测试信号处理技术第四章

离散时间信号分析内容提要 序列的傅里叶变换（DTFT） 拉氏变换、傅氏变换与z变换之间的关系 离散傅里叶级数（DFS） 离散傅里叶变换（DFT） 快速傅里叶变换（FFT） 快速傅里叶变换的应用 离散时间傅里叶变换DTFT与连续时间傅里叶变换的关系性质离散傅里叶变换DFT定义性质离散傅里叶变换的快速算法FFT原理流程应用 实际信号的特点：时域：连续时间信号; 持续时间较长频域：频谱是连续的数字处理设备（计算机）的特点：存储空间有限- 只能存储有限多的数据离散的时间点有限长的时间范围表示空间有限- 只能表示有限多的数值 取值在一定精度内取值在一定范围内 在时域如何对信号进行离散化？要求保证信号的信息不受损！信息不受损= 可以恢复原信号理论问题已在第二章解决乘以冲激串信号，进行时域抽样要求抽样过程满足抽样定理信号频带有限，抽样频率是信号最高频率的两倍矛盾1已基本解决 如何用抽样信号的频谱来恢复原信号的频谱？抽样信号频谱与原信号频谱是什么关系？理论上如何恢复？工程实践上如何实现？ 抽样信号的频谱如何计算？得到抽样信号后，如何计算其频谱？输入：抽样信号（序列）输出：抽样信号的频谱在工程上，计算机接受的输入是一系列数值 信号被截短时，频谱发生什么变化？有时信号持续时间超出处理能力时域信号需要被截断截断会不会影响对信号的分析？截断对信号的频谱有何影响？ 有限长离散信号频谱的存储与计算频谱是连续周期的1. 只能存储有限长的频谱一个周期即可2. 只能存储有限多的频谱离散频率点处的频谱值离散频率点谱值的计算法一：先有连续谱，后有离散谱值（频域采样）法二：直接用时间抽样值计算离散谱值（公式）？ 如何由频谱恢复抽样信号？离散频谱值是有限的恢复抽样信号的计算公式如何编程实现（如何进行快速计算）？按定义实现- 计算量太大由离散信号计算离散频谱由离散频谱恢复离散信号 从工程需要出发，理解信号频谱分析的实际问题。即在实践中领悟处理原理的意义从解决问题出发，理解各种信号处理方法的目的。即在矛盾中思考工程实现的背景在解决的问题过程中感受知识的力量、体会学习的快乐 1.定义x (n)的z变换为如果X (z)在单位圆上是收敛的，则把在单位圆上的z变换定义为序列的傅里叶变换，表示为(4.1) 相对应序列的傅里叶反变换，由z反变换的围线积分公式若把积分围线C取在单位圆上，则有（4.2） 2物理意义把序列的傅里叶变换称作非周期序列的频谱，为什么把序列的傅里叶变换和序列的频谱联系在一起?可以与连续信号的傅里叶变换进行对比进行分析.已知连续信号的傅里叶变换为 F ()有频谱密度的意义，是频谱的概念，在式（4.1）中，X (ej)是序列的傅里叶变换，与F ()在连续信号傅里叶变换的表达式中一样起着相同的作用，所以看作是序列的频谱。f (t) 和x (n)的两个表达式都具有叠加重构（综合）时域信号即傅里叶反变换的作用，因此把式（4.2）称为序列的傅里叶反变换。 将式（4.1）和（4.2）重写并表示为(4.3)(4.4) 3特点由式(4.3)知，序列频谱X (ej) 是ejn的函数，而ejn 是以2为周期的函数，并且由于序列在时域上是非周期的，因而，序列的频谱是周期的连续频谱。同时X (ej)是 的复函数，可进一步表示为(4.5)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) wwwjww jjjjj eXjeXeeXeX ImRe += 其幅度谱如图4.1所示图4.1 序列及其幅谱图 序列傅立叶变换存在的条件由于序列的傅里叶变换是单位圆上的z变换，序列的z变换在单位圆上必须收敛是序列傅里叶变换存在的条件，即上式表明，序列傅里叶变换存在的条件是：序列必须绝对可和。(充分条件)( ) =n nx 例4.1 求出下列序列的傅里叶变换。