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灰 色 系 统 分 析 方 法理 学 院2014， 8， 19 主 要 内 容 1、 有 关 概 念 2、 灰 色 系 统 理 论 的 应 用 范 畴 3、 灰 色 系 统 分 析 的 一 般 步 骤 4、 如 何 利 用 灰 色 系 统 实 现 预 测 1 有 关 概 念 系 统 ： 由 客 观 世 界 中 相 同 或 相 似 的 事 物 和 因 素 按一 定 的 秩 序 相 互 关 联 、 相 互 制 约 而 构 成 一 个 整 体 . 白 色 系 统 ： 具 有 充 足 的 信 息 量 ， 其 发 展 变 化 的 规律 明 显 、 定 量 描 述 方 便 、 结 构 与 参 数 具 体 . 黑 色 系 统 ： 一 个 系 统 的 内 部 特 性 全 部 是 未 知 的 . 灰 色 系 统 : 介 于 白 色 系 统 和 黑 色 系 统 之 间 的 .即 系统 内 部 信 息 和 特 性 是 部 分 已 知 的 ， 另 一 部 分 是 未知 的 . 客 观 世 界 中 很 多 实 际 问 题 ， 其 内 部 的 结 构 、 参数 以 及 特 征 并 未 全 部 被 人 们 了 解 ， 人 们 不 可 能象 研 究 白 箱 问 题 那 样 将 其 内 部 机 理 研 究 清 楚 ，只 能 依 据 某 种 思 维 逻 辑 与 推 断 来 构 造 模 型 。 灰 色 系 统 理 论 就 是 研 究 在 信 息 大 量 缺 乏 或 紊 乱的 情 况 下 ， 如 何 对 实 际 问 题 进 行 分 析 和 解 决 。 该 理 论 以 “ 部 分 信 息 已 知 ， 部 分 信 息 未 知 ”的 小 样 本 、 信 息 不 确 定 性 系 统 为 研 究 对 象 ，主 要 通 过 对 “ 部 分 ” 已 知 信 息 的 生 成 、 开 发 ，提 取 出 有 价 值 的 信 息 ， 从 而 实 现 对 系 统 运 行行 为 、 演 化 规 律 的 正 确 描 述 和 有 效 监 控 。 目 前 ， 灰 色 系 统 理 论 应 用 范 围 已 拓 展 到 工 业 、农 业 、 社 会 、 经 济 、 能 源 、 地 质 、 石 油 等 众多 科 学 领 域 ， 成 功 地 解 决 了 生 产 、 生 活 和 科学 研 究 中 的 大 量 实 际 问 题 ， 取 得 了 显 著 成 果 。 灰 数 ： 信 息 不 完 全 的 数 。 例 如 ： 身 高 180公 分 左 右 ， 体 重 75公 斤 左 右 ，都 为 灰 数 ， 分 别 记 为 与 . 他 的 体 温 为 39到 40摄 氏 度 之 间 ， 那么 记 为 (180) (75)( ) (39,40)T 灰 数 的 白 化 如 果 为 灰 数 的 白 化 默 认 （ 即 对 形 象 、形 态 、 实 体 、 数 字 的 默 认 ） 数 ， 简 称 为 白 化数 ， 则 灰 数 是 白 化 数 的 全 体 . 离 散 、 连 续 。 灰 色 关 联 分 析 分 为 单 因 子 与 多 因 子 两 种 情 况 。 单 因 子 多 因 子 的 情 况 )(maxmaxmax)( )(maxmaxmax)(minminmin)(),( kk kkkxkxr ikjii ikjiikjiji 累 加 生 成 数 列 累 减 生 成 列 均 值 生 成 数 列 定 义 bkazkx )()( )1()0( （ 5） GM(1,N)的 定 义 2 灰 色 系 统 理 论 的 应 用 范 畴 ？ 灰 色 系 统 的 应 用 范 畴 大 致 分 为 以 下 几 方 面 ： （ 1） 灰 色 关 联 分 析 ； （ 2） 灰 色 预 测 ： 人 口 预 测 ； 灾 变 预 测 .等等 ； （ 3） 灰 色 决 策 ； （ 4） 灰 色 预 测 控 制 。 3、 建 立 灰 色 系 统 GM(1,1)模 型 的 步 骤1、 数 据 的 检 验 与 处 理 2、 建 立 模 型 GM(1,1) 1、 灰 色 预 测 方 法 例 题 设 有 原 始 数 据 序 列X0=(x0(1), x0(2), x0(3), x0(4), x0(5)=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)试 用 GM(1,1)模 型 对 X0进 行 模 拟 第 一 步 ： 对 X0作 1-AGO， 得 X1=(X1(1), X1(2), X1(3), X1(4), X1(5)=(2.874,6.152, 9.489, 12.897, 16.558) 第 二 步 ： 对 X1作 紧 邻 均 值 生 成 。 