电磁场理论2010第3章

静 态 场 是 电 磁 场 理 论 的 重 要 组 成 部 分 ；静 态 场 的 基 本 特 性 和 解 法 为 学 习 时 变 电 磁 场奠 定 基 础 。 静 电 场 ： 静 止 且 量 值 不 随 时 间 变 化 的 电 荷 产 生 的 电 场 。静 电 场 是 一 种 相 对 状 态 ， 是 时 变 场 的 极 限 情 况 。 一 、 静 电 场 的 基 本 方 程 和 边 界 条 件 fDE 0微 分 形 式 ： l ldE 0 S ff QdSdD 积 分 形 式 ： 在 均 匀 、 线 性 、 各 向 同 性 媒 质 （ 简 单 媒 质 ） 中 ，基 本 物 理 量 和 辅 助 物 理 量 之 间 满 足 本 构 关系 ： ， 由 此 可 以 得 出 限 定 形 式 的 基 本 方 程 ： E DED /0 fEE 00 pfS fl QQdSdE ldE 微 分 形 式 ： 积 分 形 式 ： 边 界 条 件 ： 根 据 时 变 电 磁 场 中 边 界 条 件 的 一 般 形 式 ： sfsfDDn BBn EEn JHHn )( 0)( 0)( )( 210 210 210 210 在 静 电 场 中 ： sfDDn EEn )( 0)( 210 210 tene12 1) 当 媒 质 1为 介 质 ， 媒 质 2为 导 体 时 ： sfnD 1 /1 sfnE 2) 当 媒 质 1、 2均 为 介 质 时 ：0sf nn DD 21 nn EE 21 但 3） 在 任 意 媒 质 分 界 面 上 ， 的 切 向 分 量 连 续 E对 于 介 质 （ 1） 和 导 体 （ 2） 分 界 面 ： 000 122 tt EEE 电 力 线 垂 直 于 导 体 表 面 ， 沿 导 体 表 面 电 场 力 不 做 功 ，导 体 表 面 为 等 位 面 。 电 位 函 数 是 求 解 电 磁 场 问 题 的 辅 助 函 数 。 1、 定 义 ： 0 E E2、 电 位 的 微 分 方 程 ： /2 f （ 静 电 场 电 位 的 泊 松 方 程 ） 当 时 ：0f 02 （ 静 电 场 电 位 的 拉 普 拉 斯 方 程 ） 3. 电 位 的 边 值 关 系 tene12 P0P 0h)()( 0PP sfnn 1122 1) 在 介 质 与 导 体 分 界 面 上 ： 02 nD sfn 11此 式 经 常 用 于 确 定 导 体 表 面 的 面 电 荷 密 度 2) 在 两 种 不 同 介 质 分 界 面 上 ： 0sf nn 1122 4、 已 知 电 荷 分 布 情 况 下 的 的 表 达 式 ： 1) 位 于 点 电 荷 q， 空 间 任 一 点 的 电 场 强 度 为 ： r 3030 44)( rr rrqRRqrE 利 用 矢 量 恒 等 式 ： 31 rr rrrr )(14)( 0 rrrqrE Crrqr 14)( 0 2) 对 于 体 分 布 、 面 分 布 、 线 分 布 电 荷 ： Cdrr rr 0 )(4 1)( 体 分 布 ： Cdsrr rr s s 0 )(4 1)( 面 分 布 ： Cdrr rr 0 )(4 1)( 线 分 布 ： 由 相 距 一 个 小 距 离 的 等 值 异 号的 点 电 荷 所 组 成 的 系 统 。 电 偶 极 子 的 定 义 ： x yz0 q q 为 了 反 映 电 偶 极 子 的 强 度 ， 定 义 ： 电 偶 极 矩 qp 由 负 电 荷 指 向 正 电 荷 沿 z轴 放 置 、 中 心 在 坐 标 原 点 的 电 偶 极 子 ， 空 间任 一 点 的 电 位 为 ： 22 4cos4 rprep r )sincos2(4 3 eerpE r 空 间 任 一 点 的 电 场 强 度 为 ： （ 伏 特 ） （ 伏 特 /米 ） 特 点 ： 1) 只 有 和 分 量 ， 没 有 分 量 ， 而 且 两 分 量 与坐 标 无 关 （ 轴 对 称 ） 。 