x2(n) = (n+3) - (n-4)解: ( ) ( ) ( ) = = =+= +=+=+= =+= = = = = = = = ww wwww wwwwww wwwwwwwww wwwwwww www 21sin 27sin11 11111111 43 3212121 27272737 3434 3 3203031303130 3 3jjjj jjjjjj jjjjjjjjj n jn njn njn njn njn njn nj n njn njj eeee eeeeee eeeeeeeee eeeeeee eenneX 目的:找出连续信号与离散信号各种变换的关系变换关系的纽带:冲激抽样信号 沟通连续和离散信号的桥梁 1.冲激抽样信号的拉氏变换Xs(s)与连续信号的拉氏变换Xa(s)之间关系：拉氏变换的指数形式为周期为T的周期冲激信号傅氏级数的表达式(周期延拓)为见例2.12的证明 为采样角频率，则冲激抽样信号可表示为可导出冲激抽样信号拉氏变换的另一种形式 由此，可得到冲激抽样信号的拉氏变换有指数级数与周期延拓表示的两种等价表达式。即() ( )( )= = W= =m san snTas jmsXT enTxsX1 (4.14 ) 2冲激抽样信号的拉氏变换Xs(s)与抽样序列的z变换X(z)之间关系z与s变量之间的映射关系z=esT，若离散时间信号为抽样序列，即x (nT)=x(n)，并引入z=esT时，得到序列z变换为上式表示，z变换可以看成沖激抽样信号的拉氏变换由s平面映射到z平面的变换。 3冲激抽样信号的拉氏变换Xs(s)与其傅氏变换Xs(j)之间的关系为由s=+j，若=0，而且拉氏变换收敛域包含虚轴时，则虚轴上的拉氏变换即为其傅氏变换，或者说，冲激抽样信号的傅里叶变换是其在虚轴上的拉氏变换。 4冲激抽样信号的傅氏变换Xs(j)与连续时间信号的傅氏变换Xa(j)之间：冲激抽样信号傅氏变换的指数级数的形式，以及连续时间信号的傅里叶变换Xa(j)的周期延拓形式，对沖激抽样信号而言是等价的，表示为 5激抽样信号傅氏变换的指数形式与序列的傅里叶变换表达式：两相比较，若序列为抽样序列，有：x(n) = xa(nT)，而且数字角频率与模拟角频率，满足 = T，则相应频率点上的频谱值相等。 6序列z变换X(z)与序列傅里叶变换X(ej)之间：序列的傅里叶变换X(ej)为X(z)在单位圆上的特例。 把上述分析的结论，用图来形象地描绘如下：( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = W= W= =W= = = = =W=WW =W n jnjTn Tnjasm sa ezjs n nez nTxnxn sTnasm sa enxeXenTxjXjmjXT znxzXenTxsXjmsXT jsTa www w11此图非常清晰地表明了：冲激抽样信号是沟通离散信号与连续信号各种变换的桥梁。 4.3.1 傅里叶变换在时域和频域中的对称规律一连续非周期信号，由前述，其傅里叶变换（频谱）Xa()是非周期的连续谱，时域上的非周期对应频域上的连续，或频域上的连续对应时域上的非周期，由此可以得到时、频域的第一个对称规律：时域上的非周期将产生频谱的连续，或者说，频域的连续导致时域的非周期总之一个域中函数的连续对应另一个域的非周期。如下图4.4（a）所示 图4.4 信号在时、频域中的对称规律 如图4.4（b），一周期信号xp(t)，其频谱是离散谱Xpk1)。可以从另一个角度来理解：Xp(k)正是对图4.4（a）中的频谱Xa()以采样频率1进行抽样，即频域被离散化，则在时域上产生单周期信号xa(t)的周期延拓，延拓周期为T1=21，形成周期延拓波形xp(t).时、频域的第二个对称规律：时域上的周期化将产生频谱的离散化，或者说，频域的离散化导致时域的周期化，总之，一个域的离散化对应另一个域的周期化。 各种信号傅里叶变换在时域、频域上对称性的一规律可概括归纳为：1 在某一个域（时域或频域）中是连续的，相应地在另一个域（频域或时域）中肯定是非周期性的。2 在某一个域（时域或频域）中是离散的，相应地在另一个域（频域或时域）中肯定是周期性的。上述规律是由傅里叶变换的对称性（对偶性）所决定的。 