概念1高等数学微积分

第 6章 常 微 分 方 程对 自 然 界 的 深 刻 研 究 傅 里 叶微 积 分 研 究 的 对 象 是 函 数 关 系 , 但 在 实 际 问 题 中 ,往 往 很 难 直 接 得 到 所 研 究 的 变 量 之 间 的 函 数 关 系 ,却 比 较 容 易 建 立 起 这 些 变 量 与 它 们 的 导 数 或 微 分 之间 的 联 系 ,从 而 得 到 一 个分 的 方 程 ,即 微 分 方 程 . 通 过 求 解 这 种 方 程 , 同 样 可以 找 到 指 定 未 知 量 之 间 的 函 数 关 系 .因 此 ,微 分 方 程 是 数 学 联关 于 未 知 函 数 的 导 数 或 微是 数 学 最 富 饶 的 源 泉 .系 实 际 ,并 应 用 于 实 际 并 应 用 于 实 际 的 重 要 途 径 和 桥 梁 ,是 各 个 学 科 进 行科 学 研 究 的 强 有 力 的 工 具 .如 果 说 “ 数 学 是 一 门 理 性 思 维 的 科 学 , 是 研 究 、了 解 和 知 晓 现 实 世 界 的 工 具 ” , 那 么 微 分 方 程 就 是显 示 数 学 的 这 种 威 力 和 价 值 的 一 种 体 现 .现 实 世 界 中 的 许 多 实 际 问 题 都 可 以 抽 象 为 微 分方 程 问 题 .例 如 , 物 体 的 冷 却 、 琴 弦 的震 动 、 电 磁 波 的 传 播 等 , 都 可 以 归 结 为 微 分 方 程 的 问 题 . 人 口 的 增 长 、 微 分 方 程 是 一 门 独 立 的 数 学 学 科 , 有 完 整 的理 论 体 系 .本 章 我 们 主 要 介 绍 微 分 方 程 的 一 些 基 本 概 念 ,种 常 用 的 微 分 方 程 的 求 解 方 法 , 线 性 微 分 方 程解 的 理 论 .几这 时 微 分 方 程 也 称 为 所 研 究 问 题 的 数 学 模 型 . 例 1 一 曲 线 通 过 点 (1,2),且 在 该 曲 线 上 任 一 点),( yxM 处 的 切 线 的 斜 率 为 x2 ,求 这 曲 线 的 方 程 .解 )(xyy 设 所 求 曲 线 为xdxdy 2 xdxy 2 2,1 yx 时其 中 ,2 Cxy 即 ,1C求 得.12 xy所 求 曲 线 方 程 为一 、 问 题 的 提 出 6.1 微 分 方 程 的 基 本 概 念 例 2 列 车 在 平 直 的 线 路 上 以 20 米 /秒 的 速 度 行 驶 ,当 制 动 时 列 车 获 得 加 速 度 4.0 米 /秒 2,问 开 始 制 动 后 多 少 时 间 列 车 才 能 停 住 ？ 以 及 列 车 在 这 段 时 间 内行 驶 了 多 少 路 程 ？解 )(, tssst 米秒 钟 行 驶设 制 动 后 4.022 dtsd ,20,0,0 dtdsvst 时14.0 Ctdtdsv 2122.0 CtCts 代 入 条 件 后 知 0,20 21 CC,202.0 2 tts ,204.0 tdtdsv故 ),(504.020 秒t 列 车 在 这 段 时 间 内 行 驶 了 ).(5005020502.0 2 米s 开 始 制 动 到 列 车 完 全 停 住 共 需 微 分 方 程 :凡 含 有 未 知 函 数 的 导 数 或 微 分 的 方 程 叫 微 分 方 程 .例 ,xyy ,0)( 2 xdxdtxt ,32 xeyyy ,yxxz 实 质 : 联 系 自 变 量 ,未 知 函 数 以 及 未 知 函 数 的某 些 导 数 (或 微 分 )之 间 的 关 系 式 .二 、 微 分 方 程 的 定 义 微 分 方 程 的 阶 : 微 分 方 程 中 出 现 的 未 知 函 数 的 最高 阶 导 数 的 阶 数 称 之 .分 类 1: 常 微 分 方 程 , 偏 常 微 分 方 程 .,0),( yyxF一 阶 微 分 方 程 );,( yxfy 高 阶 (n)微 分 方 程 ,0),( )( nyyyxF ).,( )1()( nn yyyxfy 分 类 2: 分 类 3: 线 性 与 非 线 性 微 分 方 程 .),()( xQyxPy ;02)( 2 xyyyx分 类 4: 单 个 微 分 方 程 与 微 分 方 程 组 . ,2 ,23 zydxdz zydxdy 微 分 方 程 的 解 :代 入 微 分 方 程 能 使 方 程 成 为 恒 等 式 的 函 数 称 之 . ,)( 阶 导 数上 有在 区 间设 nIxy .0)(,),(),(,( )( xxxxF n微 分 方 程 的 解 的 分 类 ：三 、 主 要 问 题 -求 方 程 的 解(1)通 解 : 微 分 方 程 的 解 中 含 有 任 意 常 数 ,且 任意 常 数 的 个 数 与 微 分 方 程 的 阶 数 相 同 . (2)特 解 : 确 定 了 通 解 中 任 意 常 数 以 后 的 解 .,yy 例 ;xcey 通 解,0 yy ;cossin 21 xcxcy 通 解解 的 图 象 : 微 分 方 程 的 积 分 曲 线 .