电磁场与电磁波基础第5章

第 5章 静 态 场 的 解 静 态 场 是 指 场 量 不 随 时 间 变 化 的 场 。 静 态 场 包 括 ： 静 电场 、 恒 定 电 场 及 恒 定 磁 场 ， 它 们 是 时 变 电 磁 场 的 特 例 。 分 析静 态 场 ， 必 须 从 麦 克 斯 韦 方 程 组 这 个 电 磁 场 的 普 遍 规 律 出 发 ，导 出 静 态 场 中 的 麦 克 斯 韦 方 程 组 ， 即 描 述 静 态 场 特 性 的 基 本方 程 。 再 根 据 它 们 的 特 性 ， 联 合 物 态 方 程 推 导 出 位 函 数 的 泊松 方 程 和 拉 普 拉 斯 方 程 。 最 后 ， 静 态 场 问 题 可 归 结 为 求 泊 松方 程 和 拉 普 拉 斯 方 程 解 的 问 题 。 通 常 求 解 这 两 个 方 程 的 方 法有 ： 镜 像 法 、 分 离 变 量 法 和 复 变 函 数 法 ， 它 们 属 于 解 析 法 ，而 在 近 似 计 算 中 常 用 有 限 差 分 法 。 1. 静 电 场 、 恒 定 电 场 、 恒 定 磁 场 的 基 本 方 程 4. 镜 像 法 、 分 离 变 量 法 、 格 林 函 数 法 、 有 限 差 分 法 重 点 ：3. 求 解 静 态 场 位 函 数 方 程 的 方 法 所 依 据 的 理 论： 对 偶 原 理 、 叠 加 原 理 、 唯 一 性 定 理 2. 静 态 场 的 位 函 数 方 程 5.1 泊 松 方 程 和 拉 普 拉 斯 方 程 5.1.1 静 态 场 中 的 麦 克 斯 韦 方 程 组 对 于 静 态 场 ， 各 场 量 只 是 空 间 坐 标 的 函 数 ， 并 不 随 时间 而 变 化 ， 即 与 时 间 t无 关 。 因 此 ， 静 态 场 的 麦 克 斯 韦 方程 组 为 ： 0 0DEBH J 00s vlsl sD ds dvE dlB dsH dl J ds 电 流 连 续 性 方 程 为 ： 0 0J dssJ 由 上 述 方 程 组 可 知 ， 静 态 场 与 时 变 场 最 基 本 的 区 别 在 于 静态 场 的 电 场 和 磁 场 是 彼 此 独 立 存 在 的 ， 即 电 场 只 由 电 荷 产生 ， 磁 场 只 由 电 流 产 生 。 没 有 变 化 的 磁 场 ， 也 没 有 变 化 的电 场 。 既 然 如 此 ， 我 们 就 可 以 分 别 写 出 静 电 场 、 恒 定 电 场和 恒 定 磁 场 的 基 本 方 程 。 1、 静 电 场 的 基 本 方 程 静 电 场 是 静 止 电 荷 或 静 止 带 电 体 产 生 的 场 ， 其 基 本 方程 为 0DE 0s vl D ds dv qE dl 上 式 表 明 ： 静 电 场 中 的 旋 度 为 0， 即 静 电 场 中 的 电 场 不 可能 由 旋 涡 源 产 生 ； 电 荷 是 产 生 电 场 的 通 量 源 。 另 外 ： 电 介 质 的 物 态 方 程 为 E 静 电 场 是 一 个 有 源 无 旋 场 ， 所 以 静 电 场 可 用 电 位 函 数 来 描述 ， 即 D E 2、 恒 定 电 场 的 基 本 方 程 载 有 恒 定 电 流 的 导 体 内 部 及 其 周 围 介 质 中 产 生 的 电 场 ，即 为 恒 定 电 场 。 当 导 体 中 有 电 流 时 ， 由 于 导 体 电 阻 的 存 在 ，要 在 导 体 中 维 持 恒 定 电 流 ， 必 须 依 靠 外 部 电 源 提 供 能 量 ，其 电 源 内 部 的 电 场 也 是 恒 定 的 。 要 想 在 导 线 中 维 持 恒 定 电 流 ， 必 须 依 靠 非 静 电 力 将 B极板 的 正 电 荷 抵 抗 电 场 力 搬 到 A极 板 。 这 种 提 供 非 静 电 力 将 其它 形 式 的 能 量 转 为 电 能 装 置 称 为 电 源 。 