4.3.2 离散傅里叶级数DFS对于连续周期函数x p (t)，有对x p (t)进行抽样，变成了离散时间周期信号x ps (nT) 或x p (n)（以抽样序列x p (n)为例），周期序列在时域可用复指数序列形式的傅里叶级数来表示，将t = nT、 代入上式中，得( ) ( )kXkX pp =W1 从而有记作由于复指数序列的周期性，显然有( ) ( )nn krNk = + 由上述分析可知：周期离散信号在时、频域上均为周期序列，根据周期信号的特点，当k变化一个N的整数倍时，得到的是完全一样的序列，所以，一个周期序列可以表示成一个有限项（N项）指数序列分量的叠加（即用任一个周期的序列情况，可以描述、代表所有其他周期序列的情况），则 习惯上表示为上式就是离散傅里叶级数（DFS）的定义式，是反变换的概念。根据反变换的表达式来导出正变换Xp(k)的解析表达式( ) ( )= 10 21 Nk knNjpp ekXNnx p( ) ( ) = = 10 2Nn knNjpp enxkX p 傅里叶级数的正变换以符号DFS 表示，离散傅里叶级数的反变换，符号IDFS 表示，写成为表达简洁,引入符号( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) = = = 10 210 21 Nk knNjppp Nn knNjppp ekXNkXIDFSnx enxnxDFSkX ppNjN eW p2= DFT要解决两个问题：一是离散与量化，二是快速运算。 一.DFT是重要的变换1.分析有限长序列的有用工具。2.在信号处理的理论上有重要意义。3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。 4.4.1 离散傅里叶变换DFT定义式 对于一个周期为N的周期序列xp(n)，把它的第一个周期的有限长序列定义为这一周期序列的主值序列，用x(n)表示( ) ( ) = += rp rNnxnx 周期序列X p (k)、x p (n)换成主值序列X (k)、x (n)，这样就得到了两个有限长序列的变换对，并表示为式（4.35）称为离散傅里叶正变换，以符号DFT 表示，式（4.36）是离散傅里叶反变换，以符号IDFT 表示( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) )36.4(10,1 )35.4(10,1010 = = = = NnWkXNkXIDFTnx NkWnxnxDFTkX Nk knNNn knN DFT ， IDFT 可简写为:式中，X (k)与x (n)分别为N 行的列矩阵，而Wnk 与W-nk分别为N N 的对称方阵。例4.2 用矩阵形式求矩形序列x(n)=R4(n)的DFT，再由所得X(k)经IDFT求x(n)，验证所求结果的正确性。 4.4.2 离散傅里叶变换DFT与序列傅里叶变换的关系设一有限长序列x (n)长度为N点，其z变换为因序列为有限长，满足绝对可和的条件，其z变换的收敛域为整个z平面，必定包含单位圆，则序列的傅里叶变换为 现以 为间隔，把单位圆（表示为ej）均匀等分为N个点，则在第k个等分点由上式可以得出：有限长序列的DFT就是序列在单位圆上的z变换（即序列傅里叶变换）在单位圆上以为间隔 的抽样值，参见下图。Npw 21 = Npw 2 1 = DFT与 序 列 傅 里 叶 变 换 对 比 1线性特性若: X(k) = DFTx(n) ,Y(k) = DFTy(n) 则DFTax(n)+by(n) = aX(k) + bY(k)式中，a、b为任意常数。如果两个序列的长度不相等，以最长的序列为基准，对短序列要补零，使序列长度相等，才能进行线性相加，经过补零的序列频谱会变密，但不影响问题的性质。 2 .时移特性（1）圆周移位圆周移位也叫循环移位，简称圆移位。它是序列的这样一种移位：将一有限长序列x (n)，进行周期延拓，周期为N，构成周期序列x p (n) ，然后对周期序列x p (n)作m位移位处理得移位序列x p(n-m)，再取其主值序列（x p(n-m)与一矩形序列RN (n)相乘），得x p (n-m)R N (n)，就是所谓的圆周移位序列。 