直线平面垂直的判定与性质

考 纲 要 求 考 纲 研 读1.以 空 间 直 线 、 平 面 的 位 置 关系 及 四 个 公 理 为 出 发 点 认 识和 理 解 空 间 中 的 垂 直 关 系 2 理 解 直 线 和 平 面 垂 直 、 平面 和 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 3 理 解 并 能 证 明 直 线 和 平 面垂 直 、 平 面 和 平 面 垂 直 的 性 质定 理 4 能 用 公 理 、 定 理 和 已 获 得的 结 论 证 明 一 些 空 间 位 置 关系 的 简 单 命 题 . 1.从 立 体 几 何 的 有 关 定 义 、 定 理 和公 理 出 发 ， 通 过 直 观 感 知 、 操 作 确认 、 思 辨 论 证 ， 认 识 和 理 解 空 间 中线 面 垂 直 的 有 关 性 质 和 判 定 2 正 确 使 用 线 面 垂 直 判 定 的 关 键是 在 平 面 内 找 到 两 条 相 交 直 线 与已 知 直 线 垂 直 ； 要 证 面 面 垂 直 可 转化 为 线 面 垂 直 明 确 线 线 、 线 面 及面 面 垂 直 的 判 定 方 法 及 相 互 转 化是 正 确 解 答 有 关 垂 直 问 题 的 关 键 .第 5讲 直 线 、 平 面 垂 直 的 判 定 与 性 质 1 直 线 与 平 面 垂 直任 意 垂 直(1)直 线 与 平 面 垂 直 定 义 ： 如 果 一 条 直 线 和 一 个 平 面 相 交 ， 并且 和 这 个 平 面 内 的 _一 条 直 线 都 _， 那 么 这 条 直 线 和 这 个平 面 垂 直 (2)直 线 与 平 面 垂 直 判 定 定 理 ： 如 果 一 条 直 线 和 一 个 平 面 内 的两 条 _直 线 都 垂 直 ， 那 么 这 条 直 线 垂 直 于 这 个 平 面 (3)直 线 与 平 面 垂 直 性 质 定 理 ： 垂 直 于 同 一 个 平 面 的 两 条 直 线_平 行 相 交 2 平 面 与 平 面 垂 直(1)平 面 与 平 面 垂 直 的 定 义 ： 相 交 成 直 二 面 角 的 两 个 平 面 ， 叫做 互 相 垂 直 的 平 面 (2)平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 ： 如 果 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平面 的 _， 那 么 这 两 个 平 面 互 相 垂 直 垂 线(3)平 面 与 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 ： 如 果 两 个 平 面 互 相 垂 直 ， 那么 在 一 个 平 面 内 垂 直 于 它 们 _的 直 线 垂 直 于 另 一 个 平 面 3 直 线 与 平 面 所 成 的 角(1)如 果 直 线 与 平 面 平 行 或 者 在 平 面 内 ， 则 直 线 与 平 面 所 成 的角 等 于 0 . 交 线 (2)如 果 直 线 和 平 面 垂 直 ， 则 直 线 与 平 面 所 成 的 角 等 于 90 .(3)平 面 的 斜 线 与 它 在 平 面 上 的 射 影 所 成 的 锐 角 叫 做 这 条 斜 线与 平 面 所 成 的 角 ， 其 范 围 是 (0 ， 90 ) 斜 线 与 平 面 所 成 的 _是 这 条 斜 线 和 平 面 内 经 过 斜 足 的 直 线 所 成 的 一 切 角 中 最 _的 角 4 二 面 角 线 面 角小从 一 条 直 线 出 发 的 两 个 半 平 面 组 成 的 图 象 叫 做 二 面 角 从 二面 角 的 棱 上 任 意 一 点 为 端 点 ， 在 两 个 面 内 分 别 作 垂 直 于 棱 的 两 条射 线 ， 这 两 条 射 线 所 成 的 角 叫 做 二 面 角 的 平 面 角 平 面 角 是 直 角的 二 面 角 叫 做 _直 二 面 角 1 垂 直 于 同 一 条 直 线 的 两 条 直 线 一 定 ( )DA 平 行C 异 面 B 相 交D 以 上 都 有 可 能2 A， B 为 空 间 两 点 ， l 为 一 条 直 线 ， 则 过 A， B 且 垂 直 于 l的 平 面 ( )BA 不 存 在C 有 且 只 有 1 个 B 至 多 1 个D 有 无 数 个 4 如 图 13 5 1， 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ， 