恒 定 电 流 的 形 成+ AB C- 恒 定 电 场 与 静 电 场 重 要 区 别 ： （ 1） 恒 定 电 场 可 以 存 在 导 体 内 部 。 （ 2） 恒 定 电 场 中 有 电 场 能 量 的 损 耗 ,要 维 持 导 体 中 的 恒 定 电流 ， 就 必 须 有 外 加 电 源 来 不 断 补 充 被 损 耗 的 电 场 能 量 。 若 一 闭 合 路 径 经 过 电 源 ， 则 ： El E dl e 0s J ds 即 电 场 强 度 的 线 积 分 等 于 电 源 的 电 动 势 E Ee若 闭 合 路 径 不 经 过 电 源 ， 则 ： 0l E dl 这 是 恒 定 电 场 在 无 源 区 的 基 本 方 程 积 分 形 式 ， 其 微 分 形 式 为 0 0E J J E 从 以 上 分 析 可 知 ， 恒 定 电 场 的 无 源 区 域 也 是 一 个 位 场 ， 也可 用 一 个 标 量 函 数 来 描 述 。 另 外 ： 导 体 中 的 物 态 方 程 为 E 3、 恒 定 磁 场 的 基 本 方 程 0s l sB dsH dl J ds 这 是 恒 定 磁 场 的 基 本 方 程 。 B H 从 以 上 方 程 可 知 ， 恒 定 磁 场 是 一 个 旋 涡 场 ， 电 流 是 这 个 旋涡 场 的 源 ， 磁 力 线 是 闭 合 的 。 另 外 ： 磁 介 质 中 的 物 态 方 程 为 恒 定 电 流 的 导 体 周 围 或 内 部 不 仅 存 在 电 场 ， 而 且 存 在磁 场 ， 但 这 个 磁 场 不 随 时 间 变 化 ， 是 恒 定 磁 场 。 假 设 导 体中 的 传 导 电 流 为 I， 电 流 密 度 为 ,则 有 J0BH J 静 电 场 既 然 是 一 个 位 场 ， 就 可 以 用 一 个 标 量 函 数 的 梯 度 来 表 示 它 : E 5.1.2 泊 松 方 程 和 拉 普 拉 斯 方 程 1、 静 电 场 的 位 函 数 即 式 中 的 标 量 函 数 称 为电 位 函 数 。 0 所 以 有对 于 均 匀 、 线 性 、 各 向 同 性 的 介 质 ， 为 常 数 , ( )D E E ( ) 即 静 电 场 的 位 函 数 满 足 的泊 松 方 程 。 2 上 式 即 为 在 有 电 荷 分 布 的 区 域 内 ， 或 者 说 在 有 “ 源 ” 的 区域 内 ， 静 电 场 的 电 位 函 数 所 满 足 的 方 程 ， 我 们 将 这 种 形 式的 方 程 称 为 泊 松 方 程 。 如 果 场 中 某 处 有 =0， 即 在 无 源 区 域 ， 则 上 式 变 为2 0 我 们 将 这 种 形 式 的 方 程 称 为 拉 普 拉 斯 方 程 。 它是 在 不 存 在 电 荷 的 区 域 内 ， 电 位 函 数 应 满 足 的 方 程 。 2 在 直 角 坐 标 系 中 2 2 22 2 2 2x y z 在 圆 柱 坐 标 系 中 2 22 2 2 21 1( )rr r r r z 在 球 坐 标 系 中 22 22 2 2 2 21 1 1( ) (sin )sin sinRR R R R R 2拉 普 拉 斯 算 符 在 不 同 的 坐 标 系 中 有 不 同 的 表 达 形 式 ： 2、 恒 定 电 场 的 位 函 数 根 据 电 流 连 续 性 方 程 及 物 态 方 程 并 设 电 导 率 为 一 常 数 （ 对 应 于 均 匀 导 电 媒 质 ） ， 则 有 0J J E 2( ) ( ) 0J E 则 有 2 0 在 无 源 区 域 ， 恒 定 电 场 是 一 个 位 场 ， 即 有 0E 这 时 同 样 可 以 引 入 一 个 标 量 位 函 数 使 得 E 这 说 明 ， 在 无 源 区 域 ， 恒 定 电 场 的 位 函 数 满 足 拉 普 拉 斯方 程 。 