2.圆周位移的含义由于我们取主值序列，即只观察n=0到N-1这一主值区间，当某一抽样从此区间一端移出时，与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。如果把x(n)排列一个N等分的圆周上，序列的移位就相当于x(n)在圆上旋转，故称作圆周移位。当围着圆周观察几圈时，看到就是周期序列: x(n) 。 （2）时移定理所谓时移定理是指：若DFT x (n) = X (k)则DFT xp(n-m)RN(n) =时移定理表明：序列在时域上圆周移位，频域上将产生附加相移。( )kXWmkN 3 频 移 特 性若 DFT x (n) = X (k)则并上 述 特 性 表 明 ： 若 序 列 在 时 域 上 乘 以 复 指 数序 列 ， 则 在 频 域 上 ， X (k)将 圆周 移 位 l 位 ， 这 可 以 看 作 调 制 信 号 的 频 谱 搬 移 ，因 而 又 称 “ 调 制 定 理 ” 。( ) ( ) ( )kRlkXWnxDFT NplnN =( ) ( ) ( ) lnNNp WnxkRlkXIDFT = lnNjlnN eW p2= 4. 5 离散傅里叶变换的性质4圆周卷积特性（1）时域圆周卷积若对N点的序列有X (k) DFT x (n) , H (k) DFT h (n) , Y (k) DFT y (n) ，Y (k) = X (k) H (k) 则 若x (m)保持不移位，则 正是圆周 移位，故称 为圆周卷积。即( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 10Nm Np nRmnhmxkYIDFTny ( ) ( )nRmnh Np ( ) ( ) ( )= 10Nm Np nRmnhmx( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 10Nm Np nRmnhmxnhnxny （2）频域圆卷积若： y (n) = x (n) h (n)则：( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = 101 Nl Np kRlkHlXNnyDFTkY DFT变换的性质( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = = 1111 NmNm mnymxmnymxkYkXIDFT 反 褶 循 环 移 位 相 乘 相 加也 是 一 种 卷 积 ! 为 了 突 出 新 “ 卷 积 ” 与 “ 旧 ” 卷 积 的 不 同 , 同时 也 为 了 突 出 它 们 之 间 的 相 同 , 称 过 去 传 统 的 卷 积 为 线 卷 积 ,而 称 此 “ 新 卷 积 ” 为 序 列 的 圆 周 卷 积 ， 简 称 圆 卷 积 。( ) ( ) ( ) ( )= = 10Nm mnymxnynx频 域 卷 积 ( ) ( ) ( ) ( )kYkXNnynxDFT = 1 编 程 实 现 容 易 4. 5 离散傅里叶变换的性质5奇偶性（1）实数序列设x (n)为实序列，X (k) DFT x (n) ，则可知：X (k)的实部为k的偶函数，X (k)的虚部是k的奇函数。( ) ( )( ) ( )( ) ( ) kjXkX nkNnxjnkNnx enxkX IR NnNn Nn nkNj+= = = = = 1010 10 2 2sin2cos pp p 4. 5 离散傅里叶变换的性质X (k)的幅度和相位分别为设x (n)是实序列，其DFT可写成( ) ( ) ( )( ) ( )( )kX kXkX kXkXkX RIIRarctanarg 22= +=( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )53.4 101010 kNX WnNxWnx Wnx nxDFTkX Nn nNkNNn nkNNn nkN= = = = = = 4. 