E rE E E2) 电 位 与 距 离 的 平 方 成 反 比 ， 电 场 强 度 与 距 离 的 立方 成 反 比 。 如 果 电 偶 极 子 的 中 心 不 在 坐 标 原 点 ， 而 在 空 间 任一 点 ， 其 矢 径 为 ， 也 不 平 行 于 z轴 ， 则 空 间 任 一点 的 电 位 函 数 为 ： r 34 )( rr rrp qp 此 处 离 散 分 布 电 荷 ： Nk kke qW 121 体 分 布 电 荷 ： dWe 21 s se dsW 21面 分 布 电 荷 ： 电 场 能 量 密 度 ： 22121 EEDwe 电 场 能 量 ： dEdEDWe 22121 电 容 是 导 体 的 基 本 属 性 。 电 容 的 大 小 只 与 导 体 的形 状 、 尺 寸 、 相 对 位 置 以 及 导 体 间 介 质 的 介 电 常 数有 关 ， 与 导 体 间 所 加 电 压 无 关 。 对 于 双 导 体 系 统 ABBA UQQC A BA B 例 1： 同 心 导 体 球 壳 ， 半 径 分 别 为 a和 b（ ba） 。 在arb中 充 满 介 电 常 数 为 的 理 想 介 质 。 设 外 球 电 位为 零 ， 内 球 电 位 为 U0， 求 内 外 球 之 间 的 和 。 E a b 00U 例 2、 半 径 为 （ 米 ） 的 球 内 充 满 体 电 荷 密 度 为 （ 库 仑 /米 3） 的 电 荷 。 已 知 球 内 外 的 电 场 强 度 为 求 体 电 荷 密 度 （ 全 部 空 间 的 介 电 常 数 均 为 ）a f )()( )(245 23 arrAaa arArrEr f 0 已 知 电 荷 分 布 求 电 位 或 场 强 ； 已 知 电 位 或 场 强 求 电 荷 分 布 ； 电 容 的 计 算 。 适 用 于 已 知 电 荷 分 布 的 具 体 形 式 ， 而 且积 分 和 求 和 比 较 容 易 的 静 电 场 问 题 。 1、 直 接 法 ： Ni i ii rr rrqE 1 3 41 3 1 4 r rE dE dr r 适 用 于 已 知 电 荷 分 布 的 具 体 形 式 ， 但 直 接 积分 和 场 强 求 和 比 较 困 难 的 静 电 场 问 题 。 2、 间 接 法 ： 01 1 4 d dr r E 3、 高 斯 定 律 ： QdsdD VV 一 般 适 用 于 均 匀 带 电 的 球 体 和 球 面 问 题 、 均 匀 带电 的 无 限 长 圆 柱 体 和 圆 柱 面 问 题 、 均 匀 带 电 的 无 限大 平 面 和 无 限 长 直 线 问 题 。 4、 求 解 泊 松 方 程 或 拉 普 拉 斯 方 程 ： /2222222 fzyx E是 求 解 静 电 场 问 题 的 经 典 方 法 。 1、 静 电 场 的 基 本 方 程 （ 高 斯 定 律 ） ： fD EDf 2、 静 电 场 的 边 界 条 件 ： sfDDn )( 210 nnsf DD 21 如 果 媒 质 2为 导 体 ， 媒 质 1为 电 介 质 ， 则 1sf nD 3、 电 位 函 数 的 边 界 条 件 ： sfnn 1122 ABBA UQQC 电 容 计 算 的 一 般 方 法 ： 1、 假 定 UQCUEQ )(2、 假 定 UQCQDEU sf A B A B 例 1、 半 径 为 （ 米 ） 的 球 内 充 满 体 电 荷 密 度 为 （ 库 仑 /米 3） 的 电 荷 。 