3、 恒 定 磁 场 的 位 函 数 分 布 2( )A A A J 人 为 规 定 0A (1) 磁 场 的 矢 量 位 函 数 这 个 规 定 被 称 为 库 仑 规 范 2A J 于 是 有此 式 即 为 矢 量 磁 位 的 泊 松 方 程 。 恒 定 磁 场 是 有 旋 场 ， 即 ,但 它 却 是 无 散 场 ， 即 B J 0B A B A 引 入 一 个 矢 量 磁 位 后 ， 由 于 ， 可 得 2 0A 在 没 有 电 流 的 区 域 , 所 以 有 0J 在 没 有 电 流 分 布 的 区 域 内 ， 恒 定 磁 场 的 基 本 方 程 变 为0 0BH (2) 磁 场 的 标 量 位 函 数 m这 样 ， 在 无 源 区 域 内 ， 磁 场 也 成 了 无 旋 场 ， 具 有 位 场 的 性质 ， 因 此 ， 象 静 电 场 一 样 ， 我 们 可 以 引 入 一 个 标 量 函 数 ，即 标 量 磁 位 函 数 注 意 ： 标 量 磁 位 的 定 义 只 是 在 无 源 区 才 能 应 用 。H m 即 令 此 式 即 为 矢 量 磁 位的 拉 普 拉 斯 方 程 以 上 所 导 出 的 三 个 静 态 场 的 基 本 方 程 表 明 ： 静 态 场 可 以 用位 函 数 表 示 ， 而 且 位 函 数 在 有 源 区 域 均 满 足 泊 松 方 程 ， 在无 源 区 域 均 满 足 拉 普 拉 斯 方 程 。 因 此 ， 静 态 场 的 求 解 问 题就 变 成 了 如 何 求 解 泊 松 方 程 和 拉 普 拉 斯 方 程 的 问 题 。 这 两个 方 程 是 二 阶 偏 微 分 方 程 ， 针 对 具 体 的 电 磁 问 题 ， 不 可 能完 全 用 数 学 方 法 求 解 。 在 介 绍 具 体 的 求 解 方 法 之 前 ， 我 们要 先 介 绍 几 个 重 要 的 基 本 原 理 ， 这 些 原 理 将 成 为 以 后 求 解方 程 的 理 论 依 据 。 当 媒 质 是 均 匀 、 线 性 和 各 项 同 性 时 ， 由 和 可 得 0B B H 0H H m 由 于 2 0m 5.2 对 偶 原 理 如 果 描 述 两 种 物 理 现 象 的 方 程 具 有 相 同 的 数 学 形 式 ，并 且 有 相 似 的 边 界 条 件 或 对 应 的 边 界 条 件 ， 那 么 它 们 的 数学 解 的 形 式 也 将 是 相 同 的 ， 这 就 是 对 偶 原 理 。 具 有 同 样 数学 形 式 的 两 个 方 程 称 为 对 偶 性 方 程 ， 在 对 偶 性 方 程 中 ， 处于 同 等 地 位 的 量 称 为 对 偶 量 。 有 了 对 偶 原 理 后 ， 我 们 就 能 把 某 种 场 的 分 析 计 算 结 果 ，直 接 推 广 到 其 对 偶 的 场 中 ， 这 也 是 求 解 电 磁 场 的 一 种 方 法 。 1、 =0区 域 的 静 电 场 与 电 源 外 区 域 的 恒 定 电 场 的 对 偶 0E 2 0 q I 对 偶 量恒 定 电 场静 电 场 0E E E E E 0J 0D D J D E J E 2 0 q D dss I J dss 0E 2 0 m 对 偶 量恒 定 磁 场静 电 场 0H E H 0B 0D D B D E B H 2 0m qq D dss Bs ds 2、 =0区 域 的 静 电 场 与 区 域 的 恒 定 磁 场 的 对 偶 0J 5.3 叠 加 原 理 和 唯 一 性 定 理 在 研 究 具 体 的 工 程 电 磁 场 问 题 时 ， 无 论 是 静 电 场 、 恒定 电 场 、 还 是 恒 定 磁 场 ， 都 需 要 根 据 实 际 工 程 中 给 定 的 边界 条 件 ， 通 过 求 解 泊 松 方 程 或 拉 普 拉 斯 方 程 ， 得 到 标 量 电位 函 数 或 矢 量 磁 位 函 数 。 