5 离散傅里叶变换的性质从而有由上述式子表明：实数序列x (n)的离散傅里叶变换X (k)，在0至N的范围内，对于N/2点，| X (k) | 呈半周期偶对称分布，arg X (k) 呈半周期奇对称分布。但由于长度为N的X (k)有值区间是0 （N-1），而在式（4.53）中增加了第N点的数值，因此所谓的对称性并不是很严格。( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )55.454.4argargarg = = kNXkNXkX kNXkNXkX 4. 5 离散傅里叶变换的性质（2）复数序列对于共轭复数序列。若有限长序列x * (n)是x (n)的共轭复数序列，并设( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = += = += nxnxnx nxnxnx njxnxnx njxnxnx IR IR IR2121 4. 5 离散傅里叶变换的性质则利用式（4.57）、（4.58）可以计算出一个N点复序列DFT的同时，计算出两个N点实序列的DFT。( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )59.458.421 57.421kXkXkX kNXkXkxDFTkX kNXkXkxDFTkX IR II RR += = += 4. 5 离散傅里叶变换的性质6 帕斯瓦尔定理若X (k) DFT x (n) 则上式左端代表离散信号在时域中的能量，右端是代表在频域中的能量，表明变换过程中能量是守恒的。( ) ( ) = = 10 210 2 1 NkNn kXNnx 计算DFT的快速算法- FFT( ) ( ) ( )1,1,0,10 -=-= NkWnxnxDFT Nn nkN L计 算 DFT的 计 算 量 ：每 算 一 个 X(k)， 需 要 N次 复 数 乘 法 ， N-1次加 法 。 因 此 ， N点 DFT需 要 N*N次 复 数 乘法 ， N(N-1)次 复 数 加 法 。直 接 计 算 DFT的 复 杂 度 为 O(N2)尽 管 预 先 算 好 并 保 存 旋 转 因 子 W Nk 可 以 节 省 部分 运 算 ， 但 按 定 义 求 DFT的 运 算 量 仍 然 很 大 。 4.6 快速傅里叶变换（FFT）4.6.1 DFT直接运算的问题和改进思路1DFT直接运算的工作量直接对DFT进行计算的基本问题是运算量大，很难实现信号的实时处理，如某序列x(n)，N 4， ，则序列x (n)的DFT为 NjN eW p2=( )( )( )( ) ( )( )( )( )= 32103210 9630 6420 3210 0000 xxxxWWWW WWWW WWWW WWWWXXXX 4.6 快速傅里叶变换（FFT）若要求X (k)的N = 4个值，复数乘的次数： N2 = 42 =16，复数加的次数： N (N-1) 12，这样简单的DFT计算，其计算量已经不小。如果N = 210 = 1024，则复数乘的次数： N2 =1,048,576，复数加次数： N2 =1,048,576，难以实现信号的实时处理，若N大大增加，运算量也会随之大大增加，实时处理几乎就变得不可能了，因此必须改进DFT的算法。 4.6 快速傅里叶变换（FFT）2改进思路DFT的定义式为（1） 的周期性（2） 的对称性( ) ( ) ( )= 10Nn nkNWnxnxDFTkXnkNW ( ) ( ) ( )nmNk NklNnNkNnNnkN WWWW + =nkNW 1222 = NNjNN eW p nkNNNnkNNnkN WWWW = + 22 将上述（1）、（2）中的结果，代入矩阵W，可以简化为（）矩阵W中，许多元素是相等的，可明显减少计算量。（）由于运算量正比于N 2 ，因此可以把大点数（大N）DFT的计算化为小点数（如N/2），又可进一步地把DFT计算量大幅度减下来。