已 知 球 内 外 的 电 场 强 度 为 求 体 电 荷 密 度 （ 全 部 空 间 的 介 电 常 数 均 为 ）a f )()( )(245 23 arrAaa arArrEr f 0 例 2、 同 轴 线 的 横 截 面 如 图 所 示 。 设 外 导 体 电 位 ，内 导 体 电 位 ， 求 内 外 导 体 之 间 任 一 点 的 和 ，并 求 处 的 束 缚 面 电 荷 密 度 。 00U E b a b c 1 2 例 3、 一 个 有 两 层 媒 质 、 的 平 行 板 电 容 器 ， 两 层媒 质 都 具 有 电 导 率 ， 分 别 为 和 ， 电 容 器 极 板 面积 为 S。 在 外 加 电 压 U时 ， 求 通 过 电 容 器 的 （ 漏 ） 电流 和 两 层 介 质 分 界 面 上 的 自 由 电 荷 密 度 。 1 2 1 2 11 22 1d2d U 例 4、 两 个 偏 心 球 面 之 间 均 匀 充 满 着 密 度 为 （ 库 仑 /米 3） 的 体 电 荷 ， 如 图 所 示 。 求 小 球 中 心 上 一 个 点 电荷 q所 受 的 力 。 f f co oa b re 例 5、 在 电 场 中 有 一 个 半 径 为 a的 圆 柱 体 。 已 知 圆 柱内 、 外 的 电 位 函 数 和 （ 用 柱 坐 标 表 示 ） 是 ： 1 2)(01 a cos)( 22 aA ， A是 常 数 ， )( a1) 求 圆 柱 表 面 的 面 电 荷 密 度 )/( 2mCsf2) 求 圆 柱 面 内 、 外 的 电 场 强 度 和 1E 2E a 12 导 电 媒 质 中 恒 定 电 流 电 场 的 性 质 1、 基 本 方 程 基 本 场 量 为 电 场 强 度 ， 辅 助 场 量 为 电 流 密 度 E J 00JE 00s sdJ dE 本 构 关 系 ： ivf JJJJ 电 源 外 （ ） ， 导 体 内 （ ） ： 0iJ 0vJEJJ f 2、 边 界 条 件 tene1 21 2 1 21 2 1 2( ) 0( ) 0n n nn t te J J J Je E E E E 在 通 过 不 同 的 媒 质 分 界 面 时 ， 的 法 向 分 量 连 续 ； 的 切 向 分 量 连 续 。 JE （ 1） （ 理 想 介 质 ） ， （ 导 体 ） 01 02 01 J 的 法 向 分 量 连 续 J ttttnn JeJeJeJ 2222 ttEeE 22 媒 质 2中 ， 在 分 界 面 上 ， 电 流 只 有 切 向 分 量 ； 电 场也 只 有 切 向 分 量 。 1 1 1 1 2n n t t n n t tE e E e E e E e E 1E 既 有 法 向 分 量 又 有 切 向 分 量 。 不 垂 直 于 导 体 表 面 ， 导 体 表 面 不 为 等 电 位 面 ，有 电 阻 存 在 。 1E tene1 2 （ 2） （ 理 想 介 质 ） ， （ 理 想 导 体 ） 01 2222 EJ 为 有 限 值 、 为 无 穷 大 J 02 E在 导 体 表 面 021 tt EE nnEeE 11 恒 定 电 流 情 况 下 ， 理 想 导 体 中 的 电 场 强 度 为 0，导 体 表 面 为 等 位 面 ， 导 体 为 等 位 体 。 （ 3） （ 真 实 情 况 ） 在 工 程 计 算 中 近 似 为 情 况 （ 2） 21 tene1 2 恒 定 电 场 中 0 E E在 导 体 内 、 电 源 外 、 简 单 媒 质 中 ， 为 常 数 0 J 0 fJ 0)( 02 拉 普 拉 斯 方 程 电 位 所 满 足 的 边 界 条 件 ： 21 nn 2211 静 电 比 拟 法 ： 对 于 结 构 相 同 的 两 个 导 体 组 成 的 系 统 1 21s 2121 11 dE sdEdE sdDUQC ss 1、 2 导 体 之 间 的 漏 电 导 ： 2 121 11 dE sdEdE sdJUIG ss GC CG 上 述 方 法 可 以 用 于 传 输 线 （ 同 轴 线 、 平 行 双 导 线 ） ，如 果 求 出 了 单 位 长 度 的 电 容 ， 利 用 上 式 可 以 直 接 写 出 单位 长 度 的 漏 电 导 。 