别 取 怎 样 的 值 ？（ 1） 相 交 ； （ 2） 相 切 ； （ 3） 相 离 。练 一 练 ！1、 已 知 圆 的 直 径 为 13cm， 如 果 直 线 和 圆 心 的 距 离 分 别 为 （ 1） d=4.5cm （ 2） d=6.5cm （ 3） d=8cm， 那 么 直 线 和 圆 有 几 个 公 共 点 ？ 为 什 么 ? 例 、 在 Rt ABC中 ， C=900， AC=3cm， BC=4cm. C B A (1)以 A为 圆 心 ， 3cm为 半 径 的 圆 与 直 线 BC的 位 置 关 系 是 ; 以 A为 圆 心 ， 2cm为 半 径 的 圆 与 直 线 BC的 位 置 关 系 是 ; 以 A为 圆 心 ， 3.5cm为 半 径 的 圆 与 直 线 BC的 位 置 关 系 是 .(2)以 C为 圆 心 ， 半 径 r为 何 值 时 ， C与 直 线 AB相 切 ？ 相 离 ？ 相 交 ？ 相 切相 交相 离 课 后 思 考 垂 直 于 半 径 的 直 线 是 圆 的 切 线 吗 ？ 过 半 径 外 端 的 直 线 是 圆 的 切 线 吗 ？ 过 半 径 的 一 端 且 垂 直 于 半 径 的 直 线 是 圆 的 切 线 吗 ？ 过 半 径 外 端 且 垂 直 于 半 径 的 直 线 是 圆 的 切 线 吗 ？ 分 层 作 业 ：1.基 础 题 ： 作 业 本 (2)P21；2.自 选 题 ： B OA 如 图 ， 一 热 带 风 暴 中 心 O距 A岛 为 2千 米 ， 风暴 影 响 圈 的 半 径 为 1千 米 .有 一 条 船 从 A岛 出 发 沿AB方 向 航 行 ， 问 BAO的 度 数 是 多 少 时 船 就 会 进入 风 暴 影 响 圈 ？ 练 一 练 ： 在 南 部 沿 海 某 气 象 站 A测 得 一 热 带 风 暴从 A的 南 偏 东 30 的 方 向 迎 着 气 象 站 袭 来 ，已 知 该 风 暴 的 速 度 为 每 小 时 20千 米 ， 风 暴周 围 50千 米 范 围 内 将 受 到 影 响 ， 若 该 风 暴不 改 变 速 度 和 方 向 ， 问 气 象 站 正 南 方 60千米 的 沿 海 城 市 B是 否 会 受 这 次 风 暴 的 影 响 ？若 不 受 影 响 ， 请 说 明 理 由 ； 若 受 影 响 ， 请 求出 受 影 响 的 时 间 。 如 图 ， 在 直 角 梯 形 ABCD中 ， B=90 ， AD BC, C= 30 ， AD=1， AB=2. 试 猜 想 在 BC是 否 存 在 一 点 P， 使 得 P与 线 段 CD、AB都 相 切 ， 如 存 在 ， 请 确 定 P的 半 径 . 挑 战 自 我 ！ 30 D CB A