综合应用上述的改进思路，实现傅里叶变换的快速计算的算法，就是快速傅里叶变换，FFT（Fast Fourier Transform）。 = 1010 0000 1010 00009630 6420 3210 0000 WWWW WWWW WWWW WWWWWWWW WWWW WWWW WWWW 特别说明：FFT是DFT的快速算法，不是新的变换方法。其算法基础是：W的两个性质。1. W具有周期性2. W具有对称性( )nmNkNnkN WW += nkNNnkN WW = + 2 经 过 周 期 性 与 对 称 性 简 化 之 后 ,容易 发 现 DFT运 算 中 存 在 着 不 必 要的 重 复 计 算 ,避 免 这 种 重 复 ,是 简化 运 算 的 关 键 .N点 DFT运 算 可 以 分 解 为 两 组 N/2点 DFT运 算 ， 然 后 再 取 和 。DFT的复杂度与点数N有关！ 4.6.2 基2按时间抽取的FFT算法（时析型）1算法原理“基2”序列x (n)，设：N = 2 M （M为整数），如果N不是2的幂次，应在序列后面补零到2 M ，这是“基2”的意思。随后按照n的奇偶性以及时间的先后抽取序列值，把序列分成奇数序号与偶数序号两组序列之和（大点数化为小点数），这也就是所谓的“按时间抽取”的基本含意。 ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 12,2,1,0122 122 122 12 0 212 0 2 12 0 212 0 2 nn = += += += += = = Nrrxrz rxry WrxWWrx WrxWWrx WnxWnxkX Nr rkNkNNr rkN Nr rkNkNNr rkN nkNnkN L奇 数偶 数 注 意 Y(k)与 Z(k)的 周 期 是 N/2 ! ( )( )kZkNZ kYkNY = + = +22 kNkNNNkNN WWWW = + 22于 是 ， N点 X(k)可 用 N/2点 的 Y(k)和 Z(k)来 计 算 ：( ) ( ) ( )( ) ( ) 12,1,0 222 2= + += + += +Nk kZWkY kNZWkNYkNX kZWkYkX kN kNNkNL ( ) ( ) ( )kZWkYkX kN+= ( ) ( )kZWkYkNX kN= +28点 DFT 4点 DFT（ 先 按 奇 偶 序 分 组 ， 再 求 4点 DFT） 就 地 置 换 无 需 缓 存 一 个 蝶 形 单 元 只 需 一 次 复 数乘 法 和 两 次 复 数 加 法 全 部 计 算 分 解 为 M级 ， 或 称 为 M次 迭 代 。 输 入 序 列 x(n)按 码 位 倒 读 顺 序 排 列 ， 输 出 序 列 X(k)按 自 然 顺 序 排 列 。 每 级 都 包 含 N/2个 蝶 形 单 元 。 每 级 的 若 干 蝶 形 单 元 组 成 “ 群 ” 。 第 1级 群 数为 N/2， 第 2级 群 数 为 N/4， 第 i级 群 数 为 N/2i，最 后 一 级 的 群 数 为 1。 每 个 蝶 形 单 元 都 包 含 乘 Wnk与 -Wnk的 运算 （ 可 简 化 为 乘 Wnk与 加 、 减 法 各 一 次 ） 。 同 一 级 中 ， 各 个 群 的 W分 布 规 律 完 全 相 同 码 位 倒 读输 入 序 列 x(n)的 排 列 次 序 不 符 合 自 然 顺 序 。 此 现象 是 由 于 按 n的 奇 偶 分 组 进 行 DFT运 算 而 造 成 的 ，这 种 排 列 方 式 称 为 “ 码 位 倒 读 ” 的 顺 序 。所 谓 “ 倒 读 ” ， 是 指 按 二 进 制 表 示 的 数字 首 尾 位 置 颠 倒 ， 重 新 按 十 进 制 读 数 。 自然顺序二进制顺序码位倒置码位倒读顺序0 000 000 01 001 100 42 010 010 23 011 110 64 100 001 15 101 101 56 110 011 37 111 111 7码 位 倒 读 示 例 （ N=8）