求 绝 缘 电 阻 主 要 有 三 种 方 法 ： (1)直 接 积 分 法 SdR 为 沿 电 流 方 向 的 长 度 元 ， S为 长 度 元 上 垂 直电 流 方 向 的 面 积 d(2)静 电 比 拟 法 CGR 1 (3)定 义 计 算 法 IUR 一 般 思 路 ： 假 设 U， 求 解 02 EEJ f s f sdJI IUR 对 于 平 行 板 电 容 器 、 同 轴 线 、 同 心 球 等 形 状 规 则 的 问 题 ： 假 设 I， SIJf fJE dEU IUR 假 设 U， UdE EJ f s f sdJI IUR 例 1、 一 同 轴 圆 柱 形 电 容 器 ， 内 导 体 的 半 径 为 a， 外 导体 的 内 半 径 为 b， 长 为 L， 两 电 极 间 填 充 了 电 导 率 为 的 物 质 。 已 知 电 极 间 的 电 压 为 U0 （ 1） 求 填 充 物 质 中 的 电 流 密 度 和 电 场 强 度 （ 2） 求 由 于 漏 电 流 所 引 起 的 功 率 损 耗 若 填 充 物 质 的 电 导 率 ， 忽 略 电 容 器 两 端的 边 缘 效 应 ， 求 电 极 间 的 电 场 强 度 。 0（ 3） 例 2、 一 扇 形 电 阻 片 的 电 导 率 为 ， 厚 度 为 d， 如 图 所 示 。 求 ： （ 1） 沿 厚 度 方 向 的 电 阻 （ 2） 两 圆 弧 间 的 电 阻 1R 2R 例 3、 计 算 同 轴 电 缆 单 位 长 度 的 绝 缘 电 阻 。 同 轴 电缆 的 内 导 体 （ 芯 线 ） 半 径 是 a， 外 导 体 （ 外 壳 ） 半径 是 b， 内 外 导 体 之 间 充 满 一 种 介 电 常 数 为 、 电导 率 为 的 绝 缘 材 料 。 a b 0 fH JB 微 分 形 式 积 分 形 式 0s s fsdB IsdJdH 安 培 环 路 定 律 的微 分 形 式 安 培 环 路 定 律 的积 分 形 式 对 简 单 媒 质 ， 和 之 间 满 足 本 构 关 系 ： B H HB 限 定 形 式 的 基 本 方 程 ： 0H JH f 0 s s fsdH IsdJdH 微 分 形 式 积 分 形 式 边 界 条 件 ： 在 两 种 不 同 媒 质 分 界 面 上 ： sfn n JHHe BBe )( 0)( 21 21在 不 同 媒 质 分 界 面 上 ， 的 法 向 分 量 总 是 连 续 的 ; B当 时 ， 的 切 向 分 量 是 不 连 续 的 。 0sfJ H 根 据 恒 定 磁 场 的 基 本 方 程 ： ， 可 以 用 另 外 一 个 矢 量 函 数 的 旋 度 来 表示 ： ， 称 为 矢 量 磁 位 ， 又 称 为磁 矢 位 （ 矢 位 、 矢 势 ） 0 BB AB A1、 定 义 ：在 恒 定 磁 场 情 况 下 ， 令 ： 0 A 称 为 2、 矢 量 磁 位 所 满 足 的 方 程 fJA 2 磁 矢 位 的 泊 松 方 程 A当 时 ： 0fJ 02 A 磁 矢 位 的 拉 普 拉 斯 方 程 A的 边 值 关 系 ： A sftt JAAAA )(1)(1 1111 21 3、 在 无 界 空 间 的 形 式 解 A AB 可 以 通 过 的 表 达 式 得 出 的 表 达 式 B