《梁横截面上的应力》PPT课件.ppt

7-2 梁 横 截 面 上 的 应 力7.2.1 纯 弯 曲 梁 横 截面 上 的 正 应 力 观 察 梁 受 力 时 的 表 面 变 形 特 点 提 出 合 理 假 设 (平 面 假 设 )几 何 关 系 (变 形 协 调 关 系 ) ： 推 断 梁 内 部 变 形 由 物 理 关 系 ： 推 断 应 力（ 截 开 ） 由 静 力 平 衡 条 件 推 导 公 式静 力 关 系 CL8TU3 梁 在 纯 弯 曲 时 的 平 面 假 设 ： 梁 的 各 个 横 截 面 在 变 形 后 仍 保 持 为 平面 ， 并 仍 垂 直 于 变 形 后 的 轴 线 ， 只 是 横 截面 绕 某 一 轴 旋 转 了 一 个 角 度 。 考 察 等 截 面 直 梁 。 加 载 前 在 梁 表 面 上 画上 与 轴 线 垂 直 的 横 线 （ m-m和 n-n） 和 与 轴 线平 行 的 纵 线 （ a-a和 b-b） 如 图 。 变 形 前 : ab bamm nnl 变 形 后 m n MM ab bam n变 形 前 ab bamm nn 可 以 发 现 梁 表 面 变 形 具 有 如 下 特 征 ： （ 1） 横 线 （ m-m和 n-n） 仍 是 横 直线 ， 只 是 发 生 相 对 转 动 ， 仍 与 纵 线（ 如 a-a， b-b） 正 交 。 （ 2） 纵 线 （ a-a和 b-b） 弯 曲 成 曲 线 ，且 梁 的 一 侧 伸 长 ， 另 一 侧 缩 短 。 根 据 上 述 梁 表 面 变 形 的 特 征 ， 可以 作 出 以 下 假 设 ： 梁 变 形 后 ， 其 横 截面 仍 保 持 平 面 ， 并 垂 直 于 变 形 后 梁 的轴 线 ， 只 是 绕 着 梁 上 某 一 轴 转 过 一 个角 度 。 与 扭 转 时 相 同 ， 这 一 假 设 也 称平 面 假 设 。 此 外 还 假 设 ： 梁 的 各 纵 向 纤 维（ 上 层 的 ） 互 不 挤 压 ， （ 下 层 的 ） 互不 牵 拉 ， 即 梁 的 纵 截 面 上 无 正 应 力 作用 。 根 据 上 述 假 设 ， 梁 弯 曲 后 ， 其 纵向 层 一 部 分 产 生 伸 长 变 形 ， 另 一 部 分则 产 生 缩 短 变 形 ， 二 者 交 界 处 存 在 既不 伸 长 也 不 缩 短 的 一 层 ， 这 一 层 称 为中 性 层 。 如 图 所 示 ， 中 性 层 与 横 截 面的 交 线 为 截 面 的 中 性 轴 。 因 此 横 截 面绕 着 中 性 轴 转 过 一 个 角 度 。 中 性 层纵 向 对 称 面 中 性 轴 得 到 纯 弯 情 况 下 的 正 应 力 计 算 公 式 (7.4) 上 式 中 正 应 力 的 正 负 号 与 弯 矩 及 点 坐 标 y的 正 负 号 有 关 。 实 际 计 算 中 ， 一 般 根 据 截 面上 弯 矩 的 方 向 ， 直 接 判 断 中 性 轴 的 哪 一 侧 产生 拉 应 力 ， 哪 一 侧 产 生 压 应 力 ， 而 不 必 计 及M和 y的 正 负 。 zM yI yE E y zy Wz 称 为 弯 曲 截 面 系 数 （ 或 抗 弯 截 面 模量 ） ， 其 量 纲 为 长 度 3。 国 际 单 位 用 m3或 mm3 。maxmax zMyI maxzz IW ymax zMW 对 于 宽 度 为 b、 高 度 为 h的 矩 形 截 面 ， 抗弯 截 面 系 数 为 直 径 为 d的 圆 截 面 ， 抗 弯 截 面 系 数 为 3 2122 6z bh bhW h 4 364 322z d dW d 内 径 为 d、 外 径 为 D的 空 心 圆 截 面 ，抗 弯 截 面 系 数 为 轧 制 型 钢 （ 工 字 钢 、 槽 钢 等 ） 的 Iz 、 W值 可 从 型 钢 表 中 查 得 。 4 4 3 4164 1322z D DW D 横 力 弯 曲 作 用 为 ： max maxmax zM yI 一 般 截 面 上 下 不 对 称 maxmax zMW 一 般 截 面 上 下 对 称 zyoy z 例 1： 两 矩 形 截 面 梁 ， 尺 寸 和 材 料 的 许 用 应 力均 相 等 ， 但 放 置 如 图 (a)、 (b)。 按 弯 曲 正 应 力 强度 条 件 确 定 两 者 许 可 载 荷 之 比 P1 P2 ？ CL8TU7l 解 ： max max1 11 126 MW Plbhz max max2 2 2 226 MW P lhbz由 得 max max :1 2 PP hb1 2 例 2： 矩 形 截 面 梁 当 横 截 面 的 高 度 增 加 一 倍 ，宽 度 减 小 一 半 时 ， 从 正 应 力 强 度 条 件 考 虑 ， 该梁 的 承 载 能 力 将 是 原 来 的 多 少 倍 ？解 ： 由 公 式 max max max MW Mbhz 26可 以 看 出 ， 该 梁 的 承 载 能 力 将 是 原 来 的 2 倍 。 二 、 梁 的 正 应 力 强 度 条 件 （ 课 本 第 三 节 ） 设 max是 发 生 在 梁 最 大 处 的 工 作 应 力 ， 则 : 上 式 即 为 梁 弯 曲 时 的 正 应 力 强 度 条 件 。 max 工 作最 大 工 作应 力 材 料 的许 用 应 力 对 于 等 截 面 直 梁 ， 若 材 料 的 拉 、 压 强度 相 等 ( 塑 性 材 料 )， 则 最 大 弯 矩 的 所 在 面称 为 危 险 面 ， 危 险 面 上 距 中 性 轴 最 远 的 点称 为 危 险 点 。 此 时 强 度 条 件 可 表 达 为 : max maxmax zM yI 对 于 由 脆 性 材 料 制 成 的 梁 ， 由 于 其 抗 拉 强度 t 和 抗 压 强 度 c 相 差 甚 大 ， 所 以 要 对 最大 拉 应 力 点 和 最 大 压 应 力 点 分 别 进 行 校 核 。 max maxc,max c zM yI max maxt,max t zM yI 强 度 条 件 可 以 解 决 以 下 三 方 面 的 问 题 ：1） 梁 的 校 核 强 度2） 设 计 梁 的 （ 最 小 ） 截 面 尺 寸3） 确 定 梁 的 （ 最 大 ） 许 用 外 载 荷 F （ 难 点 ） 。max maxmax zM yI max max zMW 解 题 的 基 本 过 程 ：1， 分 析 题 意 是 等 直 梁 ， 还 是 变 截 面 梁 ， 是 塑性 材 料 , 还 是 脆 性 材 料 。2， 是 三 类 问 题 中 的 那 一 类 问 题 。3， 先 求 梁 或 结 构 的 反 力4， 求 作 每 一 梁 的 内 力 图 （ 这 里 是 弯 矩 图 ） （ 确 定 危 险 截 面 ）5， 写 出 公 式 ， 再 求 解 。6， 正 确 回 答 问 题 。 （ 如 ： 强 度 够 、 强 度 不 够 ） 例 3： 图 示 外 伸 梁 ， 受 均 布 载 荷 作 用 ， 材 料 的 许 用应 力 =160MPa， 校 核 该 梁 的 强 度 。 CL8TU1010kN / m2m 4m 100 200 解 ： 由 弯 矩 图 可 见Mmax 20kN m10kN / m2m 4m 100 20045kN 15kNQ( )kN 2025 15M( )kN m20 1125. t zMW max 20 1001 026 32. . 30MPa 该 梁 满 足 强 度 条 件 ， 安 全 例 4: 已 知 楼 板 主 梁 由 工 字 钢 制 成 ， 尺 寸 如图 ， =152MPa。 试 选 择 工 字 钢 的 号 码 。A BF F=75kNC D E10mF2.5m 2.5m 2.5m 解 ： 解 得 ： F A= FB= 75 3/2=112.5kNA BF F=75kNC D E10mF FBFA 2.5m 2.5m2.5m M A右 =0; M C右 = M C左 =112.5 2.5=281.25kN M D左 = 112.5 5 75 2.5=375kN 利 用 对 称 性 ： A BF F=75kNC D E10mFFA FB2.5m 2.5m 2.5mM +375kNm maxmax zMW 3 3 3max 63 375 10 2.46 10 152 102460z MW mcm 查 表 56b Wz=2446.69cm3 56c Wz=2551.41cm3所 以 选 56c 。 注 ：选 56b , max=153MPa （ max- ） / =0.65 b时 ）与 精 确 解 相 比 有 足 够 的 精 度 。 yz y m dxbm o m nnmh FQ x IZ : 整 个 截 面 对 中 性 轴 z轴 的 惯 性 矩 ； b : 横 截 面 在 所 求 应 力 点 处 的 宽 度 ； SZ*: 横 截 面 上 距 中 性 轴 为 y 的 横 线 以 外 部分 的 面 积 A*对 中 性 轴 的 静 矩 。 