连续介质力学-四章

1 第 四 章 连 续 介 质 力 学 的 基 本 原 理 l连续介质的运动应满足自然界的普遍规律，为质量守恒、动量守恒、动量矩守恒、能量守恒以及热力学的基本定律，将这些物理普遍规律以数学形式表达出来是本章的任务。 l按表达形式可分成； 积分型方程：在一个有限的域中表达物理量的关系；容许物理量可以有某种间断存在。 微分型方程：表达微元体的物理量关系;严格地讲要求物理量处处是可导的; 2 41 Lagrange 座标中的基本原理描述（一）质量体（系统）的概念1.定义：由确定的质点所组成的质点集合；流场中闭合流面所包含的全部流体质点（微团）；2.边界面；质量体（或系统）用真实的或假想的边界，将选定的质量体与外界分隔开。3.性质： l质量体的边界面形状将随时间变化（可以发生运动、变形等） l边界面上无质量交换热力学中的闭系统 l边界上可存在力的作用以及能量（热，动）的交换； 如边界上也没有能量交换则称为弧立系统。 3 （二）质量体(闭系统）上的守恒律描述经典力学守恒律描述。1.质量守恒：原理：若不存在质量源(汇),则质量体（闭系统）内的总质量不随时间而变化(物质不灭定律)为物质（随体）导数 * *V dVm 0* V dVDtDDtDm DtD 4 2.动量守恒律：动量方程;原理：系统总动量对时间的变化率等于该瞬时系统所受外力的合力。 K * *VM dVVdmVK * * AVV dAPdVFdVVDtDFDtKD 5 3.动量距守恒-动量距方程系统对某一定点O的动量距随时间的变化率等于系统所受外力对同一点的合力矩。0M * *0 * V AV dAPrdVFrdVVrDtDDtMD 6 4.能量守恒律(热力学第一定律)系统总能量E(动能+内能)随时间的变化率=单位时间内外界对系统所作的动和传人系统的热量之和. QWdVeDtDDtDE V V *)(* 22 V AV A dAnTdVqQ dAVPdVVFW 7 ：单位时间,单位质量吸收的外界的热量；(体积热源，如：辐射热,生成热) 规定热量从系统外传入系统内为正，否则热量从系统内传出系统外，则为负。 上式表示通过微元边界面的传导热。 为热通量矢量。右边多的一个负号是由于规定边界的外法向为正，而规定系统获得热量为正q dAnqdAnT q 8 Lagrange坐标系中的连续方程在Lagrange坐标系中，考察同一个流体微团,在时刻和时刻的两个位置：1在时刻,流体的封闭面为A1，体积为1而在t2 时刻，流体的封闭面为A2，体积为2在Lagrange描述中,采用变量是则在时刻其位置分别为质点在时刻的位置.同样在时刻 质点的密度在时刻分别为1t2t 1t taaa 321 1t)( )( )( 132131 132121 132111 taaafz taaafy taaafx 321 aaa 0t 2t)( )( )( 232132 232122 232112 taaafz taaafy taaafx 21 ,tt 21, 9 根据质量守恒定理，对于无源流场：即：其中0* V dVDtDDtDm 21 2211 VV dVdV 1111 dzdydxdV 2222 dzdydxdV 10 为比较，均按变量转换原则，统一用为积分变量。即： 321 dadada321321 1111 )( )( dadadaaaa zyxdV 321321 2222 )( )( dadadaaaa zyxdV 其中和为Jacobi行列式，定义为：)( )( 321 111 aaa zyx )( )( 321 222 aaa zyx 11若取t1为初始时刻（t=0）,则J1=1所以： 333 222 111321 )( )( azayax azayax azayaxaaa zyxJ 00 3212232111 VV dadadaJdadadaJ constJJ 2211 J 0 12 42 Euler 座标中的基本原理描述控制体：相对于参考坐标系固定不变的某体积内包含的流体。 