曲面与空间曲线qumianjikognjianquxia

山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案6 曲面与空间曲线例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。解： 设M(x,y,z)为动点的坐标，动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得一.曲面及其方程： 1.曲面方程的一般概念：而满足此方程的点都在曲面上，则称此方程为该曲面的方程，而曲面称为此方程的图形。定义：若曲面上的点的坐标(x,y,z) 都满足方程F(x,y,z)=0， 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案2 2 2 2 2 2( 2) ( 3) ( 1) ( 4) ( 5) ( 6)x y z x y z 整理得 4 4 10 63 0 x y z 此即所求点的规迹方程，为一平面方程。 2.坐标面及与坐标面平行的平面方程： 坐标平面xOy的方程：z=0 过点（a,b,c)且与xOy面平行的平面方程：z=c 坐标面yOz、坐标面zOx以及过（a,b,c)点且分别与之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案 3. 球面方程： 球面的标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径 的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例2：求x 2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22 故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2的球。球面方程的特点：平方项系数相同；没有交叉项。 球面的一般方程： x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案 一般我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成的轨迹称为柱面。其中直线l称为柱面的母线，定曲线c称为柱面的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。此时有以下结论： 分析：母线平行于坐标轴的柱面的特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：无论z取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。 若柱面的母线平行于z轴，准线c是xOy面上的一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面。4.母线平行于坐标轴的柱面方程： 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案2 2 2x y a 圆柱面；2 22 2 1x ya b 椭圆柱面；2 22 2 1x ya b 双曲柱面；2 2x py抛物柱面。以上所举例均为母线平行于z轴的情况，其他情况类似。几种常见柱面：x+y=a 平面； 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案4.旋转曲面： 一般情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内的定直线l旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。其中c称为母线，l称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此时有以下结论： 设yOz平面上有一已知曲线c 其方程为f(y,z)=0，将c绕 z轴旋转一周，所得到的以z轴 为轴的放置曲面的方程为： 2 2( , ) 0f x y z 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案同理，曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为：2 2( , ) 0f y x z 同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面2 2( , ) 0f x y z 绕y轴为2 2( , ) 0f x z y 以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得曲面 2 2( , ) 0f x y z 绕z 轴得曲面2 2( , ) 0f x y z 例3 求顶点在原点，旋转轴为z轴， 半顶角为a的圆锥面方程。解：将yOz面上的直线z=yctg 绕z轴旋转一周即得圆锥曲面2 2z x yctg 整理后得： 2 2 2 2( )z a x y 其中a=ctg 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案二.空间曲线及其方程： 1.空间曲线的一般方程： 空间曲线一般可看作两个曲面的交线，若两个曲面的方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则易知其交线c的方程为( , , ) 0( , , ) 0F x y zG x y z 称此方程组为曲线c的一般方程。 例4：方程组 2 2 2 52x y zz 表示怎样的曲线？解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案表示母线平行于Z 轴，准线在xoy面上半径为1的上半球面例 方程 表示怎样曲线2 2 22 2 2( ) ( )2 2Z a x ya ax y 2 2z x y 解： 表示中心在原点， 2 2 2( ) ( )2 2a ax y 半径为1的圆柱面它们的交线是xoy面上的一个圆，其圆心在 ，半径为( ,0)2a 2a 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案2.空间曲线的参数方程： 方程组( )( )( )x x ty y tz z t 称为空间中曲线的参数方程。设空间曲线方程如果选定一个适当的函数 x=x（x）代入上述方程组并有它解出y=（x），Z=Z（x）得例 如果空间一点M在圆柱面 x 2 +y2 =a2 上以等角速度 绕z周旋转，同时，以等速度v沿平行于Z轴的正方向 移动，则点M运动的轨迹叫螺旋线，求其参数方程 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案M N vt z t MN cossinx a ty tz vt cossinx ayz R 螺旋线有一个重要性质，当 从 变到 时，Z由 变到 这说明当 转过角 时， 点沿螺旋线升了高度 ，即上升的高度与 转过角度成正比。 0 00b 0b b oM Mb oM 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案 三.空间曲线在坐标面上的投影：( , , ) 0( , , ) 0F x y zG x y z 在该方程组中消去z得H(x,y)=0，此为一个通过曲线L母线平行于z轴的柱面，称为曲线c关于xOy面的投影柱面。此投影柱面与xOy平面的交线即为c在xOy平面上的投影曲线，简称投影，其方程为( , ) 0 0H x yz 同理可得L在yOz面及xOz面上投影方程为( , ) 00T x zy ( , ) 00R y zx 和 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案解 消去Z得1-y2=3x2+y2投影柱面方程为3x2+2y2=1例 求曲线L： 在三个坐标面上的投影曲线2 223 1x y zz y 2 23 10 x yz 投影曲线方程 23 2 1 10 x zy 投影曲线方程消去x得Z=1-y2 210z yx 投影曲线方程消去y得3x2+1-2Z=0投影柱面方程为3x2-2Z-1=0投影柱面方程为Z=1-y2 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案的交线是一条空间曲线例 两个柱面 和 2 2 2x z a 2 2 2x y a 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案 例5：求曲线2 2 22 2 21( 1) ( 1) 1x y zx y z 在xOy面上的投影方程。 解：上式减下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程为 2 22 2 0 x y y 从而曲线在xOy面上的投影方程为2 22 2 00 x y yz 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案四 二次曲面通过截痕法，了解二次曲面的全貌1.椭球面2 2 22 2 2 1x y za b c 与三个坐标面的交线均为椭圆 2 22 2 10 x ya bz 2 22 2 10 x za cy 2 22 2 10z ya bx 若a=b,则 旋转椭球面2 2 22 2 2 1x y za a c 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案2 单叶双曲面2 2 22 2 2 1 ( , ,x y z abca b c 为正数）Z=h 截,截痕为一椭圆。 2 22 22 22 2 1(1 ) (1 )x yh ha bc cz h 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案2 22 22 22 2 1(1 ) (1 )y zh hb ca ax h x=h ，或y=h截,截痕为一双曲线。2 22 22 22 2 1(1 ) (1 )x zh ha cb by h 2）当 时，截痕为一对直线 b b1）当 时，曲线为双曲线，实轴平行与x轴，虚轴平行与z轴，当 由零增大到b时，曲线的两半轴缩小至零。b b b3）当 时，曲线仍为双曲线，但实轴平行于z轴，虚轴平行与x轴，当 由 b增大时，曲线的两半轴也增大。b b b 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案同样用平行于yoz的平面相截时截痕也是双曲线，可用同样的方法讨论。这是单叶旋转双曲面。当a=b时，方程变为2 2 22 2 1x y za c 3 双叶双曲面 2 2 22 2 2 1 ( , ,x y z a b ca b c 为正数）双叶双曲面对称于坐标原点及三个坐标面Z=h截，截痕为2 22 2 2 22 2 1( 1) ( 1)x yh ha bc cz h 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案当x=h，或y=h截，截痕为双曲线4 椭圆抛物面当 时为椭圆h c当 时无截痕，当 时是两点（0，0， ）h c h c c 2 22 2 ( , ,x y z a ba b 为正数） 山东水利职业学院数理化教研室 应用数学精品课程电子教案5 双叶抛物面2 22 2 ( , ,x y z a ba b 为正数）6 二次锥面 2 2 22 2 2 0 ( , ,x y z a b ca b c 为正数）