A体 分 布 电 流 在 场 点 产 生 的 为 ： B 30 )()(4)( drr rrrJrB f 利 用 矢 量 恒 等 式 ： 31 rr rrrr 0 )(14)( drJrrrB f 利 用 矢 量 恒 等 式 ： FuFuFu )( )(1)()(1 rJrrrr rJrJrr fff 0)( rJ f Adrr rJdrr rJrB ff 00 )(4)(4)( 0 )(4 drr rJA f 对 于 面 分 布 电 流 ： 0 )(4 s sf dsrr rJA 对 于 细 导 线 电 流 ： 0 4 rrIdA 磁 偶 极 子 ： 一 个 小 圆 形 电 流 线 圈 。 IS定 义 磁 偶 极 矩 : SIpm 利 用 细 导 线 电 流 的 磁 矢 位 在 无 界 空 间 的 形 式 解 : 求 出 磁 偶 极 子 的 磁 矢 位 ， 然 后 利 用 求 出 磁 感 应 强 度 矢 量 。 0 4 rrIdA AB B)sincos2(4 eerpB rm 磁 能 密 度 ： 22121 HHBwm 焦 耳 /米 3 磁 能 ： dHdHBdwW mm 22121 焦 耳 单 一 电 流 回 路 的 磁 场 能 量 ： 221 LIW m 焦 耳 电 感 自 感 L互 感 M1、 磁 通 和 磁 链 磁 感 应 强 度 矢 量 在 曲 面 S上 的 通 量 ，称 为 在 S面 上 的 磁 通 B s sdB B dAsdAsdB ss 导 线 回 路 的 磁 链 （ 全 磁 通 ） 等 于 各 匝 线 圈 交 链的 磁 通 之 和 2、 自 感 和 互 感 1I 2I1 2 22122221122 21112211111 ILIM IMIL 如 果 （ 或 回 路 2不 存 在 ） ， 则 得 到 回 路 1自感 的 计 算 式 ： 02 I 11111 IL 一 般 地 ， 一 个 回 路 的 自 感 可 以 表 示 为 ： IL 为 与 I交 链 的 磁 链 （ 全 磁 通 ） 是 回 路 1的 电 流 的 磁 场 在 回 路 2中 所 产 生 的 磁 链 如 果 ， 则 互 感 01 I 22121 IM 是 回 路 2的 电 流 的 磁 场 在 回 路 1中 所 产 生 的 磁 链 21 2I同 样 ， 如 果 令 ， 则 02 I 11212 IM 12 1I1221 MM 22122221122 21112211111 ILIM IMIL 自 感 分 为 内 自 感 和 外 自 感 两 部 分 内 自 感 ： 由 穿 过 导 体 内 部 的 内 磁 链 得 出 的 自 感 ； iL外 自 感 ： 由 穿 过 导 体 外 部 的 外 磁 链 得 出 的 自 感 。 0L 1、 求 同 轴 线 单 位 长 度 的 自 感 （ 分 布 电 感 ） a bc 2、 一 半 径 为 a 的 无 限 长 导 体 圆 柱 体 内 的 电 流 密 度 ， （ 为 柱 坐 标 变 量 ， 为 常 数 ） ， 设 圆 柱内 、 外 的 磁 导 率 都 是 ， 试 应 用 安 培 环 路 定 律 计 算圆 柱 内 、 外 任 一 点 的 磁 感 应 强 度 。 0JeJ zf 0J0 az fJ 3、 平 行 双 导 线 两 根 导 线 的 直 径 均 为 d， 两 导 线 的 轴 线间 距 离 是 D， 导 线 和 周 围 空 间 媒 质 的 磁 导 率 都 是 ，在 的 条 件 下 ， 求 双 导 线 单 位 长 度 的 总 自 感 。 0Dd x y z 01 2 I I 2d D 4、 设 在 xoy平 面 上 有 面 电 流 （ 安 培 /米 ） ， 为 常 数 。 求 空 间 任 一 点 的 磁 感 应 强 度 0sxsf JeJ 0sJB x yzsfJ