控制体的形状、大小都不变；控制体的边界上可有质量的交换开系统讨论有限体积的流体在运动过程中遵循的基本规律。 输 运 公 式对于闭系统，物理量在质量体（有限体积）V*(t)内的总量是： )*( *tV dVI 13 其物质（随体）导数的定义是质量体内物理量总和对时间的变化率，即：:注意到散度的概念（单位体积的变形率），有： * * * *)(*)(* V V VV DtdVDdVDtDDtdVDdVDtDDtDI )(*)( VdVDtdVD 14 * * * *)(*)(* V V VV DtdVDdVDtDDtdVDdVDtDDtDI * * * * *)(*)( *)( *)(*)( *)( *)( *)( AV AV VV VVV VdAVndVt dAVndVt dVVdVt dVVt dVVVt dVVdVVt 15 在t0时刻，V*与控制体的体积相重合，故有：结论：任一瞬时，质量体内物理量的物质导数等于该瞬时形状、体积相同的控制体内物理量的局部导数与通过该控制体表面的输运量之和输运公式。利用输运公式可以在Euler描述的时空坐标系中建立对有限域内的基本守恒律(积分型方程)以及微元体内的基本守恒律(微分型方程). V AV dAVndVtdVDtDDtDI )(* 16 Euler描述的基本守恒律微分型方程的推导： *V dVDtDDtDI *)( *)( *)( * *dVVt dVVVt dVVdVVtVVV V dVVt V )( 17 若即0* V dVDtDDtDI 0)( dVVtV 考虑到选择的控制体是任意的，在微积分学中知道：对于任意的连续被积函数，如果其积分值恒等于零，则必有被积函数为零。即： 0)( Vt 18 （一）Euler坐标中的基本方程 19 1。 质 量 守 恒 连 续 方 程 ：令，则对于无源流场，连续方程为：积分型方程：微分型方程： 0)( V AV dAVndVtdVDtDDtDI 0)( Vt 0 VVt 0 VDtD 20 2。 动 量 守 恒 动 量 定 理 ：令输运公式中，则动量方程的积分型方程：V V A V AV dAPdVF dAVnVdVtVdVVDtDDtKD )()( 21 微分型方程：对于动量方程，关键是对表面力的面积分项：的处理考虑到表面力与应力张量的关系：A dAP nP dVdAndAP VAA )( FVVtV )()( 22 0)( Vt FVVtV )()( 1 )( )(FVVtV FVVVtVtV FVVVVtVtV 推导非守恒的形式： 1FDtVD 或： 23 3 动 量 矩 守 恒 方 程 ：积分型方程： V A V AV dAPrdVFr dAVnVrdVt VrdVVrDtDDtMD )()( 24 4. 能 量 守 恒 -能 量 方 程 ： 令输运公式中 积 分 型 方 程 V AV A V AV dAnTdVqdAVPdVVF dAVnVedVt VedVEDtDDtDE )(21(21( 22 )2( 2VeE 25 微 分 型 方 程 ：同样地关键是对表面力的做功项和通过表面的传导热项的处理dVVdAVndAVP VAA )()( dVTdAnTdAnT VAA )()( )()( )2()2( 22 TqVVF VVeVet 26 （二）微分型方程组的封闭性讨论)()()2()2( 22 TqVVFVVeVet 0)( Vt FVVtV )()(（标量）方程的个数：131252因变量个数：密度1速度3内能1温度1应力张量（6）12；所以一般情况下方程不封闭。要解决此问题需下一章讨论本构关系通常可以增加状态方程：),( Tpp )(Tee 27 最简单的一种方程封闭模式理想流体模型理 想 流 体：无粘假设 Ipp ijij 应力张量中只有一个未知量（压力）；则方程个数正好与未知量个数相等。故方程可封闭。不可压缩理想流体的方程封闭性const（状态方程）有：连续方程（1）动量方程（3）4未知量：压力（1）速度（3）4；所以方程已经自成封闭系统，能量方程可在求出速度场和压力场后再单独积分解出。