电磁场与电磁波理论第1章

1-1 第 1章 矢 量 分 析 与 场 论I 1.1 矢 量 的 代 数 运 算I 1.2 场 的 微 分 运 算I 1.3 矢 量 的 恒 等 式 和 基 本 定 理I 1.4 常 用 正 交 曲 线 坐 标 系I 三 种 常 用 的 正 交 坐 标 系I 物 理 量 的 分 类I 主 要 内 容 I 基 本 要 求 1-2 主 要 内 容 电 磁 理 论 的 一 个 重 要 的 概 念 就 是 关 于 场 的 概 念 。 此外 ， 有 很 多 物 理 量 都 是 矢 量 ， 一 些 用 来 描 述 电 磁 现 象 基本 规 律 的 方 程 也 都 是 矢 量 函 数 的 微 分 方 程 或 积 分 方 程 。因 此 ， 矢 量 分 析 和 场 论 是 电 磁 理 论 的 重 要 的 数 学 基 础 。本 章 仅 讨 论 在 电 磁 理 论 中 所 需 要 的 矢 量 分 析 与 场 论 中 的基 本 内 容 ， 包 括 矢 量 的 基 本 代 数 运 算 和 场 量 的 梯 度 、 散度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 运 算 以 及 矢 量 场 的 恒 等 式 和 基 本 定理 。 最 后 ， 还 给 出 了 三 种 常 用 坐 标 系 及 其 梯 度 、 散 度 、旋 度 等 算 子 在 这 三 种 坐 标 系 中 的 表 示 式 。 1-3 基 本 要 求 掌 握 矢 量 和 场 的 基 本 概 念 ； 掌 握 矢 量 的 代 数 运 算 和 场 量 的 梯 度 、 散 度 、 旋 度以 及 拉 普 拉 斯 运 算 ； 了 解 矢 量 分 析 过 程 中 所 需 的 恒 等 式 和 基 本 定 理 。 1-4 I 直 角 坐 标 系I 圆 柱 坐 标 系 I 球 面 坐 标 系I 几 点 说 明三 种 常 用 的 正 交 坐 标 系 1-5 直 角 坐 标 系 直 角 坐 标 系 的 坐 标 直 角 坐 标 系 的 方 向 矢 量 1-6 圆 柱 坐 标 系 圆 柱 坐 标 系 的 坐 标 圆 柱 坐 标 系 的 方 向 矢 量 1-7 球 面 坐 标 系 球 面 坐 标 系 的 坐 标 球 面 坐 标 系 的 方 向 矢 量 1-8 几 点 说 明 ： 广 义 坐 标 系 （ 方 向 单 位 矢 量 ） 广 义 柱 坐 标 系 （ 方 向 单 位 矢 量 ） 不 同 坐 标 系 中 的 长 度 元 、 面 积 元 和 体 积 元 。 线 积 分 或 、 面 积 分 或 和 体 积 分 。 不 随 位 置 坐 标 而 改 变 。 随 着 位 置 坐 标 的 改 变 而 改 变 。 三 种 常 用 的 正 交 坐 标 系 的 相 互 转 换 （ 坐 标 的 转 换 和 方 向 矢 量 的 转 换 ） 。 1-9 物 理 量 的 分 类物 理 量与 位 置 无 关 的 量 与 位 置 有 关 的 量（ 场 量 ）时 间 、 长 度 、重 量 标 量 场（ 只 有 大 小 ） 矢 量 场（ 大 小 +方 向 ） 温 度 、 湿 度 、电 位 速 度 、 电 场 、磁 场 标 量 场 矢 量 场 1-10 1.1 矢 量 的 代 数 运 算I 1.1.1 矢 量 与 矢 量 的 表 示 法I 1.1.2 矢 量 的 代 数 运 算 1-11 1.1.1 矢 量 与 矢 量 的 表 示 法 I 1. 矢 量 与 单 位 矢 量I 2. 矢 量 表 示 法I 3. 位 置 矢 量 与 距 离 矢 量 1-12 1.矢 量 与 单 位 矢 量（ 1.1.1） 单 位 矢 量 模 等 于 1的 矢 量 叫 做 单 位 矢 量 。 （ 1.1.2） 矢 量 在 三 维 空 间 中 的 一 根 有 方 向 的 线 段 。 该 线 段 的 长 度 代 表 该 矢 量 的 模 ， 该 线 段 的 方 向 代 表 该 矢 量 的 方 向 矢 量 的 大 小矢 量 的 方 向 的 单 位 矢 量 矢 量 的 三 个 分 量 ， 即 矢 量 在 三 个 坐 标 上 的 投 影1-13 在 直 角 坐 标 系 中 矢 量 的 表 示 （ 1.1.3）（ 1.1.4）2.