空间平面与平面的位置关系

b 不 同 在 任 何 一 个 平 面 内 的 两 条 直 线 叫 做 异 面 直 线 。异 面 直 线 的 定 义 : 相 交 直 线 平 行 直 线异 面 直 线空 间 两 直 线 的 位 置 关 系上 节 回 顾 ：公 理 ： 在 空 间 平 行 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 互 相 平 行 异 面 直 线 的 求 法 : 一 作 (找 )二 证 三 求空 间 中 ， 如 果 两 个 角 的 两 边 分 别 对 应 平 行 ， 那 么 这 两 个 角 相 等 或 互 补 等 角 定 理 ：异 面 直 线 的 画 法 用 平 面 来 衬 托异 面 直 线 所 成 的 角 平 移 ， 转 化 为 相 交 直 线 所 成 的 角 3、 如 何 用 符 号 语 言 表 示 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系 。 直 线 a在 平 面 内 ， 记 作 a ； 直 线 a与 平 面 相 交 于 A点 ， 记 作 a=A； 直 线 a与 平 面 平 行 ， 记 作 a ； 第 一 、 二 层 的 底 面 无论 怎 样 延 伸 都 没 有 公 共 点 ； 前 、 后 两 面 房 顶 则有 一 条 交 线 AB A B二 层 楼 房 示 意 图探 究 平 面 与 平 面 之 间 的 位 置 关 系 （ 1） 两 个 平 面 平 行 如 果 两 个 平 面 没 有 公 共 点 ， 我 们 就 说这 两 个 平 面 互 相 平 行 （ 2） 两 个 平 面 相 交 如 果 两 个 平 面 有 公 共 点 ， 它 们 就 相 交 于一 条 过 该 公 共 点 的 直 线 ， 我 们 就 说 这 两 个 平面 相 交 （ 3） 两 个 平 面 的 位 置 关 系 只 有 两 种 两 个 平 面 平 行 没 有 公 共 点 ； 记 为 / 两 个 平 面 相 交 有 一 条 公 共 直 线 ,记 为 a 两 个 平 面 的 位 置 关 系两 平 面 平 行没 有 公 共 点 有 一 条 公 共 直 线两 平 面 相 交 =a位 置 关 系公 共 点符 号 表 示图 形 表 示 画 两 个 互 相 平 行 的 平 面 时 ， 要 注 意 使 表 示平 面 的 两 个 平 行 四 边 形 的 对 应 边 平 行 ， 如 图 1，而 不 应 画 成 图 2那 样 （ 4） 两 个 平 面 平 行 的 画 法图 1 图 2 1.一 个 平 面 内 的 一 条直 线 平 行 于 另 一 个 平面 ,能 否 推 出 这 两 个 平面 平 行 ?2.一 个 平 面 内 的 两 条直 线 平 行 于 另 一 个 平面 ,能 否 推 出 这 两 个 平面 平 行 ?3.无 数 条 呢 ?(不 能 )(不 能 )(不 能 ) 如 果 一 个 平 面 内 有 两 条 相 交直 线 都 平 行 于 另 一 个 平 面 ， 那 么 这 两 个 平 面 平 行 /b/aAbaba ，已 知 ： /求 证 ：证 明 ： 用 反 证 法 . :.1 1 111111DBC DABDCBAABCD平 行 于 截 面 中 的 截 面长 方 体求 证例 1A 1D 1C1BA D B C 说 明 定 理 可 以 简 记 为平 面 与 平 面 平 行 的 判 定.21.要 证 明 平 面 与 平 面 平 行 ,关 键 要 证 明线 面 平 行 ,而 这 又 取 决 于 线 线 平 行 ,因此 在 平 行 关 系 中 线 线 平 行 是 基 础 .面 面 平 行 ”线 面 平 行“ 线 线 平 行 练 习 ）（，）（ ）（，）（ ）（，）（ ）（，）（ ）（，）（ 判 断 ： /5 /4 /3 /2 /1.1 baba baba aa aa aa 练 习 /: /,/ ,.2求 证且 ，是 异 面 直 线已 知 ： ba baba ab 1.