5.3.1 边 界 条 件 的 分 类 给 定 位 函 数 的 边 界 条 件 通 常 有 三 类 ： 第 一 类 边 界 条 件 直 接 给 定 整 个 场 域 边 界 上 的 位函 数 值 ( )f s 为 边 界 点 S的 位 函 数 ， 这 类 问 题 称 为 第 一 类 边 界 条 件 。 ( )f s 因 为 ( )f sn 故 上 式 相 当 于 给 定 了 边 界 表 面 的 面 电 荷 密 度 或 电 场 强 度 的法 向 分 量 ， 这 类 问 题 称 为 第 二 类 边 界 条 件 。 s n nD E n 第 二 类 边 界 条 件 只 给 定 待 求 位 函 数 在 边 界 上 的法 向 导 数 值 第 三 类 边 界 条 件 给 定 边 界 上 的 位 函 数 及 其 法 向导 数 的 线 性 组 合 ( ) ( )1 2f s f sn 这 是 混 合 边 界 条 件 ， 称 为 第 三 类 边 界 条 件 。 5.3.2 叠 加 原 理 若 和 分 别 满 足 拉 普 拉 斯 方 程 ， 即 和 ,则 和 的 线 性 组 合 ：必 然 也 满 足 拉 普 拉 斯 方 程 ：式 中 a、 b均 为 常 系 数 。1 2 2 1 0 2 2 0 1 2 1 2a b 2 1 2( ) 0a b 5.3.3 唯 一 性 定 理 唯 一 性 定 理 可 叙 述 为 ： 对 于 任 一 静 态 场 ， 在 边 界 条 件 给 定后 ， 空 间 各 处 的 场 也 就 唯 一 地 确 定 了 ， 或 者 说 这 时 拉 普 拉斯 方 程 的 解 是 唯 一 的 。 当 有 电 荷 存 在 于 导 体 或 介 质 表 面 附 近 时 ， 导 体 和 介 质 表 面 会出 现 感 应 电 荷 或 极 化 电 荷 ， 而 感 应 电 荷 或 极 化 电 荷 将 影 响 场 的 分布 。 非 均 匀 感 应 电 荷 产 生 的 电 位 很 难 求解 ， 可 以 用 等 效 电 荷 的 电 位 替 代1. 问 题 的 提 出 几 个 实 例 接 地 导 体 板 附 近 有一 个 点 电 荷 ， 如 图 所示 。 qq非 均 匀 感 应 电 荷等 效 电 荷5.4 镜 象 法 接 地 导 体 球 附 近 有 一 个 点 电 荷 ， 如 图 。 非 均 匀 感 应 电 荷 产 生 的电 位 很 难 求 解 ， 可 以 用等 效 电 荷 的 电 位 替 代 接 地 导 体 柱 附 近 有 一 个 线 电 荷 。 情 况 与 上 例 类 似 ， 但 等 效 电 荷 为 线 电 荷 。 q非 均 匀 感 应 电 荷q等 效 电 荷 结 论 ： 所 谓 镜 像 法 是 将 不 均 匀 电 荷 分 布 的 作 用 等 效 为 点 电 荷 或 线 电 荷 的 作 用 。 问 题 ： 这 种 等 效 电 荷 是 否 存 在 ？ 这 种 等 效 是 否 合 理 ？ 2. 镜 像 法 的 原 理 用 位 于 场 域 边 界 外 虚 设 的 较 简 单 的 镜 像 电 荷 分 布 来 等 效 替 代该 边 界 上 未 知 的 较 为 复 杂 的 电 荷 分 布 ， 从 而 将 原 含 该 边 界 的 非 均匀 媒 质 空 间 变 换 成 无 限 大 单 一 均 匀 媒 质 的 空 间 ， 使 分 析 计 算 过 程得 以 明 显 简 化 的 一 种 间 接 求 解 法 。 在 导 体 形 状 、 几 何 尺 寸 、 带 电 状 况 和 媒 质 几 何 结 构 、 特 性 不变 的 前 提 条 件 下 ， 根 据 惟 一 性 定 理 ， 只 要 找 出 的 解 答 满 足 在 同 一泛 定 方 程 下 问 题 所 给 定 的 边 界 条 件 ， 那 就 是 该 问 题 的 解 答 ， 并 且是 惟 一 的 解 答 。 