种自然主义数学哲学

1 一种自然主义的数学哲学叶峰 （北京大学哲学系）yefeng http:/ 2 一种自然主义的数学哲学 自 然 主 义 是 当 代 主 要 哲 学 思 潮 之 一 。 笔 者 最近 几 年 在 自 然 主 义 框 架 下 做 了 一 些 数 学 哲 学 方面 的 研 究 工 作 ， 包 括 尝 试 论 证 自 然 主 义 蕴 涵 数学 唯 名 论 ， 从 自 然 主 义 的 角 度 分 析 当 前 唯 名 论或 反 实 在 论 数 学 哲 学 的 不 足 ， 在 自 然 主 义 的 框架 下 探 索 对 经 典 数 学 的 可 应 用 性 的 逻 辑 解 释 ，以 及 在 自 然 主 义 的 框 架 下 分 析 逻 辑 与 算 术 的 分析 性 、 先 天 性 与 必 然 性 ， 分 析 数 学 的 客 观 性 等等 。摘要 3 一种自然主义的数学哲学 这 个 报 告 先 简 要 介 绍 什 么 是 自 然 主 义 （ 第 1节 ） ， 当 前 接 受 自 然 主 义 的 各 种 数 学 哲 学 派 别（ 第 2节 ） ， 及 笔 者 所 接 受 的 一 种 彻 底 的 自 然 主义 （ 第 3节 ） 。 然 后 它 将 介 绍 笔 者 的 三 篇 论 文 的内 容 。 第 一 篇 试 图 论 证 这 种 彻 底 的 自 然 主 义 蕴涵 数 学 唯 名 论 （ 第 4节 ） ； 第 二 篇 提 出 唯 名 论 数学 哲 学 应 该 完 成 的 任 务 ， 讨 论 当 前 各 种 唯 名 论数 学 哲 学 的 不 足 （ 第 5节 ） ； 第 三 篇 介 绍 在 自 然主 义 框 架 下 解 释 数 学 的 可 应 用 性 的 一 种 策 略（ 第 6节 ） 。 摘要 4 一种自然主义的数学哲学 三 篇 论 文 如 下 ： Naturalism and Abstract Entities， forthcoming in International Studies in the Philosophy of Science. What anti-realism in philosophy of mathematics must offer， forthcoming in Synthese. Online First Version: http:/ The applicability of mathematics as a scientific and a logical problem forthcoming in Philosophia Mathematica, Advance Access Version: http:/philmat.oxfordjournals.org/cgi/content/abstract/nkp014摘要 5 一种自然主义的数学哲学 1、什么是自然主义？ 6 一种自然主义的数学哲学1、什么是自然主义？ 哲 学 是 世 界 观l 究 竟 什 么 事 物 存 在 ？ 物 体 ， 现 象 ， 灵 魂 ， 共 相 ， 抽 象 实 体 ， 经 验 ？l 我 们 自 身 是 什 么 ？ 我 自 己 是 什 么 ？ 物 理 系 统 ， 具 有 意 识 属 性 的 生 物 体 ， 先 验 自 我 ， 灵 魂 ？l 我 们 怎 么 认 识 存 在 着 的 事 物 ？ 经 验 ， 直 觉 ， 先 定 和 谐 ， 灵 魂 的 回 忆 ， 物 理 相 互 作 用 ？l 什 么 是 意 义 、 真 理 、 可 能 性 、 意 识 、 意 向 性 、 自 由 意 志 、伦 理 原 则 ?什么是哲学？ 7 一种自然主义的数学哲学1、什么是自然主义？ 科 学 方 法 是 获 得 知 识 的 最 可 靠 方 法 ， 没 有 优 于 科 学 方法 的 所 谓 第 一 哲 学 （ First Philosophy） 方 法 。（ 蒯 因 ）l 与 先 验 哲 学 相 对 立 。 接 受 当 前 的 科 学 结 论 是 最 理 性 的 态 度 ， 虽 然 当 前 科 学的 结 论 可 能 再 被 修 改 。 还 未 断 言 我 们 自 身 是 什 么 ， 认 识 过 程 是 什 么 。l 一 个 灵 魂 或 “ 先 验 自 我 （ transcendental ego） ” 在 用 科学 方 法 认 识 “ 外 部 世 界 ” ？方法论自然主义 8 一种自然主义的数学哲学1、什么是自然主义？ 当 前 的 科 学 结 论 蕴 涵 着 ,宇 宙 是 物 质 的 ， 而 且 人 类 自 身也 是 物 质 的 ， 是 进 化 的 结 果 ， 没 有 非 物 质 的 心 灵 实 体 ，即 科 学 反 对 实 体 二 元 论 。 但 还 有 一 些 分 歧l 物 理 主 义 ： 心 理 过 程 原 则 上 是 物 理 过 程 ； l 属 性 二 元 论 ： 心 灵 属 性 是 一 些 复 杂 系 统 如 大 脑 具 有 的 ， 原 则上 不 可 还 原 为 物 理 属 性 的 属 性 ； 是 否 接 受 方 法 论 自 然 主 义 蕴 涵 着 必 须 接 受 物 理 主 义 ，这 还 有 争 议 。从方法论自然主义到物理主义 9 一种自然主义的数学哲学1、什么是自然主义？ 