一 个 结 论 根 据 两 个 平 面 平 行 及 直 线 和 平 面 平 行 的 定 义 ， 容易 得 出 下 面 的 结 论 ：如 果 两 个 平 面 平 行 ， 那 么 其 中 一 个 平 面 内 的 任 意 一条 直 线 平 行 于 另 一 个 平 面 /,/ aa a线 面 平 行 ”简 记 为 “ 面 面 平 行 2.两 个 平 面 平 行 的 性 质 定 理 面 面 平 行 的 性 质 定 理 ： 如 果 两 个平 行 平 面 同 时 和 第 三 个 平 面 相 交 ，那 么 它 们 的 交 线 平 行 即 ： baba / 如 何 证 明 ? 线 线 平 行 ”简 记 为 “ 面 面 平 行 ab线 线 平 行 线 面 平 行 面 面 平 行 a A1A BB1 CD C1D1.21 .2 111111） 求 截 面 面 积（ 形 ；） 求 证 ： 截 面 是 等 腰 梯（ 作 平 面 截 正 方 体 和 点的 中 点 ， 经 过 对 角 线为 棱点 ，的 棱 长 为已 知 正 方 体例 EDBADE aDCBAABCD FE 练 习求 证 :夹 在 两 个 平 行 平 面 之 间 的 平 行 线 段 相 等 . AB CD已 知 :求 证 : CDABDB CA /, ,/ CDAB 平 面 与 平 面 平 行 的 性 质 的 面 积求 ： 三 角 形 的 面 积 为， ，、于 点、分 别 交 平 面线 段 、于 点、分 别 交 平 面， 线 段、于 点 、分 别 交 平 面， 线 段平 面、 已 知 平 面例 BED AFCBHAB GAEFHF DCGDBA GH361612 9/3 F C G BE D H A 2.在 铁 路 、 公 路 旁 ， 为 防 止 山 体 滑 坡 ， 常 用 石块 修 筑 护 坡 斜 面 ， 并 使 护 坡 斜 面 与 水 平 面 成 适 当的 角 度 ； 修 筑 水 坝 时 ， 为 了 使 水 坝 坚 固 耐 用 ， 必须 使 水 坝 面 与 水 平 面 成 适 当 的 角 度 ， 如 何 从 数 学的 观 点 认 识 这 种 现 象 ？ 公 路四 、 平 面 的 相 交 问 题1、 在 平 面 几 何 中 “ 角 ” 是 怎 样 定 义 的 ？答 ： 从 平 面 内 一 点 出 发 的 两 条射 线 所 组 成 的 图 形 叫 做 角 。2、 定 理 1？ o答 ： 如 果 一 个 角 的 两 边 和 另 一个 角 的 两 边 分 别 平 行 ， 那 么 这两 个 角 相 等 或 互 补 。 A B 想 一 想 AO BBBBBB B 角 两 个 面 组 成 的 图 形 ? 平 面 内 的 一 条 直 线 ， 把 这 个 平 面 分 成两 部 分 ， 每 一 部 分 都 叫 做 半 平 面 。从 一 条 直 线 引 出 的 两 个 半 平 面 所 组 成 的 图形 叫 做 二 面 角 。 这 条 直 线 叫 做 二 面 角 的 棱 ，这 两 个 半 平 面 叫 做 二 面 角 的 面 。l1、 半 平 面 ：2、 二 面 角 ：半 平 面 及 二 面 角 的 定 义 l棱 面面半平面半平面 1、 二 面 角 的 画 法 ：（ 1） 平 卧 式（ 2） 直 立 式二 面 角 的 画 法 与 记 法 2、 二 面 角 的 记 法 ：（ 1） 、 以 直 线 为 棱 ， 以 为 半 平 面 的 二 面 角 记为 ： l l, （ 2） 、 以 直 线 AB 为 棱 ，以 为 半 平 面 的 二 面 角 记为 ： , ABl A B二 面 角 的 画 法 与 记 法 CD DABC 或 记 作 1、 二 面 角 的 平 面 角 ： 以 二 面 角 的 棱 上 任 意 一 点 为 端 点 ， 在 两 个 面 内分 别 作 垂 直 于 棱 的 两 条 射 线 ， 这 两 条 射 线 所 成 的 角叫 做 二 面 角 的 平 面 角 。