数学分析14-7隐含数的几何应用

2009 04 17 14.7 隐 函 数 定 理 的 几 何 应 用 一、平面曲线的切线与法线设 平 面 曲 线 的 方 程 .0),( yxF )(xfy :切 线 方 程 )( 000 xxxfyy :法 线 方 程 )()(1 000 xxxfyy 而 ,)( yxFFxf 所 以 :切 线 :法 线 0)(,()(,( 000000 yyyxFxxyxF yx 0)(,()(,( 000000 yyyxFxxyxF xy 设 空 间 曲 线 的 方 程 )1()( )( )( tzz tyy txx oz yx二、空间曲线的切线与法平面M. ),( 0 000 ttt zzyyxxM 对 应 于 ;),( 0000 ttzyxM 对 应 于设 M(1)式 中 的 三 个 函 数 均 在 0tt 处 可 导 .0)()()( 202020 tztytx且 考 察 割 线 趋 近 于 极 限 位 置 切 线 的 过 程zzzyyyxxx 000 tt t上 式 分 母 同 除 以 ,t oz yx M M割 线 的 方 程 为MM ,000 zzzyyyxxx ,0, 时即当 tMM曲 线 在 M处 的 切 线 方 程 .)()()( 000 00 0 tz zzty yytx xx 切 向 量 ： 切 线 的 方 向 向 量 称 为 曲 线 的 切 向 量 . )(),(),( 000 tztytxT 法 平 面 ： 过 M点 且 与 切 线 垂 直 的 平 面 . 0)()()( 000000 zztzyytyxxtx 例 1 求 曲 线 : t u uduex 0 cos ， ty sin2tcos , tez 31 在 0t 处 的 切 线 和 法 平 面 方 程 .解 当 0t 时 ， ,2,1,0 zyx,costex t ,sincos2 tty ,3 3tez ,1)0( x ,2)0( y ,3)0( z切 线 方 程 ,3 22 11 0 zyx法 平 面 方 程 ,0)2(3)1(2 zyx .0832 zyx即 1.空 间 曲 线 方 程 为 ,)( )( zyy zxx,),( 000 处在 zyxM ,1)()( 00000 zzzy yyzx xx .0)()()( 00000 zzyyzyxxzx法 平 面 方 程 为切 线 方 程 为特 殊 地 ： 2.空 间 曲 线 方 程 为 ,0),( 0),( zyxG zyxF,0),( ),( 0 Myx GF ),(),( zyzx ),(),( 0000 zyzx 使 得且dzdx , ),( ),( ),( ),( yx GF yz GF dzdy ),( ),( ),( ),( yx GF zx GF 切 线 方 程 为 ,000 000 Myx yxMxz xzMzy zy GG FF zzGG FF yyGG FF xx 法 平 面 方 程 为 .0)()()( 000 000 zzGG FFyyGG FFxxGG FF Myx yxMxz xzMzy zy ,1 000 00 zzdzdy yydzdx xx MM :即 例 2 求 曲 线 6222 zyx ， 0 zyx 在点 )1,2,1( 处 的 切 线 及 法 平 面 方 程 . 解 1 直 接 利 用 公 式 ;解 2 将 所 给 方 程 的 两 边 对 x求 导 并 移 项 ， 得 1dxdzdxdy xdxdzzdxdyy ,zy xzdxdy ,zy yxdxdz 由 此 得 切 向 量 ,1,0,1 T所 求 切 线 方 程 为 ,110 21 1 zyx法 平 面 方 程 为 ,0)1()2(0)1( zyx 0 zx ,0)1,2,1( dxdy ,1)1,2,1( dxdz 设 曲 面 方 程 为 0),( zyxF ),(),(),( 000 tztytxT 曲 线 在 M处 的 切 向 量在 曲 面 上 任 取 一 条 通过 点 M的 曲 线 ,)( )( )(: tzz tyy txx三、曲面的切平面与法线n TM ),(),(),( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx令 则 ,Tn 切 平 面 方 程 为 0)(,( )(,()(,( 0000 00000000 zzzyxF yyzyxFxxzyxF z yx (Tangent Plane) 通 过 点 ),( 000 zyxM 而 垂 直 于 切 平 面 的 直 线称 为 曲 面 在 该 点 的 法 线 .法 线 方 程 为 ),(),(),( 000 0000 0000 0 zyxF zzzyxF yyzyxF xx zyx ),(),(),( 000000000 zyxFzyxFzyxFn zyx曲 面 在 M处 的 法 向 量 (Normal vector)即垂 直 于 曲 面 上 切 平 面 的 向 量 称 为 曲 面 的 法 向 量 .(Normal Line) 特 殊 地 ： 空 间 曲 面 方 程 形 为 ),( yxfz 曲 面 在 M处 的 切 平 面 方 程 为 ,)(,()(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx 曲 面 在 M处 的 法 线 方 程 为 .1),(),( 000 000 0 zzyxf yyyxf xx yx ,),(),( zyxfzyxF 令 若 、 、 表 示 曲 面 的 法 向 量 的 方 向 角 ，并 假 定 法 向 量 的 方 向 是 向 上 的 ， 即 使 得 它 与 z 轴 的 正 向 所 成 的 角 是 锐 角 ， 则 法 向 量 的 方 向余 弦 为 ,1cos 22 yx x fff ,1cos 22 yx y fff .1 1cos 22 yx ff ),( 00 yxff xx ),( 00 yxff yy 其 中 例 3 求 旋 转 抛 物 面 122 yxz 在 点 )4,1,2(处 的 切 平 面 及 法 线 方 程 .解 ,1),( 22 yxyxf )4,1,2()4,1,2( 1,2,2 yxn ,1,2,4 切 平 面 方 程 为 ,0)4()1(2)2(4 zyx ,0624 zyx法 线 方 程 为 .142 14 2 zyx 例 4 求 曲 面 32 xyez z 在 点 )0,2,1( 处 的切 平 面 及 法 线 方 程 .解 ,32),( xyezzyxF z,42 )0,2,1()0,2,1( yFx ,22 )0,2,1()0,2,1( xFy,01 )0,2,1()0,2,1( zz eF令切 平 面 方 程法 线 方 程 ,0)0(0)2(2)1(4 zyx ,042 yx .0 01 22 1 zyx 例 5 求 曲 面 2132 222 zyx 平 行 于 平 面064 zyx 的 各 切 平 面 方 程 .解 设 为 曲 面 上 的 切 点 ,),( 000 zyx切 平 面 方 程 为 0)(6)(4)(2 000000 zzzyyyxxx依 题 意 ， 切 平 面 方 程 平 行 于 已 知 平 面 ， 得,664412 000 zyx .2 000 zyx 因 为 是 曲 面 上 的 切 点 ，),( 000 zyx ,10 x所 求 切 点 为满 足 方 程 ),2,2,1( ),2,2,1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx 2164 zyx 0)2(12)2(8)1(2 zyx 2164 zyx切 平 面 方 程 (1)切 平 面 方 程 (2) 空 间 曲 线 的 切 线 与 法 平 面曲 面 的 切 平 面 与 法 线（ 当 空 间 曲 线 方 程 为 一 般 式 时 ， 求 切 向量 注 意 采 用 推 导 法 ）（ 求 法 向 量 的 方 向 余 弦 时 注 意 符 号 ）四、小结 作 业 习 题 集 15.11; 2； 4； 5; 10; 11; 12.