零点极点分析

第 五 章 S域 分 析 、 极 点 与 零 点决定系统的时域响应决定系统频率响应决定系统稳定性 系统函数的定义系统零状态下，响应的拉氏变换与激励拉氏变换之比叫作系统函数，记作H(s).可以是电压传输比、电流传输比、转移阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳)( )()( sE sRsH 系统函数的极零点分布 ni imj jps zsksH 1 1 )( )()( j 0z1z 2z0p1p2p 5 .1 由系统函数的极零点分布决定 时域特性（1）时域特性h(t) ni imj jps zsksH 11 )( )()(反变换 ni ini tpi ni ii thek ps kLth i 11 11 )()(第 i个极点决定总特性Ki与零点分布有关 （2） 几种典型的极点分布(a)一阶极点在原点j 0 1p SsH 1)( t)(th )()( tuth （2） 几种典型的极点分布(b)一阶极点在负实轴 SsH 1)( teth )( t)(th te j 01p （2） 几种典型的极点分布(c)一阶极点在正实轴j 0 SsH 1)( teth )( )(th t0 te1p （2） 几种典型的极点分布(d)一阶共轭极点在虚轴上 212 1)( SsH )(.sin)( 1 tutth t )(th 0j 0 1j 1j1p 2p 212)( S SsH )(.cos)( 1 tutth （2） 几种典型的极点分布(e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点t)(th 0j 0 1j 1j1p2p （2） 几种典型的极点分布(f)共轭极点在左半平面 2121)()( SsH )(.sin)( 1 tuteth t t )(th 0j 0 1j 1j2p1p （2） 几种典型的极点分布(g)共轭极点在右半平面 2121)()( SsH )(.sin)( 1 tutth t )(th 0j 01j 1j 1p 2p （3） 有二重极点分布(a)在原点有二重极点j 21)( SsH )(th t0 tth )( j 2)( 1)( SsH tteth )( )(th t0（3） 有二重极点分布(b)在负实轴上有二重极点 （3） 有二重极点分布(c)在虚轴上有二重极点 2212 )( 2)( S SsH ttth 1sin)( j )(th t0 （3） 有二重极点分布(d)在左半平面有二重共轭极点 2212 )( )(2)( S SsH tteth t 1sin)( j 1j 1j )(th t0 一阶极点j 二重极点j 极点影响小结：极点落在左半平面 h(t) 逞衰减趋势极点落在右半平面 h(t)逞增长趋势极点落在虚轴上只有一阶极点 h(t) 等幅振荡，不能有重极点极点落在原点 h(t)等于 u(t) （4） 零点的影响221 )()( as assH 222 )()( as ssH 0z teth at cos)( )( )cos(1)( 1 2 atg taeth at 0z零点移动到原点 （4） 零点的影响零点的分布只影响时域函数的幅度和相移，不影响振荡频率teth at cos)( )( )cos(1)( 1 2 atg taeth at 幅度多了一个因子多了相移 结论 H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率，与激励无关自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零点有关，即零点影响 K i , K k 系数 E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率，与H(s) 无关用H(s)只能研究零状态响应， H(s)中零极点相消将使某固有频率丢失。 激励E(s)的极点影响激励E(s)的极点也可能是复数增幅，在稳定系统的作用下稳下来，或与系统某零点相抵消等幅，稳态衰减趋势，暂态0Re kp 0Re kp 0Re kp 例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳态响应。