矢 量 表 示 法 1-14 矢 量 的 方 向 余 弦 矢 量 的 方 向 的 单 位 矢 量 矢 量 与 三 个 坐 标 轴 之 间 的 夹 角 。 （ 1.1.5） 一 般 情 况 下 均 采 用 矢 量 的 方 向 的 单 位 矢 量 （ 方 向 余 弦 ） 来表 示 矢 量 的 方 向 ， 只 有 需 要 时 ， 才 需 要 用 到 矢 量 与 坐 标 轴的 夹 角 。 2.矢 量 表 示 法 1-15 例 如 ： 在 直 角 坐 标 系 中 有 一 个 矢 量矢 量 的 大 小矢 量 的 方 向与 三 个 坐 标 轴 的 夹 角 1-16 场 点 源 点 场 点 矢 径 （ 位 置 矢 量 ） 源 点 矢 径 （ 位 置 矢 量 ） 3. 位 置 矢 量 与 距 离 矢 量 1-17 位 置 矢 量 由 坐 标 原 点 出 发 引 向 空 间 某 一 点 的 有 方 向线 段 ， 称 为 该 点 的 位 置 矢 量 或 矢 径 。 场 点 源 点 3. 位 置 矢 量 与 距 离 矢 量 1-18 距 离 矢 量 由 源 点 出 发 引 向 场 点 的 矢 量 称 为 距 离 矢 量 。 距 离 距 离 的 方 向 矢 量 （ 1.1.13）3. 位 置 矢 量 与 距 离 矢 量 （ 1.1.15） 1-19 1.1.2 矢 量 的 代 数 运 算I 矢 量 与 矢 量 相 等I 1. 矢 量 与 标 量 的 乘 积I 2. 矢 量 加 法 和 减 法I 3. 矢 量 的 标 量 积 和 矢 量 积I 直 角 坐 标 系 中 矢 量 的 代 数 运 算 1-20 矢 量 与 矢 量 相 等 一 个 矢 量 经 平 移 后 所 得 到 的 新 矢 量 与 原 矢 量 相 等 。 在 直 角 坐 标 系 下 ， 两 个 相 等 的 矢 量 必 有 相 等 的 坐 标 分 量 。 1-21 1. 矢 量 与 标 量 的 乘 积 （ 1.1.18）（ 1.1.19） 负 矢 量 与 原 矢 量 大 小 相 等 ， 方 向 相 反 的 矢 量 。 已 给 矢 量 与 标 量 ， 若 矢 量 的 各 分 量 分 别 等 于矢 量 的 相 应 分 量 与 标 量 的 乘 积 ， 则 矢 量 称 为矢 量 与 标 量 的 乘 积 ， 记 为 或 。 在 直 角 坐 标 系 下 1-22（ 1.1.20）（ 1.1.21） 2.矢 量 加 法 和 减 法 1-23 矢 量 加 法 满 足 交 换 律 和 结 合 律 ， 矢 量 减 法 不 满 足 交 换 律 。2.矢 量 加 法 和 减 法 1-24 直 角 坐 标 系 中 矢 量 加 法 和 减 法 只 有 矢 量 和 矢 量 之 间 才 能 进 行 相 加 减 。 （ 1.1.24）（ 1.1.25）2.矢 量 加 法 和 减 法 1-25 I 矢 量 的 标 量 积I 矢 量 的 矢 量 积I “ 右 手 法 则 ” 和 “ 右 手 螺 旋 法 则 ”I 标 量 积 和 矢 量 积 的 特 点I 标 量 积 和 矢 量 积 在 直 角 坐 标 系 中 的 计 算3.矢 量 的 标 量 积 和 矢 量 积 1-26 矢 量 的 标 量 积（ the dot product） 两 个 矢 量 的 标 量 积 （ 点 积 ） 定 义 为 这 两 个 矢 量 的 模 以 及 这两 个 矢 量 之 间 夹 角 的 余 弦 三 者 的 乘 积 。 （ 1.1.26） 1-27 标 量 积 满 足 交 换 律 和 分 配 律 。矢 量 的 标 量 积 1-28 矢 量 的 矢 量 积（ the cross product） 两 个 矢 量 的 矢 量 积 （ 叉 积 ） 的 模 等 于 这 两 个 矢 量 的 模 以及 这 两 个 矢 量 之 间 夹 角 的 正 弦 三 者 的 乘 积 ， 而 方 向 垂 直于 两 矢 量 所 构 成 的 平 面 ， 其 指 向 按 “ 右 手 法 则 ” 来 确 定 。（ 1.1.29） 1-29 矢 量 积 只 满 足 分 配 律 ， 不 满 足 交 换 律 。