下 列 结 论D 图 13 5 1中 正 确 的 个 数 是 ( ) BD1 AC； BD1 A1C1； BD1 B1C.A 0 个 B 1 个C 2 个 D 3 个 3 设 直 线 m与 平 面 相 交 但 不 垂 直 ， 则 下 列 说 法 中 正 确 的是 ( ) A 在 平 面 内 有 且 只 有 一 条 直 线 与 直 线 m垂 直 B 过 直 线 m有 且 只 有 一 个 平 面 与 平 面 垂 直 C 与 直 线 m垂 直 的 直 线 不 可 能 与 平 面 平 行 D 与 直 线 m平 行 的 平 面 不 可 能 与 平 面 垂 直B 5 给 定 下 列 四 个 命 题 ： 若 一 个 平 面 内 的 两 条 直 线 与 另 一 个 平 面 都 平 行 ， 那 么 这 两个 平 面 相 互 平 行 ； 若 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面 的 垂 线 ， 那 么 这 两 个 平 面 相 互垂 直 ； 垂 直 于 同 一 直 线 的 两 条 直 线 相 互 平 行 ； 若 两 个 平 面 垂 直 ， 那 么 一 个 平 面 内 与 它 们 的 交 线 不 垂 直 的直 线 与 另 一 个 平 面 也 不 垂 直 其 中 ， 为 真 命 题 的 是 ( )DA 和 B 和 C 和 D 和 考 点 1 直 线 与 平 面 垂 直 的 判 定 与 性 质例 1： 如 图 3 5 2， 已 知 矩 形 ABCD， 过 A 作 SA 平 面 AC，再 过 A 作 AE SB 于 E 点 ， 过 E 作 EF SC 交 SC 于 F 点 (1)求 证 ： AF SC(2)若 平 面 AEF 交 SD 于 G， 求 证 ： AG SD. 图 13 5 2 解 析 ： (1)证 明 ： 因 为 BC 面 SAB， 且 AE 在 面 SAB 内 ，所 以 AE BC.又 因 为 AE SB， SBBC B，所 以 AE 面 SBC.而 SC 在 面 SBC 内 ，所 以 AE SC.又 因 为 EF SC， EFAE E，所 以 SC 面 AEF.而 AF 在 面 AEF 内 ， 所 以 AF SC. 直 线 与 直 线 垂 直 直 线 与 平 面 垂 直 平 面 与 平面 垂 直 直 线 与 平 面 垂 直 直 线 与 直 线 垂 直 ， 通 过 直 线 与 平 面 位置 关 系 的 不 断 转 化 来 处 理 有 关 垂 直 的 问 题 出 现 中 点 时 ， 平 行 要联 想 到 三 角 形 中 位 线 ， 垂 直 要 联 想 到 三 角 形 的 高 ； 出 现 圆 周 上 的点 时 ， 联 想 直 径 所 对 圆 周 角 为 直 角 【 互 动 探 究 】1 如 图 13 5 3， PA O 所 在 的 平 面 ， AB 是 O 的 直 径 ，C 是 O 上 的 一 点 ， E， F 分 别 是 A 在 PB， PC 上 的 射 影 ， 给 出 下面 结 论 ， 其 中 正 确 命 题 的 个 数 是 ( )B 图 13 5 3 AF PB； EF PB； AF BC； AE 平 面 PBC.A 2 个C 4 个 B 3 个D 5 个解 析 ： 正 确 ， 又 AF 平 面 PBC， 错 误 考 点 2 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 与 性 质例 2： (2011 年 江 苏 )如 图 13 5 4， 在 四 棱 锥 P ABCD 中 ，平 面 PAD 平 面 ABCD， AB AD， BAD 60 ， E， F分 别 是 AP，AD 的 中 点 求 证 ： (1)直 线 EF 平 面 PCD；(2)平 面 BEF 平 面 PAD 图 13 5 4 BF AD BF 面 PAD( 因 为 平 面 PAD 平 面ABCD) 平 面 BEF 平 面 PAD(因 为 BF 平 面 BEF) 前 者 利 用 面面 垂 直 的 性 质 定 理 ， 后 者 利 用 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 ： (1) E， F 分 别 是 AP， AD 的 中 点 ， EF PD.又 PD 面 PCD， EF 面 PCD， 直 线 EF 平 面 PCD.(2) AB AD， BAD 60 ， F 是 AD 的 中 点 ， BF AD.