数学分析14-5极值问题

20090413 14.5 多 元 函 数 的 极 值 问 题 :补 充 .,.,2,1, , njiaannA jiij 即对 称 矩 阵是 一 个设 都 有如 果 对 , nRx ,0 Axx .为 正 定 矩 阵则 称 A,0 Axx .为 半 正 定 矩 阵则 称 A,0 Axx .为 负 定 矩 阵则 称 A,0 Axx .为 半 负 定 矩 阵则 称 A . , 称 为 不 定 矩 阵不 是 上 面 之 一正 定 、 负 定 、 不 定 矩 阵 0 0所 有 特 征 值 大 于所 有 顺 序 主 子 式 大 于正 定 A : 22 矩 阵 为 例以 2212 1211 aa aaA,011 aA正 定 ,011 aA半 正 定 ,对 称 矩 阵是 一 个设 nnA .02212 1211 aa aa .02212 1211 aa aa ,正 定负 定 AA .半 正 定半 负 定 AA , 2212 1211 aa aaA设 :定 理 .0 2122211 aaaA不 定 一 、 二 元 函 数 极 值 的 定 义 极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值 .使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 . (1)(2)(3)例 1处有极小值在函数)0,0( 43 22 yxz 例 处有极大值在函数)0,0( 22 yxz 例 处无极值在函数)0,0( xyz 定 理 1（ 必 要 条 件 ）设 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 具 有 偏 导 数 ， 且 在 点 ),( 00 yx 处 有 极 值 ， 则 它 在 该 点 的 偏 导 数 必然 为 零 ： 0),( 00 yxfx ， 0),( 00 yxfy . 二 、 多 元 函 数 取 得 极 值 的 条 件 不妨设),( yxfz 在点),( 00 yx处有极大值,证 说明一元函数),( 0yxf在0 xx 处有极大值,必有 0),( 00 yxfx ; 类似地可证 0),( 00 yxfy . 推 广 如果三元函数),( zyxfu在点),( 000 zyxP具有偏导数，则它在),( 000 zyxP有极值的必要条 件为 0),( 000 zyxfx， 0),( 000 zyxfy， 0),( 000 zyxfz . 但不是极值点. 凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的 稳 定 点 .稳定点极值点注 意 ： (偏导存在时) ,)( 0 是 正 定 矩 阵 时则 当 PH f ; 0取 得 极 小 值在 Pf,)( 0 是 负 定 矩 阵 时当 PH f ; 0取 得 极 大 值在 Pf,)( 0 是 不 定 矩 阵 时当 PH f . 0不 取 极 值在 Pf问 题 ： 如 何 判 定 一 个 稳 定 点 是 否 为 极 值 点 ？ :证明知为 稳 定 点以 及的 泰 勒 展 式在由 , , 00 PPf ),(),( 00 yxfyxf ),)(),(21 0 yxPHyx f )( 22 yxo ., 00 yyyxxx 其 中 知 存 在 一 个 与正 定由 ,)( 0PH f , qyx 无 关 的 正 数 qyxPHyx f 2 ),)(),( 0 使 得 )( 22 yx 就 有只 要故 对 充 分 小 的 ),(),( ),( 00 PUyxPU ),(),( 00 yxfyxf )1( oq .0)( 22 yx ; 0取 得 极 小 值在所 以 Pf ,)( 0 是 负 定 矩 阵 时当 PH f ; 0取 得 极 大 值在 Pf同 理 , , 0 不 妨 设 为 极 大 值取 极 值在现 设 Pf ., , 000 yyyxxxP 的 直 线沿 过 任 何 过则 )(),(),( 00 tytyxtxfyxf 也在 0t,取 极 大 值 条 件 知一 元 函 数 取 极 值 的 充 分由 .0)0( 而 )( t yfxf yx )( t 22 2 yfyxfxf yyxyxx )0( ),)(),( 0 yxPHyx f )( 0PH f表 明 .半 负 定 的 取 极 小 值在设 0 Pf:同 理 )( 0PH f .半 正 定 的即 )( 0PH f ,必 为 半 正 定 .或 为 半 负 定 的 !矛 盾, 0取 极 值在若 Pf ,),( 00 Ayxfxx ,),( 00 Byxfxy .),( 00 Cyxfyy :实 用 判 定 条 件设 ,0),( yxfx 0),( yxfy 极 小 值 点 偏 导 数 不 存 在 )0,0(,22 yxz 01010 062 yf xfyx解 .10)1,3( ,0)1,3(,2)1,3( yy xyxxfC fBfA ,0,0202 ABAC 8)1,3( f .,唯 一 极 值 点处 处 存 在 偏 导.为 极 小 值 求 最 值 的 一 般 方 法 ：比 较 函 数 在 区 域 内 的 所 有 稳 定 点 、 无 偏 导 点 、属 于 区 域 的 边 界 点 的 函 数 值 ， 最 大 者 即 为 最 大值 ， 最 小 者 即 为 最 小 值 . 与 一 元 函 数 相 类 似 ， 我 们 可 以 利 用 函 数 的极 值 来 求 函 数 的 最 大 值 和 最 小 值 .三 、 多 元 函 数 的 最 值 解 xyo 6 yxD D如 图 , 0)4(),( 0)4(2),( 22 2yxyxxyxf yxyxxyyxf yx 再求),( yxf在D边界上的最值， 在边界0 x和0y上0),( yxf , 在边界6 yx上，即xy 6 于是)2)(6(),( 2 xxyxf , 得4,0 21 xx ,2|6 4 xxy,64)2,4( f 比较后可知4)1,2( f为最大值,64)2,4( f为最小值. xyo 6 yxD 例 6 求122 yx yxz的最大值和最小值.,0)1( )(2)1( 22222 yx yxxyxzx ,0)1( )(2)1( 22222 yx yxyyxzy解由 ,21)21,21( z ,21)21,21( z 所以最大值为21，最小值为21 . 因为01lim 22 yx yxyx无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其它条件. 多 元 函 数 的 极 值（取得极值的必要条件、充分条件）多 元 函 数 的 最 值四 、 小 结 思 考 题 若),( 0 yxf及),( 0yxf在),( 00 yx点均取得极值，则),( yxf在点),( 00 yx是否也取得极值？作业习题集 习题 14-4 5 (奇数), 6(1,2), 7, 8. 思 考 题 解 答不是. 例如 22),( yxyxf , 当0 x时，2),0( yyf 在)0,0(取极大值; 当0y时，2)0,( xxf 在)0,0(取极小值; 但22),( yxyxf 在)0,0(不取极值.