存 在 着 的 就 是 物 理 对 象 。 人 类 是 复 杂 物 理 系 统 。 所 有 属 性 、 规 律 “ 原 则 上 ” 可 归 约 为 物 理 属 性 与 定 律l 不 考 虑 计 算 复 杂 性 的 话 ， 没 有 什 么 属 性 与 规 律 原 则 上 不 可 归约 ； l 给 定 所 有 基 本 粒 子 、 它 们 的 物 理 状 态 及 它 们 遵 从 的 物 理 定 律 ，一 切 其 它 属 性 （ 心 理 、 伦 理 、 美 学 等 属 性 ） 就 都 确 定 。 认 知 过 程 是 物 理 过 程 。 意 义 、 真 理 等 等 都 要 在 物 理 主 义 的 框 架 下 被 理 解 。作为一种世界观的物理主义 10 一种自然主义的数学哲学1、什么是自然主义？ D. Papineau: Philosophical Naturalism, Oxford: Blackwell D. Papineau： Naturalism, in Stanford Encyclopedia of Philosophy参考文献 11 一种自然主义的数学哲学 2、自然主义与当代数学哲学 12 一种自然主义的数学哲学2、自然主义与当代数学哲学 多 数 当 代 数 学 哲 学 研 究 者 接 受 方 法 论 自 然 主义 ， 即 ：l 承 认 现 代 科 学 的 结 论 ， 在 此 基 础 上 考 虑 数 学 哲 学问 题 ，l 承 认 现 代 科 学 的 方 法 （ 包 括 概 念 分 析 、 逻 辑 推 理 、及 假 说 -演 绎 -观 察 验 证 等 方 法 ） 是 获 得 知 识 的 最可 靠 方 法 ， l 没 有 尝 试 所 谓 超 验 （ transcendental） 方 法 。l 没 有 假 设 某 种 在 自 然 主 义 的 框 架 下 不 可 解 释 的 直觉 。谁接受自然主义？ 13 一种自然主义的数学哲学2、自然主义与当代数学哲学 哥 德 尔 是 例 外 ：l 现 代 科 学 的 唯 物 主 义 是 错 的l 抽 象 直 观 是 认 识 数 学 公 理 的 主 要 途 径谁接受自然主义？ 14 一种自然主义的数学哲学2、自然主义与当代数学哲学 当 代 数 学 哲 学 的 核 心 问 题 ， 是 关 于 数 学 对 象 的 本 体 论问 题 ， 即 是 否 存 在 着 抽 象 数 学 对 象 。 实 在 论 ： 抽 象 数 学 对 象 存 在 ， 数 学 定 理 是 关 于 抽 象 数学 对 象 的 真 理 。l 难 题 ： 我 们 如 何 可 能 获 得 关 于 不 存 在 于 时 空 之 中 的 抽 象 数 学对 象 的 知 识 ？ 唯 名 论 （ 或 反 实 在 论 ） ： 不 存 在 所 谓 抽 象 数 学 对 象（ 或 它 们 不 独 立 于 我 们 的 语 言 与 思 想 存 在 ） 。 l 难 题 ： 数 学 定 理 还 是 真 理 吗 ？ 如 不 是 ， 数 学 如 何 可 能 成 为 科学 的 基 础 ， 在 科 学 应 用 中 得 出 真 理 ？当代数学哲学的核心问题是什么？ 15 一种自然主义的数学哲学2、自然主义与当代数学哲学 蒯 因 的 实 用 主 义 实 在 论 ： 科 学 必 须 用 数 学 ， 数 学 应用 不 可 或 缺 地 承 诺 抽 象 数 学 对 象 ， 因 此 科 学 的 成 功核 证 了 （ justify） 抽 象 数 学 对 象 存 在 。 Burgess的 反 反 实 在 论 ： 数 学 与 其 它 科 学 分 支 一样 ， 是 科 学 的 分 支 ， 方 法 论 自 然 主 义 要 求 我 们 一 样接 受 数 学 家 发 现 的 数 学 真 理 ， 并 非 需 要 物 理 学 应 用才 能 核 证 数 学 真 理 。 Maddy的 数 学 自 然 主 义 ： 数 学 有 自 己 的 方 法 论 原则 ， 数 学 对 象 在 而 且 只 在 数 学 内 部 断 定 它 们 存 在 那种 意 义 上 存 在 。方法论自然主义之下的不同数学哲学 16 一种自然主义的数学哲学2、自然主义与当代数学哲学 各 种 唯 名 论 ：l 可 以 改 写 科 学 理 论 使 它 不 必 指 称 抽 象 数 学 对 象 ， 因 此 科 学的 成 功 不 核 证 抽 象 数 学 对 象 存 在 .（ Field）l 科 学 语 言 中 的 对 象 数 学 对 象 的 指 称 应 该 理 解 为 比 喻 式 的 ，不 是 真 的 指 称 对 象 。 （ Yablo) l 科 学 也 许 不 得 不 在 表 面 上 指 称 抽 象 数 学 对 象 ， 但 科 学 的 成功 并 不 核 证 抽 象 数 学 对 象 存 在 。 (H offman， Leng，Melia)l 数 学 只 需 假 设 一 些 可 能 的 结 构 ， 或 可 能 的 具 体 对 象 。（ Chihara， H ellman）l 方法论自然主义之下的不同数学哲学 17 一种自然主义的数学哲学2、自然主义与当代数学哲学 对 当 代 数 学 哲 学 的 基 本 问 题 的 更 多 的 介 绍 ， 可 参 看叶 峰 ： 二 十 世 纪 数 学 哲 学 一 个 自 然 主 义 者 的 评述 ， 第 一 章 ，http:/ 对 当 代 数 学 哲 学 各 流 派 的 介 绍 可 参 看Shapiro, S. The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, 2005.