OO ABA B AOB = BOA ? 等 角 定 理 ： 如 果 一 个 角 的 两 边 和 另一 个 角 的 两 边 分 别 平 行 ， 并 且 方 向 相同 ， 那 么 这 两 个 角 相 等 。 ）注 :（ 1） 二 面 角 的 平 面 角 与 点 的 位 置 无 关 ， 只 与 二 面 角 的 张 角 大 小 有 关 。 （ 2） 二 面 角 是 用 它 的 平 面 角 来 度 量 的 ， 一 个 二 面 角 的 平 面 角 多 大 ， 就 说 这 个 二 面 角 是 多 少 度 的 二 面 角 。 （ 3） 平 面 角 是 直 角 的 二 面 角 叫 做 直 二 面 角 。 （ 4） 二 面 角 的 取 值 范 围 一 般 规 定 为 0, 。二 面 角 的 平 面 角 的 定 义 、 范 围 及 作 法l 2、 二 面 角 的 平 面 角 的 作 法 ：1、 定 义 法 ：根 据 定 义 作 出 来 。2、 作 垂 面 ：作 与 棱 垂 直 的 平 面 与 两 半 平 面的 交 线 得 到 。 (二 面 角 平 面 角 所 在 平 面是 与 棱 l垂 直 的 ) 注 意 ： 二 面 角 的 平 面 角 必 须 满 足 ： （ 1） 角 的 顶 点 在 棱 上 。 （ 2） 角 的 两 边 分 别 在 两 个 面 内 。 （ 3） 角 的 边 都 要 垂 直 于 二 面 角 的 棱 。 o A B o Ao A BB二 面 角 的 平 面 角 的 定 义 、 范 围 及 作 法 l l ll 角 BAO 边 边顶 点从 一 点 出 发 的 两 条 射 线所 组 成 的 图 形 叫 做 角 。定 义构 成 边 点 边 (射 线 )(顶 点 )(射 线 )表 示 法 AOB 二 面 角AB 面面棱 a 从 一 条 直 线 出 发 的 两 个半 平 面 所 组 成 的 图 形 叫做 二 面 角 。面 直 线 面(半 平 面 )（ 棱 ） (半 平 面 )二 面 角 l或 二 面 角 AB图 形角 与 二 面 角 的 比 较 A .O 解 ： sin ADO= 23432 ADO=60 . 二 面 角 l 的 大 小 为 60 . 例 1、 已 知 二 面 角 l ， A为 面 内 一 点 ， A到 的距 离 为 2 ， 到 l 的 距 离 为 4。 求 二 面 角 l 的 大 小 。 lD 分 析 ： 首 先 应 找 到 或 作 出 二 面 角 的 平 面 角 ,然 后 证 明 这 个角 就 是 所 求 的 二 面 角 平 面 角 , 最 后 求 出 这 个 角 的 大 小 。3二 面 角 的 应 用 举 例 1 lAO DlODOAO 由 定 理 得 于，于作 的 平 面 角二 面 角 lADO中 ，AODRt 二 面 角 的 应 用 举 例 2例 2、 如 图 ， 山 坡 倾 斜 度 是 60度 ， 山 坡 上 一条 路 CD和 坡 底 线 AB成 30度 角 .沿 这 条 路 向上 走 100米 ,升 高 了 多 少 ?（ 精 确 到 . 米 ） A DC G HBA C BG DH l PAB 解 ： PA lPA PABl 平 面的 大 小求 为 垂 足 ，等 于已 知 ： 二 面 角例 APB: , 120.3 BAPBPA l lO AO lPB同 理 ， OBPAB OAPAB 平 面 ，设 平 面 lAO lBO 同 理 ， 的 平 面 角为 二 面 角 lAOB 作 棱 的 垂 直 截 面 法 1、 二 面 角 的 定 义 ：2、 二 面 角 的 画 法 和 记 法 ：3、 二 面 角 的 平 面 角 ：4、 二 面 角 的 平 面 角 的 作 法 ：画 法 ： 直 立 式 和 平 卧 式记 法 ： 二 面 角 AB 二 面 角 l 二 面 角 C AB D1、 根 据 定 义 作 出 来2、 利 用 作 棱 的 垂 面 法 作 出 来3、 应 用 三 垂 线 定 理 或 其 逆 定 理 作 出 来从 一 条 直 线 出 发 的 两 个 半平 面 所 组 成 的 图 形 叫 做 二面 角 。 