数学分析第二章习题

;, 00 MxSxM 使S无 上 界：;, 00 LxSxL 使S无 下 界：.,0 00 MxSxM 使S无界： S无上界或S无下界f(x)在 D上 无 界 ： .)(,0 00 MxfDxM 使 的有限个点。之外至多有在有),(0,(2) .,0)1(lim nnnn aaU aaNnNaa 第二章习题课数列极限的定义的无限个点。之外有在有不存在),(0,(2) .,0,)1( 00 000 0lim nnnn aaUa aaNnNaa .limlimlim .lim,lim 122 aaaaa aaaaa kkkknn nknnn kk 有数列极限的等价命题 收敛数列的性质 1、唯一性；2、有界性； 3、保号性；4、保不等式性； 5、迫敛性；6、子列收敛性； 7、四则运算性。 数列极限存在的条件单调有界定理。 Cauchy收敛准则。这两个定理都只是在实数系内成立。 求数列an极限的方法：1、 恒 等 变 形 （ 通 分 、 约 分 、 分 子 或 分 母 有 理 化 等 ） ；2、 极 限 的 四 则 运 算 ；4、 利 用 单 调 有 界 定 理 ；3、 利 用 重 要 极 限 en nn )11(lim5、 证 明 奇 偶 子 列 收 敛 于 同 一 个 数 。6、 凭 直 觉 估 计 极 限 值 ， 再 用 极 限 定 义 证 明 。7、 利 用 迫 敛 性 。 几个常用数列的极限).0(,01lim nn ).1|(|,0lim qqnn).0(,1lim aann .1lim nn nkkk mmmn bnbnb anana 110 110lim . , ; ,0 ; ,00 mk mk mkba e)n1(1lim nn 解题方面注意点：1、 -N定义求极限，N的找法。 naan | )1(中解出直接从 *不再含有n n nnaan )(),(| )2(解出中则从适当放大法，若*取整后取作N 2、证明数列an单调的方法。比较，与0 )1( 1 nn aa 比较，与 1 )2( 1nnaa 数学归纳法。 )3( 例 1下列数列是否存在极限，若存在，求出其值。.)1(1lim )1( 2 nn n .1lim )2( n nnn.65 6)4(lim )3( 11 nn nnn .3lim )4( nn n答（1） 发散。（2） 1。（3） 1/6。（4） 0。.)32(323n0 )4( nnn n由迫敛性即得。.72 1lim )5( 22 nnnn （5） 1/2。 例 2 .lim 23 , 2 11 nnnn xxxx 的极限存在并求证明数列证 ,30 1 x则设,30 kxkk xx 230 1 ,363 .30 nx由归纳法知：nnnn xxxx 231又nn nn xx xx 23 23 2nn nn xx xx 23 )1)(3( .0.1 nn xx 故。单调有界，从而有极限所以 nx ，两边取极限，得由nn xx 23 1 ,lim axnn 设,23 aa .1 ,3 （舍）解之得 aa 例 3 ).1()1)(1)(1(lim ,1 242 nxxxxxn 求时当解将分子、分母同乘以因子(1-x), 则x xxxxx nn 1 )1()1)(1)(1)(1(lim 242 原式x xxxx nn 1 )1()1)(1)(1(lim 2422 x xx nnn 1 )1)(1(lim 22 xx nn 11lim 12.1 1x .)0lim,1( 12 nxx n时当 例 4 下 面 极 限 是 否 存 在 ？ 若 存 在 ， 求 之 。解 ).( )1)(1)(21 babannbax nn )(2 12)(212 bannbax n )()(21 baba ,a)(2 12)(21 12 bannbax n )()(21 baba ,b不存在。 lim nn x 解 .0,)(lim 21121 nnnmnnn aaaaaa ，其中求，则记),max( 21 maaaa 例 5 nnmnn aaa 121 )( nna 1)(a nnma 1)( n ma1n m nnmnnn aaa 121 )(lim .a 例 6收敛。证明满足：设,3,2 ,10|,| 11n nnnnn xn kxxkxxx 证 | 11 nnnn xxkxx | 212 nn xxk| 121 xxkn | npn xx 则| 1211 nnpnpnpnpn xxxxxx | 121123122 xxkxxkxxk npnpn |1 )1( 1221 xxkkk pn |1 121 xxkkn ,01 nkn时，当.|,0,0 npn xxpNnN有，故由Cauchy准则，xn收敛。|1 121 xxkkn | npn xx 例 7 证 明收敛。!1!21!111 nxn 证 121321 1!1 nnn |)!( 1)!2( 1)!1( 1| pnnnxx npn 11 2 12121 pnnn 211 )211(21 pn 由Cauchy准则，xn收敛。.|,0,0 npn xxpNnN有，故11 2 121 pnn 121 n ).(,0 n211 )211(21 pn| npn xx 例 8 斐 波 那 契 （ Fibonaci ,1170-1250,意 大 利 数 学 家 ）斐 波 那 契 数 列 ： 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， ).3(,1 2121 nuuuuu nnn后 人 求 出 了 它 的 通 项 ： )2 51()2 51(51 nnnu 一 个 正 整 数 数 列 竟 然 要 用 无 理 数 来 表 示 ！更 令 人 叫 绝 的 是 618.02 15lim 1 nnn uu 黄 金 分 割 数 ！ 解例 9（用单调有界定理）均为正数，、知由 3 30 111 xxx )3(0 112 xxx 故，则设)1(230 kx k 11 3 xx )3()(21 2121 xx 23 ,23)3()(21)3(0 221 kkkkk xxxxx ).1( 230 nxn . ),3,2,1( )3(30 11限的极限存在，并求此极证明，设n nnnx nxxxx 例 9（接着证单调性）nnnnn xxxxxn )3( 1 1 时，当 nnn nn xxx xx )3( )23( ，0 nnn nnnnnn xxx xxxxxx )3( )3()( )3( .单调（增）nx.的极限存在nx . ),3,2,1( )3(30 11限的极限存在，并求此极证明，设n nnnx nxxxx . ),3,2,1( )3(30 11限的极限存在，并求此极证明，设n nnnx nxxxx 例 9（接着求极限）,lim axnn 记,)3(1 nnn xxx 由),3(2 1 nnn xxx 有得令 , n ),3(2 aaa 023 aa，解得.（舍去）.23lim nn x . 0 1且单调增）时，（nxn 作业中的问题P39 3(1)极限存在，并求其值。证明设,2,2 11 nnn aaaa 证 ,221 a ,2na设,22221 nn aa则。有上界故2 na nnnn aaaa 21 )2( nn aa ,0单调减。故 na则存在，设其值为故,lim aann aa 2 .2 0，解之a .2 0,22 aaan不合题意，从而故由于 P39 3(2)证单调增加。显然 na ,121 cca ,12 can设1121 cccaca nn则,12 c。有上界故12 can则存在，设其值为故,lim aann aca .2 411 ca 解之.2 411 02 411,0 cacaan 不合题意，从而故由于极限存在，并求其值。证明设,),0( 11 nnn aacacca P39 6.解 .lim ,lim: Axx Axxx nnn nknn kk 收敛且试证单调且有收敛子列若，单调，不妨设为单调增 nx , Mxx pk ,无上界若nx , , Mxxp kn pnk k ，若ABxnn lim ，则任意子列有ABx knk lim .lim Axnn 与已知矛盾！, MxpM p 使则有单调增，由, pkxn 收敛矛盾！这与 knx单调有界，从而收敛。 nx