镜 像 法 正 是 巧 妙 地 应 用 了 这 一 基 本 原 理 、 面 向 多种 典 型 结 构 的 工 程 电 磁 场 问 题 所 构 成 的 一 种 有 效 的 解 析 求 解 法3. 镜 像 法 的 理 论 基 础 解 的 惟 一 性 定 理 像 电 荷 的 个 数 、 位 置 及 其 电 量 大 小 “ 三 要 素 ” ；4. 镜 像 法 应 用 的 关 键 点5. 确 定 镜 像 电 荷 的 两 条 原 则 等 效 求 解 的 “ 有 效 场 域 ” 。 镜 像 电 荷 的 确 定 像 电 荷 必 须 位 于 所 求 解 的 场 区 域 以 外 的 空 间 中 ； 像 电 荷 的 个 数 、 位 置 及 电 荷 量 的 大 小 以 满 足 所 求 解 的 场 区 域 的 边 界 条 件 来 确 定 。 1. 点 电 荷 对 无 限 大 接 地 导 体 平 面 的 镜 像,q q h h 1 1( ) 04q zR R （ ） 0 0zR R 满 足 原 问 题 的 边 界 条 件 ， 所 得 的 结 果 是 正 确 的 。 5.4.1 接 地 导 体 平 面 的 镜 像镜 像 电 荷电 位 函 数因 z = 0时 ， qhh q有 效 区 域 R Rqh 上 半 空 间 ( z0 ） 的 电 位 函 数 qh2 2 2 2 2 21 1( , , ) 4 ( ) ( )qx y z x y z h x y z h ( 0)z 2 2 2 3 2 0 2 ( )S z qhz x y h 2 2 2 3 2d dd 2 ( )in SS qh x yq S x y h 2 2 2 3 20 0 d d2 ( )qh qh 导 体 平 面 上 的 感 应 电 荷 密 度 为导 体 平 面 上 的 总 感 应 电 荷 为 2. 线 电 荷 对 无 限 大 接 地 导 体 平 面 的 镜 像镜 像 线 电 荷 ：满 足 原 问 题 的 边 界 条 件 ， 所 得 的 解 是 正 确 的 。电 位 函 数 hh l有 效 区 域 1r 2rl当 z=0时 ， 1 2r r 0 ln ( 0)2 l R zR ,l l h h 3. 点 电 荷 对 相 交 半 无 限 大 接 地 导 体 平 面 的 镜 像 如 图 所 示 ， 两 个 相 互 垂 直 相 连 的 半 无 限 大 接 地 导 体 平 板 ， 点电 荷 q 位 于 (d1, d2 )处 。 显 然 ， q1 对 平 面 2 以 及 q2 对 平面 1 均 不 能 满 足 边 界 条 件 。 1 2 31 1 1 1( )4 q R R R R 对 于 平 面 1， 有 镜 像 电 荷 q1= q， 位 于 ( d1, d2 )对 于 平 面 2， 有 镜 像 电 荷 q2= q， 位 于 ( d1, d2 ) 只 有 在 ( d1, d2 )处 再 设 置 一镜 像 电 荷 q3 = q， 所 有 边 界 条 件 才 能得 到 满 足 。电 位 函 数 q d1 d21 2RR1 R2R3q1 d1d2 d2q 2d1q3d2 d1 5.4.2 电 介 质 分 界 面 的 镜 象 电 荷 如 图 ， 如 果 分 界 面 是 介 电 常 数 为 1和 2的 两 种 无 限 大 介 质 的 边 界 平 面 ， 在 介 质 1中 距 分 界 面 为 h处 置 有 一 点 电 荷 q ， 则 求解 介 质 空 间 中 任 一 点 的 电 场 电 位 分 布 可 以 用镜 像 法 求 解 。 设 在 介 质 1和 2内 的 电 位 函 数 分 别 为 1和 2 。 在 介 质 1中 ， 除 q 点 处 以 外 ,均 有 2 1 0 0z （ ） qq 1r 1h1 2rz2 2 是 点 电 荷 q与 介 质 分 界 面 上 感 应 束 缚 电 荷 共同 产 生 的 电 位 函 数 。 