又 平 面 PAD 平 面 ABCD， 面 PAD面 ABCD AD， BF 面 PAD. 平 面 BEF 平 面 PAD. 【 互 动 探 究 】2 (2011 年 浙 江 )下 列 命 题 中 错 误 的 是 ( )DA 如 果 平 面 平 面 ， 那 么 平 面 内 一 定 存 在 直 线 平 行 于 平面 B 如 果 平 面 不 垂 直 于 平 面 ， 那 么 平 面 内 一 定 不 存 在 直 线垂 直 于 平 面 C 如 果 平 面 平 面 ， 平 面 平 面 ， l， 那 么 l 平 面 D 如 果 平 面 平 面 ， 那 么 平 面 内 所 有 直 线 都 垂 直 于 平面 解 析 ： 因 为 若 这 条 线 是 平 面 和 平 面 的 交 线 l， 则 交 线 l 在 平 面 内 ， 明 显 可 得 交 线 l 在 平 面 内 ， 所 以 交 线 l 不 可 能 垂 直 于 平 面 ， 平 面 内 所 有 直 线 都 垂 直 于 平 面 是 错 误 的 考 点 3 线 面 所 成 的 角例 3： 如 图 13 5 5， 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ， 求 A1B与 平 面 A1B1CD所 成 的 角 图 13 5 5 求 直 线 和 平 面 所 成 的 角 时 ， 应 注 意 的 问 题 是 ：(1)先 判 断 直 线 和 平 面 的 位 置 关 系 (2)当 直 线 和 平 面 斜 交 时 ， 常 有以 下 步 骤 ： 作 作 出 或 找 到 斜 线 与 射 影 所 成 的 角 ； 证 论 证所 作 或 找 到 的 角 为 所 求 的 角 ； 算 常 用 解 三 角 形 的 方 法 求 角 ； 结 论 点 明 斜 线 和 平 面 所 成 的 角 值 【 互 动 探 究 】3 如 图 13 5 6， 在 长 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ， AB BC 2， AA1 1， 则 AC1 与 平 面 A1B1C1D1所 成 角 的 正 弦 值 为 ( )图 13 5 6 答 案 ： D 图 D27 考 点 4 立 体 几 何 中 的 探 索 性 问 题例 4： (2011 年 广 东 茂 名 一 模 )如 图 13 5 7， 在 四 棱 锥 PABCD 中 ， 底 面 ABCD 为 菱 形 ， BAD 60 ， Q 为 AD 的 中 点 (1)若 PA PD， 求 证 ： 平 面 PQB 平 面 PAD；(2)点 M 在 线 段 PC 上 ， PM tPC， 试 确 定 t 的 值 ， 使 PA 平面 MQB. 图 13 5 7 解 析 ： (1)如 图 13 5 8， 连 接 BD， 四 边 形 ABCD菱 形 ， BAD 60 ， ABD为 正 三 角 形 又 Q 为 AD 中 点 ， AD BQ. PA PD， Q 为 AD 的 中 点 ， AD PQ.又 BQPQ Q， AD 平 面 PQB.又 AD 平 面 PAD， 平 面 PQB 平 面 PAD. 图 13 5 8 探 索 性 问 题 是 一 种 具 有 开 放 性 和 发 散 性 的 问 题 ，此 类 题 目 的 条 件 或 结 论 不 完 备 要 求 解 答 者 自 己 去 探 索 ， 结 合 已有 条 件 ， 进 行 观 察 、 分 析 、 比 较 和 概 括 它 对 学 生 的 数 学 思 想 、数 学 意 识 及 综 合 运 用 数 学 方 法 的 能 力 提 出 了 较 高 的 要 求 它 有 利于 培 养 学 生 探 索 、 分 析 、 归 纳 、 判 断 、 讨 论 与 证 明 等 方 面 的 能 力 ，使 学 生 经 历 一 个 发 现 问 题 、 研 究 问 题 、 解 决 问 题 的 全 过 程 【 互 动 探 究 】4 (2011 年 广 东 深 圳 一 模 )如 图 13 5 9， 在 四 棱 锥 S ABCD中 ， AB AD， AB/CD， CD 3AB， 平 面 SAD 平 面 ABCD， M 是线 段 AD 上 一 点 ， AM AB， DM DC， SM AD.(1)证 明 ： BM 平 面 SMC； 图 13 5 9 (1) 证 明 ： 平 面 SAD 平 面 ABCD， 平 面 SAD平 面 ABCD AD，SM 平 面 SAD， SM AD， SM 平 面 ABCD. BM 平 面 ABCD, SM BM. 