T )(te t R C)(te )(0 tv（1）求e(t)的拉氏变换 )1( )1(1)1(1)( 0 sTsn snTs eeseessE （2）求系统函数H(s) sCsR CssH RC111)( j（3）求系统完全响应的拉氏变换)(0 sV )1)( )1()().()( 0 sTs ess esHsEsV )()()( 000 sVsVsV st 暂态稳态 (5 ) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换V0 1 (t) )( )1()().()( 101 ss esEsHsV s（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。 s KsV t 10 )( Ts eessVK 11)(01 tTt eeetv .11)(0固定常数衰减因子 （7）求第一周期的稳态响应 seess e sVsVsV Ts ts 1.11)( )1( )()()( 00110 )().1( )(.111)( )( )(10 tue tueeetv t tTTs 1)(1 tV os t0 （8）整个周期矩形信号的稳态响应 0 100 )1()()()( n ss TntunTtunTtvtv 暂态响应稳态响应完全响应BBA TeeA 11 TeeB 11 5 .2 由系统函数决定系统频率特性什么是系统频率响应？不同频率的正弦激励下系统的稳态响应一般为复数，可表示为下列两种形式： )()()( )()()( jjejHjH jjIjRjH tEte m 0sin)( 202 0)( sEsE m ni iijj ps kjs kjs k sHsEsR 100 00 )()()( 由正弦激励的极点决定的稳态响应如系统是稳定的，该项最后衰减为零 000 )( jeHjH 000 )( jeHjH jeHEsRjsk jmjsj 2)()( 000 0 jeHEsRjsk jmjsj 2)()( 000 0 )sin()( 000 tHEtr m )()(0 00002)( tjtjmw eejHEsR稳态响应有关的tEte m 0sin)( 幅度该变相位偏移 000 )( jeHjH )()()( jjejHjH 若 换成变量 0 系统频率特性幅频特性相位特性 用几何法求系统频率特性 nl lmi ijnmni imj j eMMM NNNkpj zjkjH 11 )(21 211 1 )( )()( j1p 1z 111 jeNzj 111 jeMpj 2p 例：已知 试求当时的幅频和相位122 1)( 23 ssssH 11M 1 1j 01 45414.1 M)2 31)(2 31)(1( 1)( jsjsssH 2M 1j2 022 15517.0 M3M 3 1j 033 75932.1 M 0000 321 135)751545(1 211)1( j MMMjH 5 .3 一阶系统和二阶非谐振系统的S平面分析已知该系统的H(s)的极零点在S平面的分布，确定该系统的幅频特性和相频特性的渐近线 （1）一阶系统一零点，一在实轴的极点一在原点的零点，一在实轴的极点只有无穷远处的零点一在实轴的极点11)( ps zsKsH 1)( ps sKsH 1)( ps ksH 例：求一高阶系统的频率特性+U1 +U2C R RCs sscR RsU sUsH 11)( )()( 12 M N -1 /RC )()( jeMNjH 01,0,0 MNRCMN 21,2 011 ,45, MNM NRC RCRC 1 2 UU RC1090045 0,1, MN 例： 求一阶低通滤波器的频率特性R C+U1_ +U2_ RCsRC RUUsH CsCs11.1 )( 1112 M 没有零点RC1 j )( 11)( jeMkjH 12 UU RC1 11,0 12 UURCM 0 1245 21,2,1 UURCMRC 0 1290 0, UUM045 090 RC1 幅频特性相位特性 （2） 二阶非谐振系统的S平面分析 只考虑单极点使系统逞低通特性只考虑一极点和一零点使系统逞高通特性 中间状态是个常数低通高通)( jH总体是个带通 例：1V 2V1R 1C 3KV 2C 2R )( 11)( )()( 2111 22111112 psps sCR k CRsCRs sCR ksV sVsH )(21)(21 111 21 111 211 21 1)( jj jj j eVVeMM NCR k