《平面向量的坐标运算》课件

O xy a 引 入 :1.平 面 内 建 立 了 直 角 坐 标 系 ,点 A可 以 用 什 么 来表 示 ?2.平 面 向 量 是 否 也 有 类 似 的 表 示 呢 ? O xy A(a,b)ab a 3.复 习 平 面 向 量 基 本 定 理 :如 果 e1 , e2是 同 一 平 面 内 的 两 个 不 共 线 的 向 量 ，那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 a ， 有 且 只 有一 对 实 数 1 , 2 使 得 a= 1 e1+ 2 e2.不 共 线 的 两 向 量 e1 , e2 叫 做 这 一 平 面 内 所有 向 量 的 一 组 基 底 .什 么 叫 平 面 的 一 组 基 底 ?平 面 的 基 底 有 多 少 组 ? 无 数 组 其 中 x叫 做 a在 x轴 上 的 坐 标 ， y叫 做 a在 y轴 上 的 坐 标 .(1)取 基 底 : 与 x轴 方 向 ,y轴 方 向 相同 的 两 个 单 位 向 量 i、 j作 为 基 底 . xyo ij a)y,x(a 式 叫 做 向 量 的 坐 标 表 示 .注 ： 每 个 向 量 都 有 唯 一 的 坐 标 .（ 一 ） 平 面 向 量 坐 标 的 概 念(2) 任 作 一 个 向 量 a，由 平 面 向 量 基 本 定 理 ， 有 且 只有 一 对 实 数 x、 y， 使 得 a=xi+yj.我 们 把 (x,y)叫 做 向 量 a的 坐 标 ，记 作 得 到 实 数 对 : 例 1.用 基 底 i , j 分 别 表 示 向 量 a,b,c,d,并 求 出 它 们 的 坐 标 .-4 -3 -2 -1 1 2 3 4A Bij12-2-1O xy abc d 问 1 :设 的 坐 标 与 的 坐 标 有 何 关 系 ? ,a AB a A B、 453 2 3(2,3)AB i j 2 3( 2,3)b i j 2 3( 2, 3)c i j 2 3(2, 3)d i j a 的 坐 标 等 于 AB的 终 边 坐 标 减 去 起 点 坐 标 。 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y 若 则 AB 问 2:什 么 时 候 向 量 的 坐 标 和 点 的 坐 标 统 一 起 来 ？ 问 1 :设 的 坐 标 与 的 坐 标 有 何 关 系 ? ,a AB a A B、问 3:相 等 向 量 的 坐 标有 什 么 关 系 ？ 1A Bij1O xy a A1B1(x1,y1) (x2,y2)P(x,y) b2 1 2 1( , )x x y y 结 论 1:一 个 向 量 的 坐 标等 于 表 示 此 向 量 的 有向 线 段 终 点 的 坐 标 减去 始 点 的 坐 标 。 4 3 2 1 -1 -2 -3 -2 2 4 6i j ），（ yxP ( , )OP xi y j x y 向 量 的 坐 标 与 点 的 坐 标 关 系O 向 量 P（ x ， y）一 一 对 应OPxiy j 小 结 :对 向 量 坐 标 表 示 的 理 解 :(1)任 一 平 面 向 量 都 有 唯 一 的 坐 标 ;(2)向 量 的 坐 标 等 于 终 点 坐 标 减 去 起 点 坐 标 ；当 向 量 的 起 点 在 原 点 时 ， 向 量 终 点 的 坐 标 即 为向 量 的 坐 标 .(3)相 等 的 向 量 有 相 等 的 坐 标 .),(),( 2211 yxbyxaba ，若 .,),(),( 21212211 yyxxyxyx 即则 练 习 :在 同 一 直 角 坐 标 系 内 画 出 下 列 向 量 .(1) (1,2)a (2) ( 1,2)b (1,2)A. xyo a xy o( 1,2)B .b 1 1 2 2( , ), ( , ), ,( , ) ,a x y b x y a b a ba x y a 问 题 : (1)已 知 求 的 坐 标 . (2)已 知 和 实 数 求 的 坐 标 .（ 二 ） 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 ： 1 1 2 2(1)a b x i y j x i y j 1 2 1 2( , )a b x x y y 同 理 得 (2) ( , )a xi y j xi y j x y 结 论 2： 两 个 向 量 和 与 差 的 坐 标 分 别 等 于 这 两 个 向量 相 应 坐 标 的 和 与 差 .