四 边 形 ABCD 是 直 角 梯 形 ， AB/CD， AM AB， DM DC， MAB， MDC 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， AMB CMD 45 ， BMC 90 . BM CM. SM 平 面 SMC， CM 平 面 SMC， SMCM M， BM 平 面 SMC. (2)解 ： 三 棱 锥 C SBM 与 三 棱 锥 S CBM 的 体 积 相 等 ，由 ( 1 ) 知 SM 平 面 ABCD， 1 证 明 线 面 垂 直 的 方 法(1)用 线 面 垂 直 的 定 义 ： 若 一 直 线 垂 直 于 平 面 内 任 一 直 线 ， 这条 直 线 垂 直 于 该 平 面 (2)用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 ： 若 一 直 线 垂 直 于 平 面 内 两 条 相 交直 线 ， 这 条 直 线 垂 直 于 该 平 面 (3)用 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 ： 若 两 平 行 直 线 之 一 垂 直 于 平 面 ，则 另 一 条 直 线 也 垂 直 于 该 平 面 (4)用 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 ： 若 两 个 平 面 垂 直 ， 在 一 个 平 面 内垂 直 于 交 线 的 直 线 必 垂 直 于 另 一 个 平 面 (5)如 果 一 条 直 线 垂 直 于 两 个 平 行 平 面 中 的 一 个 ， 那 么 也 垂 直于 另 一 个 平 面 (6)如 果 两 个 相 交 平 面 都 和 第 三 个 平 面 垂 直 ， 那 么 相 交 平 面 的交 线 也 垂 直 于 第 三 个 平 面 2 判 定 面 面 垂 直 的 方 法(1)定 义 法 ： 首 先 找 二 面 角 的 平 面 角 ， 然 后 证 明 其 为 直 角 (2)用 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 ： 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面 的 一 条垂 线 3 垂 直 于 同 一 个 平 面 的 两 条 直 线 平 行 ， 是 判 定 两 条 直 线 平 行的 又 一 重 要 方 法 ， 是 实 现 空 间 中 平 行 关 系 和 垂 直 关 系 在 一 定 条 件下 相 互 转 化 的 一 种 手 段 4 本 节 教 材 中 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 的 证 明 用 到 反 证 法 ， 反 证法 属 逻 辑 方 法 范 畴 ， 它 的 严 谨 体 现 在 它 的 原 理 上 ， 即 “ 否 定 之 否定 等 于 肯 定 ” ， 其 中 第 一 个 否 定 是 指 否 定 结 论 ， 第 二 个 否 定 是 指“ 逻 辑 推 理 结 果 否 定 了 假 设 ” 5 常 用 定 理 ： (1)过 一 点 有 且 只 有 一 条 直 线 与 已 知 平 面 垂 直 (2)过 一 点 有 且 只 有 一 个 平 面 与 已 知 直 线 垂 直 ；(3)如 果 两 个 平 面 互 相 垂 直 ， 那 么 经 过 第 一 个 平 面 内 的 一 点 垂直 于 第 二 个 平 面 的 直 线 必 在 第 一 个 平 面 内 1 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 是 证 明 线 面 垂 直 的 依 据 和 方 法 ， 在 解决 二 面 角 的 问 题 中 ， 作 其 平 面 角 经 常 用 到 ， 应 用 定 理 的 关 键 是 创设 定 理 成 立 的 条 件 ： 一 是 线 在 面 内 ， 二 是 线 垂 直 于 交 线 两 个 条件 同 时 具 备 才 能 推 出 线 面 垂 直 2 线 线 垂 直 、 线 面 垂 直 、 面 面 垂 直 的 相 互 转 化 是 解 决 有 关 垂直 证 明 题 的 指 导 思 想 ， 既 要 注 意 一 般 的 转 化 规 律 ， 又 要 看 清 题 目的 条 件 ， 选 择 正 确 的 转 化 方 向 ， 不 能 过 于 模 式 化 复 杂 的 题 目 不是 一 次 或 两 次 就 能 完 成 ， 而 是 不 断 从 某 一 垂 直 向 另 一 垂 直 转 化 ，最 终 达 到 目 的