矢 量 的 矢 量 积 1-30 “ 右 手 法 则 ” 和 “ 右 手 螺 旋 法 则 ” 1-31 标 量 积 和 矢 量 积 的 特 点 若 两 个 矢 量 垂 直 ， 即 它 们 之 间 的 夹 角 为 90o ， 则 它 们 的 标量 积 等 于 零 ， 而 矢 量 积 最 大 ， 等 于 这 两 个 矢 量 的 模 的 乘 积 ； 若 两 个 矢 量 平 行 ， 即 它 们 之 间 的 夹 角 为 零 ， 则 矢 量 积 等 于零 ， 而 标 量 积 最 大 ， 等 于 这 两 个 矢 量 的 模 的 乘 积 。 若 两 个 非 零 矢 量 的 标 量 积 等 于 零 ， 则 这 两 个 矢 量 必 相 互 垂直 ； 若 两 个 非 零 矢 量 矢 量 积 等 于 零 ， 则 这 两 个 矢 量 必 相 互 平 行 。 1-32 标 量 积 和 矢 量 积 在 直 角 坐 标 系 中 的 计 算 （ 1.1.33）（ 1.1.35） 标 量 积 和 矢 量 积 在 直 角 坐 标 系 中 的 计 算 可 以 利 用 分 配 率以 及 单 位 矢 量 的 关 系 直 接 计 算 1-33 1.2 场 的 微 分 运 算I 1.2.1 场 的 基 本 概 念I 1.2.2 标 量 场 的 方 向 导 数 和 梯 度I 1.2.3 矢 量 场 的 通 量 和 散 度I 1.2.4 矢 量 场 的 环 量 和 旋 度 1-34 1.2.1 场 的 基 本 概 念 若 某 空 间 中 的 每 一 个 点 都 对 应 着 某 个 物 理 量 的 一 个 确 定 值 ， 就称 在 该 空 间 中 定 义 了 这 个 物 理 量 的 场 或 函 数 。 若 这 个 物 理 量 是 标 量 ， 则 这 个 场 或 函 数 称 为 标 量 场 或 标 量 函 数 。例 如 ， 一 幢 建 筑 物 内 的 温 度 分 布 、 一 个 区 域 内 的 电 位 分 布 等 等 。 若 这 个 物 理 量 是 矢 量 ， 则 这 个 场 或 函 数 称 为 矢 量 场 或 矢 量 函 数 。例 如 ， 某 河 流 区 段 内 水 流 的 速 度 分 布 、 一 个 区 域 内 电 场 强 度 的分 布 等 等 。 若 标 量 场 中 各 点 标 量 值 的 大 小 都 相 同 ， 则 称 场 中 的 物 理 量 是 常数 ； 若 矢 量 场 中 各 点 矢 量 的 大 小 和 方 向 都 相 同 ， 则 称 场 中 的 物 理 量为 常 矢 。 若 场 中 的 物 理 量 在 各 点 所 对 应 的 值 不 随 时 间 而 变 化 ， 则 这 个 场称 为 静 态 场 或 恒 定 场 ； 否 则 ， 就 称 为 时 变 场 。 1-35 标 量 场 的 等 值 面 函 数 均 取 相 同 值 的 曲 面 。 例 如 ， 静 电场 中 的 等 位 面 。 在 三 维 空 间 中 ， 每 一 点 对 应 着 也 仅 对应 着 一 个 确 定 的 函 数 值 ， 因 此 它 必 属于 也 仅 属 于 一 个 等 值 面 。 空 间 中 所 有 的 点 均 有 等 值 面 通 过 ， 所有 的 等 值 面 均 互 不 相 交 。 但 是 对 于 同 一 个 常 数 值 ， 可 以 有 多个 互 不 相 交 的 等 值 面 。 如 果 是 在 二 维 空 间 ， 函 数 均 取 相 同 值的 点 构 成 就 是 一 条 条 的 等 值 线 ， 例 如山 体 的 等 高 线 就 是 一 种 常 用 的 等 值 线 。1.2.1 场 的 基 本 概 念 1-36 矢 量 场 的 矢 量 线 （ 通 量 线 ） 一 系 列 有 方 向 曲 线 。 线 上每 一 点 的 切 线 方 向 代 表 该 点 矢 量 场 方 向 ， 而 横 向 的 矢 量 线密 度 代 表 该 点 矢 量 场 大 小 。 例 如 ， 电 场 中 的 电 力 线 、 磁 场中 的 磁 力 线 。 一 般 来 说 ， 矢 量 场 中 的 每 一 点 均 有一 条 矢 量 线 通 过 ， 所 以 矢 量 线 是 充满 了 整 个 矢 量 场 所 在 的 空 间 。 矢 量 线 可 以 汇 聚 于 某 一 点 ， 但 是 不能 相 互 交 叉 。 