参考文献 18 一种自然主义的数学哲学 3、一种彻底的自然主义 19 一种自然主义的数学哲学3、一种彻底的自然主义 人 类 是 这 个 物 质 宇 宙 的 一 部 分 ， 是 宇 宙 中 的 物 质 进 化 的产 物 。 认 知 的 主 体 就 是 大 脑 ； 认 知 过 程 最 终 是 物 理 过 程 ； 大 脑的 知 识 来 源 于 基 因 决 定 的 大 脑 的 内 在 结 构 及 大 脑 与 环 境的 物 理 作 用 。 认 知 的 主 体 不 是 非 物 质 的 心 灵 ， 或 所 谓 “ 超 验 自 我 ” ；认 知 过 程 不 是 “ 主 体 ” 对 所 谓 “ 外 部 世 界 ” 的 认 识 。 是 “ 无 我 ” 或 “ 无 主 体 ” 的 自 然 主 义 世 界 观 。一种彻底的自然主义 20 一种自然主义的数学哲学3、一种彻底的自然主义 与 物 理 主 义 相 容 ， 但 也 不 明 确 排 斥 属 性 二 元 论 。 不 是 独 断 的 信 念 ， 只 是 方 法 论 自 然 主 义 的 谨 慎 推 论l 只 假 设 主 流 科 学 较 肯 定 地 接 受 的 结 论 ；l 从 谨 慎 的 、 极 小 的 前 提 出 发 ， 看 看 能 够 解 释 多 少 世 界 与 人 类 活动 的 各 个 方 面 ， 包 括 人 类 的 数 学 实 践 ； l 如 果 可 以 确 定 地 发 现 彻 底 自 然 主 义 不 能 容 纳 的 东 西 ， 那 么 只 能放 弃 彻 底 自 然 主 义 ；l 如 果 可 以 解 释 意 义 、 真 理 、 可 能 性 、 意 向 性 、 意 识 、 自 由 意 志 、伦 理 原 则 、 数 学 知 识 等 等 等 等 ， 那 么 应 该 由 反 对 者 回 答 为 什 么他 们 相 信 那 些 超 出 主 流 科 学 所 接 受 的 结 论 的 那 些 东 西 。一种彻底的自然主义 21 一种自然主义的数学哲学3、一种彻底的自然主义 是 一 种 极 小 主 义 ： 彻 底 自 然 主 义 正 面 所 做 的 应 该 是 各方 都 可 以 接 受 的 。l 即 使 你 相 信 有 灵 魂 ， 你 也 应 该 承 认 有 大 脑 ， 而 且 大 脑 有 极 其 复杂 的 功 能 ；l 仅 仅 假 设 大 脑 的 对 意 义 、 真 理 、 数 学 应 用 等 等 的 解 释 也 是 可 接受 的 。 用 细 致 、 辛 苦 的 技 术 性 工 作 代 替 模 糊 的 思 辨 。一种彻底的自然主义 22 一种自然主义的数学哲学3、一种彻底的自然主义 关 于 语 言 ：l 语 言 是 大 脑 进 化 到 一 定 程 度 后 产 生 的 功 能 ， 大 脑 识 别 、 记 忆 声 音文 字 ， 将 它 们 与 其 它 （ 由 神 经 元 实 现 的 ） 记 忆 在 大 脑 中 相 连 接 ，并 通 过 控 制 身 体 的 行 动 将 它 们 与 环 境 中 的 事 物 相 联 系 ， 而 使 得 声音 文 字 成 为 语 言 。l 语 言 不 是 “ 超 验 主 体 ” 用 来 描 绘 “ 外 部 世 界 ” 的 工 具 。 关 于 概 念 ： l 概 念 是 大 脑 中 的 神 经 元 结 构l 概 念 与 对 象 之 间 的 表 示 关 系 （ 即 指 称 ） 是 物 质 性 的 事 物 之 间 的 物质 性 的 关 系 ， 即 自 然 化 的 表 示 关 系 。l 概 念 不 是 独 立 于 大 脑 、 大 脑 可 以 “ 把 握 ” 的 抽 象 事 物 。彻底的自然主义的推论 23 一种自然主义的数学哲学3、一种彻底的自然主义 关 于 语 言 的 意 义 、 指 称彻底的自然主义的推论兔 子 “兔 子 ” 大 脑 自 然 化 的 表示 关 系“兔 子 ” 指 称表 示 词 项的 概 念自 然 化 的 表示 关 系 神 经 元 联 结 表 示 事 物 的 概念 ， 涵 义 关 于 真 理真 理 也 是 大 脑 中 的 事 物 与 大 脑 外 的 事 物 之 间 的 物 质 性 的 、 自然 的 关 系 。 24 一种自然主义的数学哲学3、一种彻底的自然主义 关 于 可 能 性 ：l 不 存 在 所 谓 可 能 世 界 、 可 能 事 态 。l 各 种 可 能 性 即 各 种 可 想 象 性 ， 要 从 大 脑 想 象 事 物 的 方 式 的 特 征 去解 释 可 能 性 。l 所 谓 大 脑 想 象 事 物 ， 即 大 脑 处 理 一 些 语 言 描 述 ， 即 一 些 神 经 元 活动 。 关 于 抽 象 数 学 对 象 ： l 不 存 在 所 谓 抽 象 对 象 ， 大 脑 不 会 神 秘 地 “ 把 握 ” 独 立 于 人 类 的 抽象 对 象 或 概 念 。l 真 正 存 在 的 是 大 脑 想 象 所 谓 “ 抽 象 对 象 ” 时 创 造 出 的 大 脑 中 的 ，作 为 神 经 元 结 构 的 数 学 概 念 、 思 想 。