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第 十 四 章 多 元 函 数 微 分 学2009 04 03 14.1 可 微 性 一 、 偏 导 数 定 义 及 计 算 00yy xxxz ， 00yy xxxf ， 00yy xxxz 或 ),( 00 yxfx . 同 理 可 以 定 义 函 数 ),( yxfz 对 自 变 量 y的 偏 导数 ， 记 作 yz ， yf ， yz 或 ),( yxfy . 例 1 求 22 3 yxyxz 在 点 )2,1( 处 的 偏 导 数 解 xz ;32 yx yz .23 yx 21yxxz ,82312 21yxyz .72213 例 2 设 yxz )1,0( xx ， 求 证 zyzxxzyx 2ln1 .证 xz ,1yyx yz ,ln xxyyzxxzyx ln1 xxxyxyx yy lnln11 yy xx .2z 原 结 论 成 立 例 3 设 22arcsin yx xz ， 求 xz ， yz .解 xz xyx xyx x 2222 21 1 322 222 )(| yx yy yx .| 22 yx y |)|( 2 yy yz yyx xyx x 2222 21 1 32222 )( )(| yx xyy yx yyx x 1sgn22 )0( y00 yxyz 不 存 在 偏 导 数 的 几 何 意 义 ,),(),(,( 00000 上 一 点为 曲 面设 yxfzyxfyxM 如 图 偏 导 数 ),( 00 yxfx 就 是 曲 面 被 平 面 0yy 所 截 得 的 曲 线 在 点 0M 处 的 切 线 xTM0 对 x轴 的 斜 率 . 偏 导 数 ),( 00 yxfy 就 是 曲 面 被 平 面 0 xx 所 截 得 的 曲 线 在 点 0M 处 的 切 线 yTM0 对 y轴 的斜 率 . 几 何 意 义 : 二 、 全 微 分 的 定 义 全 微 分 (Differentiability) 函 数 若 在 某 区 域 D 内 各 点 处 处 可 微 分 ，则 称 这 函 数 在 D 内 可 微 分 . ;),(),(lim 00000 Ax yxfyxxfx 由定义知：0)()( ),(),(lim 22 000000 yx yBxAyxfyyxxfyx 则令 ,0y .),(),(lim 00000 By yxfyyxfy 同理： .),( ),( : 0000 yxfByxfA yx 即习 惯 上 ， 记 全 微 分 为dz ),( 00| yxdz yyxfxyxf yx ),(),( 0000 dyyxfdxyxf yx ),(),( 0000 dyyxfdxyxf yx ),(),( 推 广 到 三 元 及 三 元 以 上 函 数 .dzzudyyudxxudu 解 ,xyyexz ,xyxeyz ,2)1,2( exz ,2 2)1,2( eyz .2 22 dyedxedz 所 求 全 微 分 解 ),2sin( yxyxz ),2sin(2)2cos( yxyyxyz yyzxxzdz ),4(),4(),4( ).74(82 解 ,1xu ,2cos21 yzzeyyu ,yzyezu 所 求 全 微 分 .)2cos21( dzyedyzeydxdu yzyz 一 元 函 数 在 某 点 的 导 数 存 在三 、 可 微 的 条 件多 元 函 数 的 各 偏 导 数 存 在 微 分 存 在 全 微 分 存 在 例 7 .00 0),( 22 2222 yx yxyxxyyxf 在 点 )0,0( 处 有 0)0,0()0,0( yx ff dzz0lim 220 )()(lim yx yx 而不存在， 说 明 ： 多 元 函 数 的 各 偏 导 数 存 在 并 不 能 保 证 全 微 分 存 在 .证 ),(),( 0000 yxfyyxxfz ),(),( 0000 yyxfyyxxf ),(),( 0000 yxfyyxf xyyxxfx ),( 010 )10( 1 在 第 一 个 方 括 号 内 ， 应 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理xyxfx ),( 100 （ 依 偏 导 数 的 连 续 性 ） 且 当 0,0 yx 时 ， 01 .