介 质 分 界 面 上 的 感 应 束 缚 电 荷在 介 质 1中 产 生 的 电 场 可 以 用 处 于 z0） 的 格 林 函 数 ， 就 是 求 位 于 上 半 空间 r 处 的 单 位 点 电 荷 以 z=0平 面 为 电 位 零 点 时 ， 在 上 半 空间 任 意 一 点 r处 的 电 位 。 这 个 电 位 可 以 用 平 面 镜 像 法 求 得 ，因 而 上 半 空 间 的 格 林 函 数 为 1 21 1 1( , ) ( )4G r r R R 2 2 2 1/ 21 2 2 2 1/ 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R x x y y z zR x x y y z z 式 中 3、 球 内 、 外 空 间 的 格 林 函 数 我 们 可 以 由 球 面 镜 像 法 ， 求 出 球 心 在 坐 标 原 点 、 半 径为 a的 球 外 空 间 的 格 林 函 数 1 21 1( , ) ( )4 aG r r R r R 2 2 1/ 21 2 2 1/ 22 2( 2 cos )( 2 cos )cos cos cos sin sin cos( )arR r r rrR r r rrr 式 中 5.7 有 限 差 分 法 有 限 差 分 法 是 一 种 近 似 数 值 计 算 法 ， 在 一 些 工 程 技 术计 算 中 被 广 泛 使 用 。 这 种 方 法 是 在 待 求 场 域 内 选 取 有 限 个离 散 点 ， 在 各 个 离 散 点 上 以 差 分 方 程 近 似 代 替 各 点 上 的 微分 方 程 ， 从 而 把 以 连 续 变 量 形 式 表 示 的 位 函 数 方 程 ， 转 化为 以 离 散 点 位 函 数 值 表 示 的 方 程 组 。 结 合 具 体 边 界 条 件 ，求 解 差 分 方 程 组 ， 即 得 到 所 选 的 各 个 离 散 点 上 的 位 函 数 值 。有 限 差 分 法 不 仅 能 处 理 线 性 问 题 ， 还 能 处 理 非 线 性 问 题 ；不 仅 能 求 解 拉 普 拉 斯 方 程 ， 也 能 求 解 泊 松 方 程 ； 不 仅 能 求解 任 意 静 态 场 的 问 题 ， 也 能 求 解 时 变 场 的 问 题 ； 而 且 这 种方 法 不 受 边 界 形 状 的 限 制 。 函 数 f(x)的 一 阶 差 分 定 义 为 f(x)=f(x+h)-f(x) 式 中 h是 自 变 量 x的 增 量 ， 即 x=h,将 下 面 的 式 子 称 为 f(x)的 一 阶 差 商 ： ( ) ( )f f x h f xx h f d fx d x 当 h很 小 时 ， 差 分 f也 很 小 ， 因 此 在 近 似 计 算 中 可 用 一 阶差 商 近 似 等 于 一 阶 微 分 ， 即 2 ( ) ( )( )2 2f x h f xf xx h 二 阶 差 商 为同 样 可 以 定 义 二 阶 差 分 为 2f(x)= f(x+h)- f(x) 令 二 阶 差 商 近 似 等 于 二 阶 微 商 22 ( ) ( )( ) ( )2 2 2f x h f xd f x f xx x h 差 分 方 程 就 是 在 各 离 散 点 上 ， 用 和 近似 替 代 偏 微 分 方 程 中 的 和 ， 从 而 将拉 普 拉 斯 方 程 或 泊 松 方 程 这 样 的 偏 微 分 方 程 化 为 一 组 代 数 方程 ， 即 差 分 方 程 。 2 ( )2f xx 2 ( )2f yy2 ( )2f xx 2 ( )2f yy 本 章 要 点1.静 电 场 的 基 本 方 程 2.恒 定 电 场 的 基 本 方 程 3.恒 定 磁 场 的 基 本 方 程 4.泊 松 方 程 与 拉 普 拉 斯 方 程 6.镜 像 法 的 概 念 与 应 用5.对 偶 原 理 、 叠 加 原 理 和 唯 一 性 定 理 7.分 离 变 量 法 的 概 念 与 应 用8.格 林 函 数 法 9.有 限 差 分 法