彻底的自然主义的推论 25 一种自然主义的数学哲学3、一种彻底的自然主义 关 于 数 学 应 用 ：l 一 个 数 学 应 用 过 程 ， 是 大 脑 与 环 境 中 的 事 物 相 互 作 用 的 过 程 ， 是自 然 现 象 。l 解 释 数 学 的 可 应 用 性 是 解 释 一 类 自 然 现 象 中 的 规 律 性 。彻底的自然主义的推论 26 一种自然主义的数学哲学3、一种彻底的自然主义 自 然 主 义 不 是 基 础 主 义 ， 对 数 学 应 用 的 解 释 不 是 对 数 学知 识 的 基 础 主 义 的 辩 护 。 自 然 主 义 不 认 为 有 传 统 意 义 上 的 先 天 的 、 绝 对 可 靠 的 基础 知 识 ：l 设 想 传 统 意 义 上 的 先 天 的 、 绝 对 可 靠 的 知 识 ， 必 须 预 设 绝 对 的 、超 自 然 的 认 知 主 体 。 l 大 脑 的 知 识 ， 是 大 脑 在 进 化 及 与 环 境 的 相 互 作 用 中 产 生 的 。l 大 脑 可 以 重 新 组 织 自 己 的 知 识 库 ， 区 分 更 可 靠 的 与 更 不 可 靠 的 知识 ， 但 没 有 传 统 意 义 上 的 先 天 的 、 绝 对 可 靠 的 知 识 。一个说明 27 一种自然主义的数学哲学 4、从自然主义到唯名论 28 一种自然主义的数学哲学4、从自然主义到唯名论 Naturalism and Abstract Entities，forthcoming in International Studies in the Philosophy of Science.论文 29 一种自然主义的数学哲学4、从自然主义到唯名论 对 数 学 实 践 的 完 备 的 自 然 主 义 描 述 无 须 假 设 抽 象实 体l 数 学 实 践 是 大 脑 的 活 动 ， 对 数 学 实 践 的 自 然 主 义 描 述 ，最 终 是 描 述 神 经 元 活 动 及 其 与 环 境 中 的 事 物 的 物 理 相互 作 用 。l 这 种 描 述 无 需 也 不 能 用 “ 指 称 ” 等 语 义 概 念 ， 也 无 需说 大 脑 中 一 个 实 现 数 学 概 念 的 神 经 元 结 构 “ 指 称 ” 什么 抽 象 实 体 。基本论证 30 一种自然主义的数学哲学4、从自然主义到唯名论 大 脑 A正 在 将 它 的 数 学 概 念 应 用 于 描 述 实 验 室 中 的 物 理 对象 ； 描 述 大 脑 A的 数 学 实 践 活 动 ， 只 需 描 述 大 脑 A中 的 神 经 元如 何 活 动 、 如 何 与 实 验 室 中 的 物 理 对 象 相 联 系 等 等 ， 不必 说 大 脑 A中 的 神 经 元 “ 指 称 ” 了 什 么 数 学 对 象 ； 大 脑 B在 描 述 大 脑 A的 活 动 ， 以 及 大 脑 A与 实 验 室 中 的 物理 对 象 之 间 的 联 系 ； 大 脑 B中 的 神 经 元 以 相 似 的 方 式 活 动 ， 与 大 脑 A及 实 验 室中 的 其 它 物 理 对 象 相 联 系 ； 大 脑 B中 的 神 经 元 也 不 “ 指 称 ” 任 何 数 学 对 象 。一个误解：描述神经元活动依旧需要用数学 31 一种自然主义的数学哲学4、从自然主义到唯名论 经 典 数 学 对 科 学 的 不 可 或 缺 性 仅 仅 意 味 着 ， 某 些 形 式 的大 脑 神 经 元 活 动 （ 比 如 ， 研 究 与 应 用 经 典 数 学 而 非 直 觉主 义 数 学 的 大 脑 神 经 元 活 动 ） ， 对 于 大 脑 认 识 世 界 来 说是 不 可 或 缺 的 。 接 受 “ 存 在 大 于 1000的 素 数 ” 这 个 语 句 ， 本 身 也 是 一 些神 经 元 活 动 ， 与 抽 象 实 体 的 存 在 性 无 关 。 大 脑 中 的 由 神 经 元 实 现 的 概 念 、 思 想 ， 可 以 与 物 质 性 的事 物 产 生 自 然 化 的 “ 表 示 ” 或 “ 真 ” 关 系 ， 但 这 是 物 质性 的 联 系 ， 不 是 超 出 自 然 主 义 的 “ 语 义 表 示 ” 、 “ 指称 ” 、 或 “ 真 ” 。其它一些澄清 32 一种自然主义的数学哲学4、从自然主义到唯名论 论 证 实 在 论 有 认 识 论 难 题 ， 需 要 假 设 关 于 人 类 的 认 知 能力 的 某 些 局 限 ， 如 因 果 知 识 论 假 设 。 这 个 论 证 是 正 面 地 说 ， 大 脑 的 数 学 实 践 活 动 无 须 与 所 谓抽 象 数 学 实 体 相 联 系 ， 而 不 是 反 面 地 说 大 脑 由 于 其 局 限性 不 可 能 认 识 到 抽 象 数 学 实 体 。 论 证 实 在 论 有 指 称 难 题 ， 也 需 要 关 于 指 称 关 系 如 何 实 现的 假 设 ， 如 因 果 指 称 论 。 这 个 论 证 是 正 面 地 说 ， 描 述 大 脑 的 数 学 实 践 活 动 无 须 说明 大 脑 指 称 了 什 么 抽 象 数 学 实 体 ， 而 不 是 反 面 地 说 大 脑不 可 能 指 称 到 抽 象 数 学 实 体 。