令 得 Z 1=(Z1(2), Z1(3), Z1(4), Z1(5)=(4.513, 7.820, 11.184, 14.718) 可 得 B,Y1 1 11( ) ( ( ) ( 1) 1,2, 52z k x k x k k 第 3步 ： 对 参 数 列 进 行 最 小 二 乘 估 计 ，得 =-0.0372 3.06536 第 4步 ： 确 定 模 型 为 时 间 响 应 式 为 第 5步 ： 求 X 1的 模 拟 值 1 , ( )T T Ta a b B B B Y 1 , ( )T T Ta a b B B B Y 1 10.0372 3.06536d x xd t 1 1 1 1 1 1( (1), (2), (3), (4), (5) (2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5558)X x x x x x ( 1) 0.03721 0 ( ) ( (1) ) 85.276151 82.402151a k kb bX k x e ea a 第 6步 ： 还 原 出 的 模 拟 值 ， 由 得 对 比 原 数 据 0X 0 1 1 ( ) ( ) ( 1)X k X k X k 0 0 0 0 0 0 ( (1), (2), (3), (4), (5)(2.8740,3.2320,3.3545,3.4817,3.6136)X X X X X XX0=(x0(1), x0(2), x0(3), x0(4), x0(5)=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679) 3、 检 验 预 测 值 4 如 何 利 用 灰 色 系 统 实 现 预 测 ？ 灰 色 预 测 是 指 利 用 GM 模 型 对 系 统 行 为 特 征 的 发 展 变化 规 律 进 行 估 计 预 测 ， 同 时 也 可 以 对 行 为 特 征 的 异 常情 况 发 生 的 时 刻 进 行 估 计 计 算 ， 以 及 对 在 特 定 时 区 内发 生 事 件 的 未 来 时 间 分 布 情 况 做 出 研 究 等 等 。 这 些 工作 实 质 上 是 将 “ 随 机 过 程 ” 当 作 “ 灰 色 过 程 ” ， “ 随机 变 量 ” 当 作 “ 灰 变 量 ” ， 并 主 要 以 灰 色 系 统 理 论 中的 GM(1,1)模 型 来 进 行 处 理 。 灰 色 预 测 在 工 业 、 农 业 、 商 业 等 经 济 领 域 ， 以 及 环 境 、社 会 和 军 事 等 领 域 中 都 有 广 泛 的 应 用 。 特 别 是 依 据 目前 已 有 的 数 据 对 未 来 的 发 展 趋 势 做 出 预 测 分 析 。 灰 色 灾 害 预 测 应 用 灰 色 灾 害 预 测 实 质 上 是 异 常 值 预 测 ， 什 么 样 的 值 算 作 异 常值 ， 往 往 是 人 们 凭 经 验 主 观 确 定 。 灰 色 灾 害 预 测 的 任 务 是给 出 下 一 个 或 几 个 异 常 值 出 现 的 时 刻 ， 以 便 人 们 提 前 准 备 ，采 取 对 策 。 定 义 ： 设 原 始 序 列 X=(x(1),x(2),x(n)， 给定 上 限 异 常 值 （ 灾 变 值 ） a,称 X的 子 序 列 Xa(x(q(1), x(q(2), x(q(m)=x(q(i)=a, i=1,2,m为 上 灾 变序 列 。 同 理 ， 可 定 义 下 灾 变 序 列 。 二 者 统一 称 为 灾 变 序 列 。 定 义 ： 设 X为 原 始 序 列 ， 称 Q0=(q(1),q(2),q(m)为 灾 变 日 期 序 列 。 灾 变 预 测 就 是 要 通 过 对 灾 变 日 期 序 列 的 研究 ， 寻 找 其 规 律 性 ， 预 测 以 后 若 干 次 灾 变发 生 的 日 期 ， 灰 色 系 统 的 灾 变 预 测 是 通 过对 灾 变 日 期 序 列 建 立 GM(1,1)模 型 实 现 的 。 例 某 地 区 最 近 17年 来 的 年 度 平 均 降 雨 量数 据 （ 单 位 ： mm） 序 列 为 X=(390.6, 412.0, 320.0, 559.2, 380.8, 542.4, 553.0, 310.0, 561.0, 300.0, 632.0, 540.0, 406.2, 313.8,576.0, 586.6, 318.5) 如 果 将 年 平 均 降 雨 量 低 于 320mm时 认 为旱 灾 发 生 ， 试 根 据 上 述 数 据 预 测 下 一 次旱 灾 发 生 在 几 年 后 ？ 