eMeM eNCR kjH 111 1CRp 222 1CRp 2211 11 CRCR )(21 111 211)( jeMM NCR kjH 2M1M 1N 222 1CRp 111 1CRp 高通低通2M 1M 较小时 起作用 0,1 1111 CRM )(1121 1 21)( jeCRMM kNjH2M 1Nj 0)(,)( 45)(,1,21)( 022 jkH jCRjH221CR0 k221CR 2p 0 1 90)(,0)( jjH 逐渐增加高通)( j)( jH 090 0450 221CR 2 较大时 起主要作用 )(1121 1 11)( jeCRMM kNjH1M j 0 110 90)(,0)( 1,21)(,45)( jH CRjHj 111CR0 低通特性k 1p 11)( jeMkjH 01212 90, NM 逐渐增加1 111 1CRp 222 1CRp 1122 11 CRCR k )( jH带通090 090 )( j 22111122 ,11 CRCRCRCR 01212 1111 90, 0,1 jNM CRM )( 21 111 211)( jeMM NCR kjH 0)( )( 00 j kkejH j 例：若已知H(s)零极点分布如图(a)-(h)试粗略给出它们的)( jH)(a 22 p j1M2M 11 p )(21 21 211)( )( 1)( jeMMjH pspssH )( jH)(b 22 p j1M2M )(21 1 21 211)( )()( jeMMNjH psps ssH )( jH1N)(c 22 p j1M2M )( 21 21 21 2 2121)( )()( jeMM NNjH psps ssH )( jH1N 2N )(d 2 j 1M2M )(21 1 12 211)( )()( jeMMNjH ss ssH )( jH1N)(e 122 jp j 1M 2M )(21 1 212 211)( )()( jeMMNjH s ssH )( jH1N1 111 jp )( f 122 jp j1M 2M )(21 1 212 222 211)( )()( jeMMNjH s SsH1N111 jp 2N 1j 2j 2j 1 2 )( jH )( g 122 jp j1M 2M )(21 1 2122 211)( )()( jeMMNjH s SsH111 jp 1 )( jH)( f j 2M 221 222 212 222)( )( jH sSsH1N2N 1j 2j 2j 1 2 )( jH1M 5.4 二 阶 谐 振 系 统 的 S域 分 析谐 振 频 率衰 减 阻 尼 因 子频 率 变 化 影 响高 品 质 因 素 （ 一 ） 谐 振 频 率A R L C )(111)( 21 psps sCsLsCGsZ djj LCCGCGp 220 222,1 122衰减因素 谐振频率 LC10 CG2 220 d (二 )阻 尼 衰 减 因 子 的 影 响CG20 若 不变，则共轭极点总是落在以原点为圆心，以 为半径的左半圆弧上0 00)1( 01 jp 02 jp t)(th00)2( 0j dj dj 0jdjp 1 djp 2 )(th t等幅震荡衰减震荡 0 0021 dpp )(th t 临界不起振 0 1p2p 2022,121 2 0 cGppp实数根本不起振 （ 三 ） 频 率 变 化 影 响当频率变化时 在S平面沿着虚轴移动，将 代入Z(s)， 则为系统频率特性，幅度、相位均沿 变化。js js )( jZ )( )(21 1 21)(1 )(1)( 21 jj jejZ eMMNC pjpj jCjZ 21)( j 讨 论 的 前 提 下 ， 不 变 而 变 化 的 情 况 0)1( 090 0121 021 11 .0)( 90)( 00 jejZ j MM Nz 1z1p2p 0)( jZ 0 090 090 )( j 00)2( )( 90)( 9000 0 0121 21 11 jZ j MM Nz 1z1p2p 0 )( jZ 0 090 090 )( j1N 0)3( G CNNCjZ MM MMNj Nz 1 2 121)(2 0)( 90900 1121 211 211 01021 011 1z1p2p 0)( jZ 0 090 090 )( j斜边乘高直 角边之积0j G11N 