与传统的反实在论论证的比较 33 一种自然主义的数学哲学4、从自然主义到唯名论 对 论 证 的 结 论 唯 名 论 的 定 义 无 需 用 到 “ 抽 象 实 体 ” 这 个概 念 ：l 数 学 概 念 、 思 想 、 词 项 、 语 句 本 身 是 物 理 对 象 ；l 它 们 在 大 脑 的 认 知 活 动 中 有 相 对 抽 象 的 功 能 ；l 它 们 与 大 脑 外 的 物 理 对 象 间 接 地 产 生 联 系 ；l 数 学 概 念 、 思 想 、 词 项 、 语 句 等 的 意 义 在 于 它 们 的 这 些 认 知 功 能 ，及 它 们 与 大 脑 外 的 物 理 对 象 的 联 系 ； l 对 数 学 概 念 、 思 想 、 词 项 、 语 句 等 在 大 脑 中 的 认 知 功 能 ， 及 它 们与 大 脑 外 的 物 理 对 象 的 联 系 的 自 然 主 义 描 述 ， 已 经 就 是 对 大 脑 的数 学 实 践 的 完 备 的 描 述 。与传统的反实在论论证的比较 34 一种自然主义的数学哲学4、从自然主义到唯名论 Quine同 时 支 持 物 理 主 义 与 数 学 实 在 论 。 Quine的 “ 承 诺 抽 象 实 体 ” 概 念 预 设 了 超 自 然 的 承 诺 主 体l 如 果 一 个 大 脑 承 诺 了 抽 象 实 体 ， 仅 仅 在 于 大 脑 以 某 种 方 式 使 用 语 言 ，那 么 这 仅 仅 是 大 脑 以 某 种 方 式 进 行 神 经 元 活 动 ， 说 一 种 神 经 元 活 动方 式 是 “ 承 诺 了 抽 象 实 体 ” 是 多 余 的 。l 只 有 将 “ 我 们 ” 理 解 为 自 然 世 界 之 外 的 “ 主 体 ” ， 而 不 是 作 为 物 质世 界 一 部 分 的 大 脑 ， 才 会 由 “ 我 们 ” 以 某 种 方 式 使 用 语 言 ， 得 出“ 我 们 承 诺 了 外 部 世 界 ” 中 有 某 种 实 体 。与Quine的比较 35 一种自然主义的数学哲学4、从自然主义到唯名论 Quine的 信 念 之 网 ：l 外 围 为 观 察 语 句 ， 与 经 验 相 联 系 ；l 核 心 包 括 数 学 与 逻 辑 ， 承 诺 了 抽 象 数 学 对 象 ， 描 绘 了 抽 象 数 学 世界 ；l 信 念 之 网 整 体 地 接 受 经 验 的 核 证 。 信 念 之 网 是 大 脑 中 的 神 经 元 结 构 ； 整 体 主 义 仅 仅 意 味 着 ，信 念 之 网 作 为 一 个 物 理 系 统 是 整 体 地 与 环 境 相 互 作 用 。 只 要 不 假 设 一 个 在 信 念 之 网 背 后 的 、 利 用 信 念 之 网 去 描 绘“ 外 部 世 界 ” 的 “ 主 体 ” ， 不 必 说 信 念 之 网 的 核 心 描 绘 了“ 外 部 世 界 ” 中 的 抽 象 数 学 世 界 。整体主义也与抽象实体无关 36 一种自然主义的数学哲学4、从自然主义到唯名论 “ 去 引 号 （ disquotation） ” 指 称 论 与 真 理 论 ：l “雪 ” 指 称 雪 ； “ 雪 是 白 的 ” 是 真 的 ， 当 且 仅 当 雪 是 白 的 。l 指 称 抽 象 对 象 没 有 任 何 困 难 ， “ 3”就 指 称 3。 文 字 或 作 为 神 经 元 的 概 念 与 物 理 对 象 之 间 的 指 称 关 系 ， 是 物质 性 的 事 物 之 间 的 非 常 复 杂 的 关 系 。 “雪 ” 指 称 雪 只 是 陈 述 了 指 称 现 象 ， 没 有 给 出 关 于 指 称 机制 的 理 论 ， 好 比 “ 种 瓜 得 瓜 ， 种 豆 得 豆 ” 只 是 陈 述 了 遗 传 现象 ， 没 有 指 出 遗 传 机 制 。“去引号”真理论也无助于拯救抽象实体 37 一种自然主义的数学哲学4、从自然主义到唯名论 “雪 ” 指 称 雪 的 机 制 是 可 以 给 出 的 ， 即 语 义 表 示 关 系 或 意 向性 关 系 的 自 然 化 ， 但 “ 3”指 称 3的 机 制 无 法 同 样 给 出 。 去 括 弧 指 称 论 带 来 一 个 幻 觉 ， 认 为 指 称 抽 象 对 象 与 指 称 具 体事 物 都 是 简 单 平 凡 的 。“去引号”真理论也无助于拯救抽象实体 38 一种自然主义的数学哲学 5、唯名论数学哲学的任务 39 一种自然主义的数学哲学5、唯名论数学哲学的任务 What ant-realism in philosophy of mathematics must offer， forthcoming in Synthese， Vol. 175, No. 1. available online: http:/ 40 一种自然主义的数学哲学5、唯名论数学哲学的任务 如 果 数 学 对 象 不 存 在 ， 那 么 数 学 知 识 是 关 于 什 么 的 知 识 ？数 学 家 的 数 学 直 觉 、 经 验 是 关 于 什 么 的 直 觉 与 经 验 ？