zzQbISF 一 、 矩 形 截 面 梁 的 剪 应 力 yz max max 切 应 力沿 横 截 面 高 度分 布 示 意 图FQ zzQbISF max,max SZ* =A* y1 dA y=h / 2 , =0 y=0 , max =3FQ /2A (熟 记 )2 2 21 1 ( )2 4hy b hybdy y 2242 yhIFbISF zQzzQ 二 、 圆 截 面 梁 的 剪 应 力 CL8TU18 max 43 QA y ZZQ SI b *下 面 求 最 大 剪 应 力 ：Q z y 计 算 结 果 表 明 ， 在 翼 缘 上 切 应 力 很 小 。 z max max FQ三 、 工 字 形 截 面 梁 的 剪 应 力 max max* max* Q SI b Qb ISZZ ZZ对 于 标 准 工 字 钢 梁 ： 等 截 面 (矩 形 、 工 字 形 、 圆 形 、薄 壁 圆 环 )直 梁 的 max发 生 在 截 面 的中 性 轴 上 ， 此 处 弯 曲 =0正 应 力 ， 微元 体 处 于 纯 剪 应 力 状 态 。 纯 剪 应 力 状 态 强 度 条 件 为 : max 设 max是 发 生 在 梁 最 大 剪 力 处 的 工 作 应 力 ,则 : 上 式 即 为 梁 弯 曲 时 的 切 应 力 强 度 条 件 。 最 大 工作 应 力 材 料 的许 用 应 力 m ax 强 度 条 件 可 以 解 决 以 下 三 个 问 题 （ 或三 方 面 应 用 ） ：1） 强 度 校 核2） 设 计 (最 小 )截 面 尺 寸 (合 理 性 )3） 确 定 (最 大 )允 许 外 载 荷 F max 解 题 的 基 本 过 程 ：1， 分 析 题 意 是 等 直 梁 ， 还 是 变 截 面 梁 。2， 是 三 类 问 题 中 的 那 一 类 问 题 。3， 一 般 先 求 梁 或 结 构 的 反 力4， 求 作 每 一 梁 的 内 力 图 （ 这 里 是 剪 力 图 ） （ 确 定 危 险 截 面 ）5， 写 出 公 式 ， 再 求 解 （ 确 定 危 险 点 ） 。6， 正 确 回 答 问 题 。 （ 如 ： 强 度 够 、 强 度 不 够 ） 2 工 程 上 应 用 ： max max 1） 强 度 校 核 max max 2） 设 计 （ 最 小 ） 截 面 尺 寸3） 确 定 （ 最 大 ） 允 许 外 载 荷 F 例 9： 圆 形 截 面 梁 受 力 如 图 所 示 。 已 知 材 料 的许 用 应 力 =160MPa， =100MPa， 试求 最 小 直 径 dmin。 CL8TU19q 20kN / m4mA B d 解 ： max max MWz M qlmax 28 40kN m由 正 应 力 强 度 条 件 ： 即 40 1032 160 1033 6 d得 d 137mm max max 43 QA 即 43 40 104 100 1032 6 d得 d 261. mm由 剪 应 力 强 度 条 件 ：所 以 dmin 137mm 7.3.3提 高 梁 弯 曲 强 度 的 措 施主 要 是 从 三 方 面 考 虑 ： 减 小 最 大 弯 矩 、 提高 抗 弯 截 面 系 数 和 提 高 材 料 的 力 学 性 能 。 1 减 小 最 大 弯 矩 改 变 加 载 的 位 置 或 加 载 方 式A l BFCM +M=Fl / 4 A l BFCM +M=5Fl / 36l/6 A BFCM +M=Fl / 8l/2 Dl/4 l/4 辅 梁 A Bql+M ql2 / 8 改 变 支 座 类 型 或 位 置 A Bq0.2l +M ql2 / 50-l 0.2lql2 / 40ql2 / 50 2 提 高 抗 弯 截 面 系 数 选 用 合 理 的 截 面 形 状 ： 截 面 积 相 同 的条 件 下 ， 抗 弯 截 面 系 数 愈 大 ， 则 梁 的 承 载能 力 就 愈 高 。 zbh z 当 截 面 的 形 状 不 同 时 ， 可 以 用 比 值 WZ /A来 衡 量 截 面 形 状 的 合 理 性 和 经 济 性 。 常 见 截 面 的 值 ：0.167h0.125h (0.27-0.31)h (0.29-0.31)hh 用 变 截 面 梁 阶 梯 梁A l BFCM M=Fl / 4+ 加 强 梁A l BFCM M=Fl / 4+ 鱼 腹 梁A l BFM +M=Fl / 4 3 提 高 材 料 的 力 学 性 能 选 用 力 学 性 能 更 好 的 材 料 ， 如 低 合金 钢 等 。