1z1p2p 0j 0)( 90)( 180, 0)( 9090021 0 021 211 01021 011 jZ MM jj Nz 0)( jZ 0 090 090 )( j G10)4( 显著增长，而 增长缓慢些21MM 1N (四 )高 品 质 因 素 的 影 响品质因素定义为 包括了 两方面的影响 高，若谐振频率一定，则 小，损耗小，容易震荡，频率特性尖锐 低，则相反 2 00 GcQ ,0Q Q 例 如 ： 当 时 的 情 况 10Q 20:1:202 000 Q 0j dj当 在 附近时 0 )( )( 902 90 01 01 0202 0101 11 hjd dhj jeM jeMMN 01 00 0900 900 21 1)( )(1 1)( )1( 11 )(21 1)( 0 0 21 1 h hh hj j jj jtgj GjZ jG je eC eMeM eNCjZ 21)45( 1)(00 jZ GMaxjZ 0 0 00 )( jZ 2 1 21)45( 1)(00 jZ GMaxjZ 0 0 0)( jZ 2 1 QfffB Q jj 021 012 001 02 02 01012 2 45)(,45)( ,1 ,1 边带带宽 高带窄Q 0 例 如 ： 高 阶 系 统 （ 极 零 点 靠 近 虚 轴 ）1i 2C 1CL 2v无损电路，即 很小)( )(1 )( )1(1)( )()( 222 2121 21 212 2212 ss sC CLC CCss LCsCsI sVsZ 21 21 21221 11 CC CCLLC 1p 2p 3p 1z 2z j 1 21 2090 090 )( jZ )( j 1p2p 3p 1z 2z j 121 2090 )( jZ )( j有非常靠近虚轴的零极点090 )( jZ )( j 5.5 全 通 网 络 和 最 小 相 移 网 络 5.5全 通 网 络 和 最 小 相 移 网 络系统位于极点左半平面，零点位于右半平面，且零点极点对于 轴互为镜象对称则，这种系统函数成为全通函数，此系统成为全通系统，或全通网络。全通，即幅频特性为常数相移肯定不是零j 全 通 网 络 的 零 极 点 分 布 1N 2N 3N1z 2z 3z1p 2p3p 1M2M3M 33 22 11 NM NM NM 从对称零点极点之和为1 8 0度逐渐减少最后为-3 6 0度)( )()( 22 22 ss sssH KjH )( )()(321 321 321321)( jeMMM NNNKjH K 0180 0360 )( j 例：一些对称性强的网络可能是全通网络LLC C R LRs LRssLR sLRsH )( 最 小 相 移 网 络零点位于右半平面，矢量夹角的绝对值较大零点为于左半平面，矢量夹角的绝对值较小定义：零点仅位于左半平面或虚轴上的网络函数称为“最小相移网络”非最小相移网络可以看成最小相移网络和全通网络的极联 相互抵消乘jj j 090 0360 )( j 22 2222min )( )()()( ssssHsH j 5.6 系 统 稳 定 性一个稳定系统对于有界激励信号产生有界的响应函数稳定性是系统自身的性质之一，系统是否稳定与激励情况无关系统冲激响应和系统函数能表征系统的稳定性 稳 定 性 的 三 种 情 况稳定系统：H(s)全部极点落在左半平面（除虚轴外）不稳定系统：H(s)有极点在右半平面，或虚轴有二阶以上重极点，不收敛。边界稳定系统：H(s)有一阶极点，等幅震荡0)(lim tht 稳 定 系 统 对 零 极 点 的 要 求 在右半平面不能有极点，全在左半面 在虚轴上只能有一阶极点 分子方次最多比分母方次高一次，即：转移函数 策动点函数 中分母的 的因子只能是 的形式，其中 都是正值，乘得的系数也是正值。 )(sH )(sH )(sH nm 1 nm)( )()( sB sAsH )(sB )(),(),(, 22 dscbssass dcba , 从最高次幂到最低次幂无缺项，b 0 可以为零。要么全部缺偶次项要么全部缺奇次项 的性质也使用于)(sB )(sB )(sA 2 . 罗斯-霍尔维兹准则设n阶线性连续系统的系统函数为 0111 0111)( )()( asasbsa bsbsbsbsA sBsH nnnn mmmm 式中，mn，ai(i=0 , 1 , 2 , , n)、bj(j=0 , 1 , 2 , , m)是实常数。