l 实 在 论 者 提 出 ， 尊 重 数 学 家 的 数 学 知 识 、 直 觉 、 经 验 意 味 着 接 受实 在 论 。l 唯 名 论 者 应 该 指 出 数 学 实 践 中 真 正 存 在 的 是 什 么 ， 并 用 这 些 真 正存 在 的 东 西 ， 对 数 学 知 识 、 直 觉 、 经 验 做 出 与 唯 名 论 相 一 致 的 解释 。 l 目 前 的 唯 名 论 数 学 哲 学 或 者 未 尝 试 这 一 点 ， 或 者 在 尝 试 中 依 旧 指称 抽 象 事 物 。数学知识、直觉、经验在于什么 41 一种自然主义的数学哲学5、唯名论数学哲学的任务 直 观 上 ， 数 学 对 象 与 物 理 对 象 之 间 有 一 些 真 实 的 关 系 ，如 黎 曼 空 间 与 物 理 时 空 在 结 构 上 相 似 。 这 些 关 系 是 数 学可 应 用 的 基 础 。 一 些 唯 名 论 者 提 出 ， 数 学 对 象 是 虚 构 的 对 象 ， 虚 构 对 象可 以 与 物 理 对 象 相 似 ， 可 以 做 模 型 模 拟 真 实 对 象 。 l 但 虚 构 对 象 不 存 在 ， 在 什 么 意 义 上 不 存 在 的 事 物 可 以 与 物 理 对 象相 似 ， 可 以 做 模 型 ？l 所 以 这 只 是 比 喻 式 的 描 述 ， 不 是 真 实 的 回 答 。l 实 在 论 者 可 以 说 ， 既 然 所 谓 虚 构 对 象 有 这 些 真 实 属 性 ， 它 们 就 在抽 象 的 意 义 上 存 在 。 唯 名 论 者 应 说 明 ， 数 学 与 物 理 对 象 之 间 的 真 实 关 系 在 于什 么 ， 并 说 明 这 如 何 是 数 学 可 应 用 的 基 础 。数学与物理对象的关系在于什么 42 一种自然主义的数学哲学5、唯名论数学哲学的任务 直 观 上 ， 数 学 是 客 观 的 ， 不 是 随 意 编 撰 的 故 事 。 如 果 数 学对 象 不 存 在 ， 数 学 的 客 观 性 不 在 于 抽 象 数 学 对 象 的 客 观 存在 性 ， 那 么 数 学 的 客 观 性 在 于 什 么 ， 承 认 客 观 性 是 否 蕴 含着 承 认 抽 象 实 体 ？l 承 认 两 个 十 进 制 数 字 相 加 的 结 果 的 正 确 与 否 的 客 观 性 ， 是 否 意 味着 承 认 十 进 制 加 法 运 算 规 则 或 加 法 函 数 作 为 抽 象 实 体 的 客 观 性 ？ 一 些 唯 名 论 者 可 能 否 认 数 学 的 客 观 性 ， 认 为 数 学 仅 仅 是 虚构 的 故 事 。 l 但 如 果 一 个 工 程 师 的 数 学 计 算 上 的 错 误 使 得 一 座 桥 梁 坍 塌 ， 那 应该 是 一 个 客 观 的 错 误 ， 而 不 仅 仅 是 那 个 工 程 师 编 了 一 个 与 众 不 同的 故 事 。数学的客观性在于什么 43 一种自然主义的数学哲学5、唯名论数学哲学的任务 一 些 唯 名 论 者 称 ， 5+7=12是 字 面 意 义 上 （ literally）假 的 。 但 显 然 有 与 “ 5+7=12” 密 切 相 关 的 知 识 、 真 理 ， 孩 子们 在 学 习 5+7=12显 然 学 到 了 某 种 知 识 。 而 且 ， 这 个 知 识 在 直 观 上 是 明 显 的 、 普 遍 的 、 必 然 的 、 与先 天 的 。 真 正 重 要 的 是 解 释 ， 假 如 作 为 抽 象 对 象 的 自 然 数 不 存 在 ，那 么 “ 5+7=12” 蕴 含 的 是 关 于 什 么 的 知 识 ， 而 它 是 否及 为 何 是 明 显 的 、 普 遍 的 、 必 然 的 、 与 先 天 的 。解释算术的显明性、普遍性、必然性、与先天性 44 一种自然主义的数学哲学5、唯名论数学哲学的任务 在 物 理 学 家 看 来 ， 宇 宙 有 可 能 是 有 限 、 离 散 的 。 如 果 是 ，则 假 设 无 穷 的 实 在 性 只 能 是 假 设 了 不 存 在 于 时 空 之 中 的 抽象 对 象 。 宇 宙 是 有 限 还 是 无 穷 在 物 理 学 上 没 有 定 论 ， 但 数 学 哲 学 不应 依 赖 于 物 理 学 假 说 。 而 且 无 穷 数 学 可 应 用 于 明 显 是 有 限 、 离 散 的 事 物 ， 如 经 济学 中 ； 即 使 宇 宙 真 是 有 限 、 离 散 的 ， 我 们 还 是 一 样 应 用 经典 数 学 。 所 以 ， 唯 名 论 者 对 数 学 的 解 说 不 应 以 假 设 任 何 形 式 的 无 穷的 实 在 性 为 基 础 。唯名论者应回避假设无穷的实在性 45 一种自然主义的数学哲学5、唯名论数学哲学的任务 否 定 数 学 定 理 为 真 理 后 ， 解 释 数 学 的 可 应 用 性 ， 应 该 成 为一 种 唯 名 论 数 学 哲 学 的 主 要 工 作 。 一 些 唯 名 论 者 只 是 给 数 学 的 可 应 用 性 贴 了 一 个 标 签 ， 如 经验 恰 当 性 （ empirical adequacy） ， 而 没 有 真 实 地 解释 数 学 的 可 应 用 性 。 