这 条 直 线 叫 做 二 面角 的 棱 。 这 两 个 半 平 面 叫做 二 面 角 的 面 。 1、 二 面 角 的 平 面 角 的 大 小 与 其 顶 点 在 棱 上 的 位 置 无 关2、 二 面 角 的 大 小 用 它 的 平 面 角 的 大 小 来 度 量 课 堂 小 结 思 考 题 AB CD如 图 ， 将 等 腰 直 角 三 角 形 纸 片 沿斜 线 BC上 的 高 AD折 成 直 二 面 角 . 060, BACCDBD求 证 ： 解 :(略 ) 例 .山 坡 的 倾 斜 度 （ 坡 面 与 水 平 面 所 成 的 二面 角 的 度 数 ） 是 ， 山 坡 上 有 一 条 直 道 CD，它 和 坡 脚 的 水 平 线 AB的 夹 角 是 ， 沿 这 条山 路 上 山 ， 行 走 100米 后 升 高 多 少 米 ？60 30 60A C D B HG它就是这个二面角的平面角30 DCA B 解 ： 如 图 所 示 ， DH垂 直 于 过 AB的 水 平 平 面 ， 垂足 为 H， 线 段 DH的 长 度 就 是 所 求 的 高 度 。在 平 面 ABH内 ， 过 点 H作 HG BC， 垂 足 是 G，连 接 GD。 由 三 垂 线 定 理 GD BC.因 此 ， DGH就 是 坡 面 DGC和 水 平 平 面 BCH的 二 面 角 的 平 面 角 ， DGH= 60DH=DGsin600=CDsin300sin600=100sin300sin60043.3(米 )答 ： 沿 直 道 前 进 100米 ，升 高 约 43.3米H GA BDC30 600 0100m 四 、 平 面 和 平 面 垂 直 AB BAB AB 1 平 面 与 平 面 垂 直 的 定 义定 义 两 个 平 面 相 交 ， 如 果 所 成 的 二 面 角 是 直 二 面 角 ， 那 么 就 称这 个 两 个 平 面 互 相 垂 直 ,平 面 和 垂 直 ， 记 作画 两 个 平 面 互 相 垂 直 时 ， 一 般 把 直 面 的 竖 边 画 成 与 水 平 平 面 的横 边 垂 直 。如 图 9-48 所 示2 两 个 平 面 垂 直 的 判 定 定 理如 果 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面 的 一 条 垂 线 ， 那 么 这 两 个平 面 互 相 垂 直 .如 图 9-49所 示 ， 如 果 ， 那 么建 筑 工 人 在 砌 墙 时 ， 常 用 一 端 系 有 铅 坠 的 线 来 检 查 所 砌 的 墙 面 是 否 和 地 面 垂 直 。若 下 垂 的 线 紧 贴 墙 面 ， 便 知 所 砌 的 墙 面 和 地 面 垂 直 ， 即 依 据 为 上 面 的 判 定 定 理 。 如 果 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面 的 一条 垂 线 ， 那 么 这 两 个 平 面 互 相 垂 直l l 面 面 垂 直 的 判 定 定 理符 号 表 示 ： lA BC D线 面垂 直 面 面垂 直线 线垂 直 例 1 如图，AB是 O的直径， PA垂直于 O所在的平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC. 线 线 垂 直线 面 垂 直面 面 垂 直 PA BOC 练 习 1：探究如 图 9-50所 示 ， A是 直 角 三 角 形 BCD所 在 平 面 外一 点 ， ， 平 面 ABC,(1) 四个面的形状怎样？(2) 有哪些直线与平面垂直？(3) 任意两个平面所成的二面角的平面角 如何确定？AB C D090C PA