H(s)的分母多项式为 0111)( asasasasA nnnn H(s)的极点就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，则A(s)称为霍尔维兹多项式。 A(s)为霍尔维兹多项式的必要条件是：A(s)的各项系数ai都不等于零，并且ai全为正实数或全为负实数。若ai全为负实数，可把负号归于H(s)的分子B(s)，因而该条件又可表示为ai0。显然， 若A(s)为霍尔维兹多项式， 则系统是稳定系统。 罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。 罗斯和霍尔维兹提出了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则 (R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。 若n为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有n+1行(以后各行均为零)，第三行及以后各行的元素按以下规则计算： 罗斯判据(罗斯准则) 指出： 多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。 若第一列元素的值不是全为正值， 则表明A(s)=0在右半平面有根， 元素值的符号改变的次数(从正值到负值或从负值到正值的次数)等于A(s)=0在右半平面根的数目。根据罗斯准则和霍尔维兹多项式的定义，若罗斯阵列第一列元素值的符号相同(全为正值)，则H(s)的极点全部在左半平面， 因而系统是稳定系统。 若罗斯阵列第一列元素值的符号不完全相同， 则系统是不稳定系统。 综上所述，根据H(s)判断线性连续系统的方法是：首先根据霍尔维兹多项式的必要条件检查A(s)的系数ai(i=0 , 1 , 2 , , n)。 若ai中有缺项(至少一项为零)，或者ai的符号不完全相同，则A(s)不是霍尔维兹多项式， 故系统不是稳定系统。若A(s)的系数ai无缺项并且符号相同，则A(s)满足霍尔维兹多项式的必要条件，然后进一步再利用罗斯-霍尔维兹准则判断系统是否稳定。 例 4 .8 -2 已知三个线性连续系统的系统函数分别为 232 1)( 12323 12)( 532 2)( 233 23452 2341 sss ssH sssss ssH sss ssH判断三个系统是否为稳定系统。 解 H1 (s)的分母多项式的系数a1 =0，H2 (s)分母多项式的系数符号不完全相同，所以H1 (s)和H2 (s)对应的系统为不稳定系统。H3 (s)的分母多项式无缺项且系数全为正值，因此，进一步用R-H准则判断。H3 (s)的分母为 232)( 233 ssssAA 3 (s)的系数组成的罗斯阵列的行数为n+1 =4，罗斯阵列为 2221dc 0023dc 根据式(4 .8 - 2 0 )和式(4 .8 - 2 1 )， 得 202 2221 222 3121 22 dc 000 0221 002 012100 dc因为A3 (s)系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所以根据 R-H准则，H3 (s)对应的系统为稳定系统。 例 4 .8 -3 图 4 .8 -4 所示为线性连续系统的S域方框图表示。图中，H1 (s)为 图 4 .8 -4 例 4 .8 -3 图 )10)(1()(1 sss KsHK取何值时系统为稳定系统。 F (s) X (s) H 1 (s) Y f (s) 解 令加法器的输出为X(s)， 则有 )()()()()()( )()()( 11 sYsFsHsXsHsY sYsFsX ff f 由上式得 Ksss KsH sHsF sYsH sFsH sHsY ff 1011)(1 )()( )()( )()(1 )()( 231111 22111dc 0010dcK 根据H(s)的分母构成罗斯阵列，得 由式(4 .8 -2 0 )和式(4 .8 -2 1 )计算阵列的未知元素，得到阵列为 K K 1110111 0010K根据R-H准则，若 和-K0，则系统稳定。 根据以上条件，当K0时系统为稳定系统。 