一 些 唯 名 论 者 解 释 数 学 的 可 应 用 性 时 假 设 了 无 穷 。 一 些 唯 名 论 者 解 释 数 学 的 可 应 用 性 时 指 称 所 谓 “ 虚 构 对象 ” ， 因 此 他 们 的 解 释 本 身 是 字 面 意 义 上 假 的 。 一 些 唯 名 论 者 没 有 讨 论 这 个 问 题 。解释数学的可应用性 46 一种自然主义的数学哲学5、唯名论数学哲学的任务 将 数 学 实 践 视 为 大 脑 的 活 动 ， 对 数 学 实 践 作 完 全 地 在 字 面意 义 上 真 的 、 科 学 的 解 释 。 以 认 知 科 学 为 基 础 解 释 数 学 知 识 、 直 觉 、 经 验 。 数 学 与 物 理 对 象 的 联 系 ， 最 终 在 于 大 脑 中 由 神 经 元 实 现 的数 学 概 念 、 思 想 与 其 他 物 理 对 象 之 间 的 联 系 。 数 学 的 客 观 性 在 于 大 脑 之 间 的 相 似 性 ， 以 及 大 脑 中 的 数 学概 念 、 思 想 与 其 它 物 理 对 象 之 间 的 联 系 上 的 客 观 性 。在彻底自然主义中完成这些任务的策略 47 一种自然主义的数学哲学5、唯名论数学哲学的任务 算 术 与 逻 辑 的 显 明 性 、 普 遍 性 、 必 然 性 、 与 先 天 性 ， 应 该由 大 脑 的 由 基 因 决 定 的 内 在 结 构 与 先 天 倾 向 ， 以 及 作 为 进化 结 果 的 大 脑 与 环 境 之 间 的 先 天 适 应 性 来 解 释 。 数 学 实 践 中 所 涉 及 的 事 物 都 是 有 限 的 ， 对 数 学 实 践 的 自 然主 义 描 述 是 严 格 地 有 穷 主 义 的 。 数 学 的 可 应 用 性 ， 是 有 限 大 脑 与 有 限 环 境 的 某 类 相 互 作 用中 的 规 律 性 ； 抽 象 掉 其 中 与 逻 辑 无 关 的 细 节 ， 它 成 为 经 典数 学 中 的 概 念 、 陈 述 如 何 可 以 帮 助 推 导 关 于 有 限 事 物 的 真理 这 个 逻 辑 问 题 。在彻底自然主义中完成这些任务的策略 48 一种自然主义的数学哲学 6、数学的可应用性的逻辑解释 49 一种自然主义的数学哲学6、数学的可应用性的逻辑解释1. Strict Finitism and the Logic of Mathematical Applications, book draft, available online: http:/ The applicability of mathematics as a scientific and a logical problem forthcoming in Philosophia Mathematica, available online: http:/philmat.oxfordjournals.org/cgi/content/abstract/nkp014书稿、论文 50 一种自然主义的数学哲学6、数学的可应用性的逻辑解释 一 个 数 学 应 用 过 程 ， 是 一 个 涉 及 大 脑 中 的 数 学 推 理 等 活动 ， 以 及 大 脑 中 的 事 物 与 大 脑 外 的 事 物 的 自 然 化 的 对 应关 系 的 一 个 物 理 过 程自然主义图景中的数学应用物 理 前 提自 然 化 的 真 自 然 化 的 真 数 学 化 的 物 理 假 说物 理 结 论 数 学 结 论模 拟 数 学 证 明解 释大 脑 抽 象 思 想 51 一种自然主义的数学哲学6、数学的可应用性的逻辑解释 数 学 的 可 应 用 性 意 味 着 某 一 类 自 然 现 象 中 的 规 律 性 ， 即 在 那一 类 大 脑 的 数 学 应 用 过 程 中 ， 只 要 存 在 物 理 前 提 与 环 境 中 的事 物 之 间 的 自 然 化 的 对 应 关 系 ， 就 一 定 存 在 物 理 结 论 与 环 境中 的 事 物 之 间 的 自 然 化 的 对 应 关 系 。l 类 似 于 一 类 物 理 过 程 中 的 某 个 物 理 量 的 守 恒 性 解 释 数 学 的 可 应 用 性 意 味 着 科 学 地 解 释 这 一 类 自 然 现 象 中 的规 律 性 。 可 应 用 性 问 题 是 一 个 科 学 问 题 ， 对 可 应 用 性 的 解 释 是 一 个 科学 解 释 。可应用性的自然化 52 一种自然主义的数学哲学6、数学的可应用性的逻辑解释 解 释 数 学 的 可 应 用 性 时 可 以 忽 略 所 有 心 理 学 上 的 细 节 ，比 如 可 以 假 设 大 脑 中 的 概 念 、 思 想 就 是 某 个 形 式 语 言 中的 项 与 公 式 。 可 以 忽 略 自 然 化 的 对 应 关 系 中 的 细 节 ， 将 其 模 拟 为 形 式语 言 与 语 义 模 型 之 间 的 满 足 关 系 。 因 此 ， 可 应 用 性 成 为 一 个 逻 辑 问 题 ， 解 释 可 应 用 性 成 为逻 辑 上 的 技 术 性 的 工 作 。