通 解 的 图 象 : 积 分 曲 线 族 .初 始 条 件 : 用 来 确 定 任 意 常 数 的 条 件 . 过 定 点 的 积 分 曲 线 ; 00 ),( yy yxfy xx一 阶 :二 阶 : 00 00 , ),( yyyy yyxfy xxxx过 定 点 且 在 定 点 的 切 线 的 斜 率 为 定 值 的 积 分 曲 线 .初 值 问 题 : 求 微 分 方 程 满 足 初 始 条 件 的 解 的 问 题 . 求所满足的微分方程 .例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q PQ xyo x解: 如图所示, yY y 1 )( xX 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标yyxX ,xyyx 即02 xyy点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分, 解 ,cossin 21 ktkCktkCdtdx ,sincos 221222 ktCkktCkdtxd ,22 的 表 达 式 代 入 原 方 程和将 xdtxd .0)sincos()sincos( 212212 ktCktCkktCktCk .sincos 21 是 原 方 程 的 解故 ktCktCx ,0, 00 tt dtdxAx .0, 21 CAC所 求 特 解 为 .cosktAx 补 充 : 微 分 方 程 的 初 等 解 法 : 初 等 积 分 法 .求 解 微 分 方 程 求 积 分(通 解 可 用 初 等 函 数 或 积 分 表 示 出 来 ) 例 5 求 曲 线 族 122 Cyx 满 足 的 微 分 方 程 , 其 中 C为 任 意 常 数 .解 求 曲 线 族 所 满 足 的 方 程 , 就 是 求 一 微 分 方 程 ,所 给 的 曲 线 族 正 好 是 该 微 分 方 程 的 积 分 曲 线 族 .此 所 求 的 微 分 方 程 的 阶 数 应 与常 数 的 个 数 相 等 . 这 里 ,法 来 得 到 所 求 的 微 分 方 程 . 已 知 曲 线 族 中 的 任 意我 们 通 过 消 去 任 意 常 数 的 方对 x求 导 , 得 .022 yCyx再 从 122 Cyx 解 出 ,1 2 2yxC 代 入 上 式 得,0122 2 2 yyyxx 使因在 等 式 122 Cyx 两 端化 简 即 得 到 所 求 的 微 分 方 程 .0)1( 2 yxxy 微 分 方 程 ; 微 分 方 程 的 阶 ; 微 分 方 程 的 解 ;通 解 ; 初 始 条 件 ; 特 解 ; 初 值 问 题 ; 积 分 曲 线 ;四 、 小 结 思 考 题 函 数 xey 23 是 微 分 方 程 04 yy的 什 么 解 ? 思 考 题 解 答 ,6 2xey ,12 2xey yy 4 ,03412 22 xx eexey 23 中 不 含 任 意 常 数 ,故 为 微 分 方 程 的 特 解 . 三 、 设 曲 线 上 点 ),( yxP 处 的 法 线 与 x轴 的 交 点 为 Q,且 线 段 PQ被 y轴 平 分 ,试 写 出 该 曲 线 所 满 足 的 微 分 方 程 . 一 、 填 空 题 : 1、 02 2 yxyyx 是 _阶 微 分 方 程 ； 2、 022 cQdtdQRdtQdL 是 _阶 微 分 方 程 ； 3、 2sindd 是 _阶 微 分 方 程 ；4、 一 个 二 阶 微 分 方 程 的 通 解 应 含 有 _个 任 意 常 数 . 二 、 确 定 函 数 关 系 式 )sin( 21 cxcy 所 含 的 参 数 ,使 其 满 足 初 始 条 件 1xy , 0 xy . 练 习 题 四 、 已 知 函 数 1 xbeaey xx ,其 中 ba , 为 任 意 常 数 ,试 求 函 数 所 满 足 的 微 分 方 程 . 练 习 题 答 案 一 、 1、 3； 2、 2； 3、 1； 4、 2. 二 、 .2,1 21 CC 三 、 02 xyy .四 、 xyy 1 .