结 论 3： 实 数 与 向 量 数 量 积 的 坐 标 等 于 用 这 个 实 数乘 原 来 向 量 的 相 应 坐 标 . 1 2 1 2x x i y y j 1 2 1 2( , )x x y y 已 知 ， 求 的 坐 标 . AB O xy B(x2,y2)A(x1,y1)AB OB OA 结 论 1:一 个 向 量 的 坐 标 等 于 表 示 此 向 量 的 有 向线 段 终 点 的 坐 标 减 去 始 点 的 坐 标 。1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y从 向 量 运 算 的 角 度 2, 2 1 1( ) ( , )x y x y 2 1 2 1( , )x x y y 2 (2,1), ( 3,4), , , 3 4 a b a b a ba b 例 ： 已 知 求的 坐 标 .(2,1) ( 3,4) ( 1,5)a b 解 ： (2,1) ( 3,4) (5, 3)a b 3 4 3(2,1) 4( 3,4)(6,3) ( 12,16)a b ( 6,19) 例 3已 知 三 个 力 1F (3, 4), 2F (2, 5), 3F (x, y)的 合 力1F + 2F + 3F = 0求 3F的 坐 标 。解 ： 由 题 设 1F + 2F + 3F = 0 得 ： (3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)即 ： 054 023 yx 15yx 3F (5,1) (2,3), ( 3,5),A B BA 例 4、 1 已 知 求 的 坐 标 . (1, 2), (2,1),AB A B 2 已 知 求 的 坐 标 .解 ： BA 2,3 3,5 5, 2 . ,解 ： 设 B x,y 1, 2 , 2,1 ,AB x y 1 2 2 1xy 即 31xy .即 B 3,-1 例 5： 已 知 平 行 四 边 形 ABCD的 三 个 顶 点 A、 B、 C的 坐 标 分 别 为 （ -2， 1） 、 （ -1， 3） 、 （ 3， 4） ，求 顶 点 D的 坐 标 。 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 xyOA(-2,1)B(-1,3) C(3,4)D(x,y) , )D x y解 ： 设 顶 点 的 坐 标 为 （ )2,1()13),2(1( AB )4,3( yxDC 1 2 3- ,4 )AB DC x y 有 得 ： （ ， ） （ yx42 31 ），的 坐 标 是 （顶 点 22Dyx 22 Oy xA B CD例 5： 已 知 平 行 四 边 形 ABCD的 三 个 顶 点 的 坐 标分 别 是 （ - 2， 1） 、 （ - 1， 3） 、 （ 3， 4） ， 求顶 点 D的 坐 标 . 变 式 ： 已 知 平 面 上 三 点 的 坐 标 分 别 为 A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)， 求 点 D的 坐 标 使 这 四 点构 成 平 行 四 边 形 四 个 顶 点 。 Oy xAB C解 ： 当 平 行 四 边 形 为 ADCB时 ，由 得 D1=(2, 2)DCAB 当 平 行 四 边 形 为 ACDB时 ，得 D2=(4, 6) D1 D2当 平 行 四 边 形 为 DACB时 ，得 D 3=(6, 0) D3 课 堂 总 结 :1.向 量 的 坐 标 的 概 念 :2.对 向 量 坐 标 表 示 的 理 解 :3.平 面 向 量 的 坐 标 运 算 :(1)任 一 平 面 向 量 都 有 唯 一 的 坐 标 ;(2)向 量 的 坐 标 与 其 起 点 、 终 点 坐 标 的 关 系 ；(3)相 等 的 向 量 有 相 等 的 坐 标 . 1 1 2 2( , ), ( , ),a x y b x y (1)若 则 1 2 1 2( , ),a b x x y y 1 2 1 2( , ),a b x x y y 1 1( , )a x y 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y(2)若 2 1 2 1( , )AB x x y y ( , )a xi y j x y 4.能 初 步 运 用 向 量 解 决 平 面 几 何 问 题 : “向 量 ” 的 思 想