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20090413 14.4 高 阶 偏 导 与 泰 勒 公 式 ),(22 yxfxzxzx xx ),(22 yxfyzyzy yy),(2 yxfyx zxzy xy ),(2 yxfxy zyzx yx函数),( yxfz 的二阶偏导数为纯偏导混合偏导定义1：二阶及二阶以上的偏导数统称为 高阶偏导数.一 、 高 阶 偏 导 数 .02222 yuxu 解 ),ln(21ln 2222 yxyx ,22 yx xxu ,22 yx yyu ,)()( 2)( 222 22222 2222 yx xyyx xxyxxu .)()( 2)( 222 22222 2222 yx yxyx yyyxyu 222 22222 222222 )()( yx yxyx xyyuxu .0 解 xz ,33 322 yyyx yz ;92 23 xxyyx 22xz ,6 2xy 22yz ;182 3 xyx 33xz ,6 2y yxz .196 22 yyxxyz ,196 22 yyx 解 ,cosbyaexu ax ;sinbybeyu ax,cos222 byeaxu ax ,cos222 byebyu ax,sinbyabeu axxy .sinbyabeu axyx 问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？4例,0,0 ,0),( 22 2222 22 yx yxyx yxxyyxf ,0,0 ,0)( )4(),( 22 22222 4224 yx yxyx yyxxxyxfy .1)0,0(,1)0,0( yxxy ff ,0,0 ,0)( )4(),( 22 22222 4224 yx yxyx yyxxyyxfx 二 、 复 合 函 数 的 高 阶 偏 导 数标准求法数都是具有二阶连续偏导、设例 , 5 yxf ),(),( tsytsxfu., 22222 tsutusu 求由链式法则知解： ,syyfsxxfsu .tyyftxxftu 的二元函数， )()(22 syyfssxxfssu 22)( sxxfsxxfs 22)( syyfsyyfs sxsyyx fsxxf )( 222 22sxxf sysyyfsxxy f )( 222 22syyf tsutu 222 ,类似可求 :两种技巧),(),( .1 yxvvyxuu 设:,的雅可比矩阵为关于变量定义yxvu yx yx vv uuyx vuJ ),( ),( zyx zyx zyx www vvv uuuzyx wvuJ ),( ),(的所有二阶偏导数在点设),(),( 000 yxPyxfz 定义:)( 0矩阵为黑赛的在点H essePf 0)()( )()()( 00 000 Pyyyx xyxxyyyx xyxxf ff ffPfPf PfPfPH ,存在 的在点类似可定义),(),( 0000 zyxPzyxfu :)( 矩阵为黑赛H esse 0)( 0 Pzzzyzy yzyyyx xzxyxxf fff fff fffPH . , ),(),(),( 偏导数都存在相应于各自变量的二阶且设vufyxvvyxuuvufz :),( 的二阶偏导数满足则yxzz yyyx xyxx zz zz yx yx vv uu yy xx vu vu vvvu uvuu ff ff yyyx xyxxvyyyx xyxxu vv vvfuu uufH JJ HH H :即zH JJ fH uuHf vvHf .元函数也有类似公式一般的n . , ),(),(),( .2数都存在相应于各自的二阶偏导且设vufyxvvyxuuvufz : 为例以求xyz第一步写出下表 fxyz uuf uvf vuf vvf uf vf ., 数的所有二阶和一阶偏导关于之后是第一行vuff yxuu yxvu yxuv yxvv yxu yxv.第二行特点 第二步,)(两两相乘第一列除外将表中各列元素: , ,的表达式便得到再相加yxz.xyz :注意必须看成不同的项与混合偏导数vuuv ff),(即便相等. 否则. ,比如其它类似. 熟悉以后 三 、 中 值 定 理 和 泰 勒 公 式 , 2 DD于上任意两点的连线都含若区域定义.为凸区域则称D ,),(),( 222111 DyxPyxP 或：,10 .)(),( 121121 DyyyxxxP 作 业 习 题 14-3 1(奇 数 ), 2(3,4), 4, 6, 9， 10.
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