可应用性问题可以抽象成逻辑问题 53 一种自然主义的数学哲学6、数学的可应用性的逻辑解释 关 于 无 穷 数 学 对 象 的 数 学 公 理 ， 对 于 表 达 关 于 宇 宙 中 有限 事 物 的 假 说 ， 推 导 关 于 它 们 的 结 论 ， 是 否 绝 对 地 不 可或 缺 。 无 穷 数 学 的 证 明 如 何 保 持 对 有 限 事 物 的 真 理 性 ； 是 否 可能 将 数 学 应 用 过 程 ， 表 达 为 从 关 于 有 限 具 体 事 物 的 真 假设 ， 到 关 于 有 限 具 体 事 物 的 真 结 论 的 逻 辑 有 效 的 推 导 。 应 用 无 穷 数 学 ， 如 何 简 化 了 关 于 宇 宙 中 有 限 事 物 的 假 说的 表 达 ， 以 及 关 于 它 们 的 结 论 的 推 导 。 l 目 前 还 未 研 究 这 个 问 题 。经典数学可应用性的逻辑之谜 54 一种自然主义的数学哲学6、数学的可应用性的逻辑解释 提 出 一 种 严 格 有 穷 主 义 数 学 （ strict finitism）l 是 无 量 词 的 原 始 递 归 算 术 （ PRA） 的 一 个 片 断 ， 所 接 受 的 函 数 限于 初 等 递 归 函 数 ， 即 由 加 法 、 （ 自 然 数 ） 减 法 、 乘 法 、 幂 函 数 ， 用复 合 与 有 界 极 小 化 构 造 出 的 函 数 ；l 其 陈 述 可 直 接 解 释 为 关 于 有 限 、 具 体 的 计 算 设 备 （ 计 算 机 、 大 脑 等 ）的 字 面 意 义 上 为 真 的 陈 述 。一个解释可应用性的尝试 55 一种自然主义的数学哲学6、数学的可应用性的逻辑解释 严 格 有 穷 主 义 数 学 的 可 应 用 性一个解释可应用性的尝试物 理 假 设自 然 化 的 “ 真 ” 物 理 结 论关 于 有 限 物 理 对 象 的 有 效 推 理联 系 数 学 与 物 理 的 假 设模 拟 严 格 有 穷 主 义 数 学 的 公 理有 限 物 理 对 象有 限 计 算 设 备 56 一种自然主义的数学哲学6、数学的可应用性的逻辑解释 解 释 经 典 数 学 的 可 应 用 性 的 策 略 ：l 在 严 格 有 穷 主 义 的 框 架 中 发 展 应 用 数 学 ；l 证 明 严 格 有 穷 主 义 数 学 原 则 上 就 足 以 表 达 科 学 理 论 ， 完 成 科 学 应用 中 的 计 算 与 推 理 ；l 因 此 ， 经 典 数 学 的 应 用 原 则 上 可 归 约 为 严 格 有 穷 主 义 数 学 的 应 用 ；l 因 此 ， 经 典 数 学 的 可 应 用 性 被 归 约 为 严 格 有 穷 主 义 数 学 的 可 应 用性 。一个解释可应用性的尝试 57 一种自然主义的数学哲学6、数学的可应用性的逻辑解释 关 于 无 穷 数 学 对 象 的 公 理 ， 不 是 关 于 宇 宙 中 有 限 事 物 的科 学 结 论 的 必 不 可 少 的 前 提 。 数 学 应 用 过 程 ， 原 则 上 可 转 换 为 从 关 于 有 限 具 体 事 物 的假 设 ， 到 关 于 有 限 具 体 事 物 的 结 论 的 逻 辑 有 效 的 推 导 。 目 的 是 解 释 一 个 逻 辑 上 的 谜 ， 不 是 要 用 有 穷 主 义 数 学 替代 经 典 数 学 。对可应用性之谜的回答 58 一种自然主义的数学哲学6、数学的可应用性的逻辑解释 解 释 经 典 数 学 的 可 应 用 性 的 主 要 技 术 性 工 作 是 证 明 ： 有穷主义猜想：严 格 有 穷 主 义 数 学 原 则 上 足 以 为 科 学 应 用提 供 数 学 工 具 ， 因 此 经 典 数 学 的 应 用 原 则 上 可 归 约 为 严格 有 穷 主 义 数 学 的 应 用 。实现这个解释要做的工作 59 一种自然主义的数学哲学6、数学的可应用性的逻辑解释 支 持 有 穷 主 义 猜 想 的 理 由 ：l 目 前 已 证 明 微 积 分 、 基 本 的 度 量 空 间 理 论 、 基 本 的 复 分 析 、 勒 贝 格积 分 理 论 、 部 分 泛 涵 分 析 （ 包 括 作 为 经 典 量 子 力 学 的 数 学 基 础 的 无界 线 性 算 子 的 谱 理 论 ） 等 可 以 在 严 格 有 穷 主 义 数 学 的 框 架 中 发 展 起来 。 见 Feng Ye, Strict Finitism and the Logic of Mathematical Applications, book draft. l 无 穷 与 连 续 在 应 用 中 只 是 用 来 作 近 似 ， 似 乎 不 应 该 是 绝 对 不 可 或 缺的 。l 由 不 完 全 性 定 理 得 出 的 独 立 于 严 格 有 穷 主 义 数 学 的 结 论 ， 应 该 理 解为 归 纳 结 论 。l 数 理 逻 辑 中 已 知 的 独 立 于 严 格 有 穷 主 义 数 学 的 一 些 结 论 ， 都 涉 及 增长 太 快 的 函 数 ， 没 有 实 际 应 用 的 机 会 ， 因 为 宇 宙 尺 度 与 基 本 粒 子 尺度 的 比 10100。实现这个解释要做的工作 60谢 谢 ！