其 中 1 为 yx , 的 函 数 , ),(),( 0000 yyxfyyxxf z 2121 yx ,00 同 理 ,),( 200 yyxfy 当 0y 时 ， 02 ,),(),( 0000 yxfyyxf xyxfx ),( 00 yyxfy ),( 00 x1 y2故 函 数 ),( yxfz 在 点 ),( 00 yx 处 可 微 . 多 元 函 数 连 续 、 偏 导 数 、 可 微 分 的 关 系函 数 连 续 函 数 偏 导 存 在函 数 可 微偏 导 数 连 续 ),(oyBxAz ,0lim0 z),(lim 0000 yyxxfyx ),(lim 000 zyxf ),( 00 yxf可 微 分 连 续 多 元 函 数 连 续 、 偏 导 数 、 可 微 分 的 关 系函 数 连 续 函 数 偏 导 存 在函 数 可 微偏 导 数 连 续 函数可微、函数连续偏导存在 例 8 .0,0 0,),( 22 2222 yx yxyx xyyxf 多 元 函 数 连 续 、 偏 导 数 、 可 微 分 的 关 系函 数 连 续 函 数 偏 导 存 在函 数 可 微偏 导 数 连 续 函数可微、偏导存在函数连续 例 9 22),( yxyxf 上半圆锥连续显然在 )0,0( ,)0,0( 不存在但xf .)0,0(不存在yf. )0,0( 不可微在故f 多 元 函 数 连 续 、 偏 导 数 、 可 微 分 的 关 系函 数 连 续 函 数 偏 导 存 在函 数 可 微偏 导 数 连 续 思 路 ： 按 有 关 定 义 讨 论 ； 对 于 偏 导 数 需 分 )0,0(),( yx ， )0,0(),( yx 讨 论 . 偏导数连续函数可微 证 令 ,cosx ,siny则 22)0,0(),( 1sinlim yxxyyx 1sincossinlim 20 0 ),0,0(f 故 函 数 在 点 )0,0( 连 续 ,)0,0(xf x fxfx )0,0()0,(lim0 ,000lim0 xx同 理 .0)0,0( yf 当 )0,0(),( yx 时 ，),( yxfx ,1cos)(1sin 22322 222 yxyx yxyxy 当 点 ),( yxP 沿 直 线 xy 趋 于 )0,0( 时 ,),(lim )0,0(),( yxfxxx ,|21cos|22|21sinlim 330 xxxxxx 不 存 在 . 所 以 ),( yxfx 在 )0,0( 不 连 续 . 同 理 可 证 ),( yxfy 在 )0,0( 不 连 续 .)0,0(),( fyxff 22 )()( 1sin yxyx )()( 22 yxo 故 ),( yxf 在 点 )0,0( 可 微 .0)0,0( df 多 元 函 数 连 续 、 偏 导 数 、 可 微 分 的 关 系函 数 连 续 函 数 偏 导 存 在函 数 可 微偏 导 数 连 续 四 、 全 微 分 的 几 何 意 义n TM 空 间 曲 面 方 程 形 为 ),( yxfz 曲 面 在 M处 的 法 线 方 程 为 .1),(),( 000 000 0 zzyxf yyyxf xx yx )(,()(,( 0000000 yyyxfxxyxfzz yx 切 平 面 上 点 的竖 坐 标 的 增 量 的 全 微 分在 点函 数 ),(),( 00 yxyxfz 曲 面 在 M处 的 切 平 面 方 程 为 五 、 全 微 分 在 近 似 计 算 中 的 应 用都较小时，有近似等式连续，且个偏导数的两在点当二元函数yxyxfyxf yxPyxfz yx ,),(),( ),(),( 00 .),(),( 0000 yyxfxyxfdzz yx 也 可 写 成 .),(),(),( ),( 000000 00 yyxfxyxfyxf yyxxf yx 解 .),( yxyxf 设 函 数 .02.0,04.0,2,1 yxyx取 ,1)2,1( f ,),( 1 yx yxyxf ,ln),( xxyxf yy ,2)2,1( xf ,0)2,1( yf由 公 式 得 02.0004.021)04.1( 02.2 .08.1 、 多 元 函 数 偏 导 数 、 全 微 分 的 概 念 ； 、 多 元 函 数 偏 导 数 、 全 微 分 的 求 法 ； 、 多 元 函 数 连 续 、 偏 导 存 在 、 可 微 的 关 系 （ 注 意 ： 与 一 元 函 数 有 很 大 区 别 ）六 、 小 结 作 业 ： 习 题 集 14.11、 偶 数 ， 2、 偶 数 ，3， 6, 7， 8， 9
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