解 ： 取 灾 变 值 为 a=320,得 下 限 灾 变 序 列 为 Xa=(x(3), x(8), x(10), x(14), x(17) =(320.0,310.0, 300.0, 313.8, 318.5)与 之 对 应 的 灾 变 日 期 序 列 为Q0=(q(1),q(2),q(3),q(4),q(5)=(3,8,10,14,17)其 1-AGO序 列 为Q1=(3,11,21,35,52)的 紧 邻 均 值 生 成 序 列 为 Z1=(7,16,28,43.5) 设 q(k)+az1(k)=b,易 知 B,Y,由 最 小 二 乘 法 得 a,b=-0.253661 6.258339 故 灾 变 日 期 序 列 的 GM(1,1)序 号 响 应 式 为 即 0.253611 1 1 ( 1) 27.667 24.667 ( 1) ( 1) ( )kq k eq k q k q k 0.25361( 1) 6.1998 kq k e 由 此 可 得 Q0的 模 拟 序 列 为 由 得 残 差 序 列 为0 ( (1), (2), (3), (4), (5)(6.1998.7.989,10.296,13.268,17.098)Q q q q q q ( ) ( ) ( ), 1,2,3,4,5k q k q k k 0 ( (1), (2), (3), (4), (5)( 3.1998,0.011, 0.296,0.732, 0.098) 再 由 相 对 误 差 序 列 由 此 可 计 算 出 平 均 相 对 误 差 为 0 00 02 5, ,2 5(0.1%,2.96%,5.1%,0.6%)x x 411 2.19%4 kk 平 均 相 对 精 度 为 1- =97.81%， 故 可 用 进 行 预 测 ， 即 从 最 近 一 次 旱 灾 发 生 的 日 期 算 起 ， 5年 以 后 ，可 能 发 生 旱 灾 。 为 了 提 高 预 测 的 可 靠 程 度 ， 可 以 取 若 干 个 不 同的 异 常 值 ， 建 立 多 个 模 型 进 行 预 测 。 0.25361 ( 1) 6.1998 kq k e (5 1) (6) 22, (6) (5) 22 17 5q q q q 计 算 的 MATLAB 程 序 如 下 ： clc,clear a=390.6,412,320,559.2, 380.8,542.4,553,310,561,300,632,540,406.2,313.8,576,587.6,318.5 ; t0=find(a=320); t1=cumsum(t0);n=length(t1); B=-0.5*(t1(1:end-1)+t1(2:end),ones(n-1,1);Y=t0(2:end); r=BY y=dsolve(Dy+a*y=b,y(0)=y0); y=subs(y,a,b,y0,r(1),r(2),t1(1); yuce1=subs(y,t,0:n+1) digits(6),y=vpa(y) %为 提 高 预 测 精 度 ， 先 计 算 预 测 值 ， 再 显 示 微 分 方 程的 解 yuce=diff(yuce1); yuce=t0(1),yuce 例 北 方 某 城 市 1986 1992 年 道 路 交 通 噪 声 平 均声 级 数 据 见 表 6表 6 市 近 年 来 交 通 噪 声 数 据 dB(A) 经 验 证 ， 该 模 型 的 精 度 较 高 ， 可 进 行 预 测 和 预 报 。 计 算 的 MATLAB 程 序 如 下 ： clc,clear x0=71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6; n=length(x0); lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n) range=minmax(lamda) x1=cumsum(x0) for i=2:n z(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1); end B=-z(2:n),ones(n-1,1); Y=x0(2:n); u=BY x=dsolve(Dx+a*x=b,x(0)=x0); x=subs(x,a,b,x0,u(1),u(2),x1(1); yuce1=subs(x,t,0:n-1); digits(6),y=vpa(x) %为 提 高 预 测 精 度 ， 先 计 算 预 测 值 ， 再 显 示 微 分 方 程 的 解 yuce=x0(1),diff(yuce1) epsilon=x0-yuce %计 算 残 差 delta=abs(epsilon./x0) %计 算 相 对 误 差 rho=1-(1-0.5*u(1)/(1+0.5*u(1)*lamda %计 算 级 比 偏 差 值