01110 K 4 .8 .5 拉普拉斯变换与傅里叶变换 0 )()()( dtetfdtetfjF tjtj dtetfsF st )()( 0Re s 若f(t)为因果信号，则f(t)的傅里叶变换F(j)和单边拉普拉斯变换F(s)分别为 由于s=+ j，因此，若能使=Res等于零，则F(s)就等于F(j)。但是，能否使等于零，这取决于F(s)的收敛域。 F(s)的收敛域为Res0 , 0为实数，称为收敛坐标。0可能小于零，可能等于零，也可能大于零。 1 . 00 如果00，则F(s)的收敛域包含j轴(虚轴)，F(s)在j轴上收敛。若令=0，即令s=j，则F(s)存在。这时，f(t)的傅里叶变换存在，并且令s=j，则F(s)等于F(j)。 即 jssFjF )()(例如， ，其单边拉普拉斯变换为)1()( )1(2 tetf t 2)( sesF s 2Re s 的傅里叶变换为)(tf 2)()( jesFjF jjs 2 . 0 =0 mi iiN js KsFsF 1)()( 若收敛坐标0 =0，F(s)的收敛域为Res0，F(s)的收敛域不包含j轴，故F(s)在j轴上不收敛。若令s=j，则F(s)不等于F(j)。和虚轴上都有极点，并且虚轴上的极点为m个一阶极点ji(i=1 , 2 , , m)。将F(s)展开为部分分式，表示为 式中，F N(s)表示左半平面极点对应的分式。令FN(s)的原函数为fN(t)，则F(s)的原函数为 )()()()()( 11 tftfeKtfsFLtf MNmi tjiN i mi tjiM teKtf i1 )()( 的傅里叶变换为)(tf )()()()( tfFtfFtfFjF MN jsNN sFtfF )()(由于 是 的原函数，并且 的极点在左半面，故)(tf N )(sFN )(sFN 根据傅里叶变换的线性性质和频移性质，并且由于(t)的傅里叶变换为， 因此得 j1)( )()()( 1 imi ijs KsFjF mi iiiM jjktfF 1 1)()( mi iimi iijsN mi iiijsN Kjj KsF jjKsFjF 111 )()( 1)()()( 3 . 00 若00，则F(s)的收敛域也不包含j轴，收敛域的边界在右半平面内。 因此，不能用式(4 .8 -2 4 )得到F(j)。例如， f(t)=e2 t(t), F(s)= ，F(s)的收敛域为Res2， f(t)的傅里叶变换不存在。 21s 例 4 .8 -4 已知f(t)=e-2 tcos t(t)的单边拉氏变换为 1)2( 2)( 2 s ssF 0Re s求 傅里叶变换)(tf ).( jF解 F（S）的收敛坐标 ，即 。因此0 0 20 1)2( 2)( 2 j jjF 另一方面，根据傅里叶变换的调制定理，由于21)( 2 jteF t所以有 1)2( 22)1( 12)1( 121 cos)()( 22 j jjj tteFjF t 例 4 .8 -5 已知f(t)=(1 -e-t)(t)的单边拉氏变换为 )1( 1)( sssF 0Re s求 傅里叶变换)(tf解111)( sssF 111)( )(111)()()( jj jjsFjF js 稳 定 性 分 析 的 应 用 举 例放大器或反馈系统是否产生自激？震荡器是否能起振？是否对某些信号有选频作用？ 例：AC)( 1 tv )(2 tv )(0 tv 已知 求： （1） （2）A满足什么条件能使系统稳定？)()()( 120 tvtvAtv ?)( )()( 10 sV sVsH 解：)()( )()()( 1110 120 sVRtVA tVtVAsV sCsC R RCARCs AssV sVsH 1110 )()( )()(必须满足：101 ARCA此时系统稳定。 例：已知有系统阻抗为 系统的放大倍数反馈系数为 F， 为常数求：产生自激震荡的条件？)()( 12 LCCG ssC ssZ iR sZk )( iR,KF)( 1 sV )(2 sV解：产生自激震荡的条件是实部为零 LCsCR Fs sCR sZ szsV sVsH iCGi iR iRF 1)( )( )(1)( )()( 212 ii GRFCR FCG ,0实部为零等幅震荡 ii GRFCR FCG ,0.稳定 i i GRFCR FCG ,0.不稳定LC10 本 节 作 业 5 -1 5，5 -1 7，5 -1 8，5 -2 5， 5 -1 9 *，5 -2 0 * ， 5 -2 4 *， 5 -2 6 *，