矢 量 场 的 矢 量 线 所 满 足 的 微 分 方 程 通 常 画 的 是 矢 量 线 的 示 意 图1.2.1 场 的 基 本 概 念 1-37 1.2.2 标 量 场 的 方 向 导 数 和 梯 度I 1. 标 量 场 的 方 向 导 数I 2. 标 量 场 的 梯 度I 3. 梯 度 的 基 本 公 式I 例 1.2.1 1-38 1. 标 量 场 的 方 向 导 数 （ 1.2.1） 其 中 方 向 导 数 空 间 某 一 点 的 标 量 场 沿 某 一 方 向 的 变 化 率 定义 为 该 标 量 场 在 该 点 沿 该 方 向 的 方 向 导 数 ， 即 1-39 根 据 求 导 法 则 ， 方 向 导 数 可 以 表 示 成 （ 1.2.2） 方 向 余 弦 该 方 向 上 的 单 位 矢 量 （ 1.2.3）1. 标 量 场 的 方 向 导 数 1-40 对 比 两 个 矢 量 的 标 量 积 （ 1.1.36） 方 向 导 数 的 另 一 种 表 示 形 式1. 标 量 场 的 方 向 导 数 标 量 函 数 在 空 间 给 定 点 沿 方 向 的 方 向 导 数 等于 该 点 的 梯 度 矢 量 在 该 方 向 上 的 投 影 。 1-412. 标 量 场 的 梯 度 （ 1.2.5）（ 1.2.6） 标 量 场 的 梯 度 大 小 等 于 标 量 函 数在 该 点 的 最 大 方 向 的 导 数 值 ， 方 向 指 向 使 函 数 值 增 加 最 快 的方 向 。 梯 度 的 表 示 哈 密 顿 （ H amilton） 算 子 （ 读 作 del） 1-42 直 角 坐 标 系 中 的 哈 密 顿 算 子 （ 1.2.7） 直 角 坐 标 系 中 的 梯 度 表 示 式 （ 1.2.8）2. 标 量 场 的 梯 度 算 子 具 有 类 似 于 矢 量 和 微 分 的 性 质 ， 通 常 称 其 矢 量 微 分算 子 。 1-433. 梯 度 的 基 本 公 式 （ 1.2.9）（ 1.2.10）（ 1.2.11）（ 1.2.12）（ 1.2.13） 其 中 ， 为 常 数 ； ， 为 标 量 函 数 。 例 1.2.1 试 证 明 ： （ 1） ； （ 2） 。式 中 ， 和 分 别 表 示 对 场 点 坐 标 和 源 点 坐 标 的 哈 密 顿 算 子 。 1-44 证 明 ： （ 1） 1-45 （ 2） 依 梯 度 的 基 本 公 式 1-46 1.2.3 矢 量 场 的 通 量 和 散 度I 1. 矢 量 场 的 通 量 (flux) I 2. 矢 量 场 的 散 度 (divergence)I 3.直 角 坐 标 系 中 的 散 度 表 示 式I 4.散 度 的 基 本 公 式I 例 1.2.2 1-47 1. 矢 量 场 的 通 量 (flux)（ 1.2.16）（ 1.2.17） 通 量 线 或 矢 量 线 一 系 列 有 方 向 的 曲 线 ， 该 线 上 每 一点 的 切 线 方 向 代 表 该 点 矢 量 场 方 向 ， 而 横 向 的 通 量 线 密 度代 表 该 点 矢 量 场 的 大 小 。 通 量 矢 量 场 穿 过 曲 面 的 通 量 线 的 总 数 ， 它 可 表示 为 矢 量 沿 该 曲 面 的 面 积 分 。 1-48 几 点 说 明 开 口 曲 面 的 正 法 线 方 向 需 要 事 先 设 定 。 通 量 的 正 、 负 与 面积 元 矢 量 的 方 向 选 取 有 关 。 闭 合 曲 面 的 正 法 线 方 向 规 定 为 由 的 内 部 指 向 外 部 ， 即 外 法线 方 向 。 通 量 可 以 用 来 描 述 矢 量 场 在 空 间 的 分 布 。 借 助 于 通 量 的 概念 ， 矢 量 又 称 为 通 量 密 度 。 例 如 ， 电 位 移 也 常 常 称 为 电 通量 密 度 。 发 出 通 量 线 的 点 称 为 “ 源 ” ， 吸 收 通 量 线 的 点 称 为 “ 沟 ” 。例 如 ， 静 电 场 中 的 正 电 荷 是 发 出 电 力 线 的 “ 源 ” ， 负 电 荷是 吸 收 电 力 线 的 “ 沟 ” 。 穿 过 整 个 闭 合 曲 面 的 总 通 量 等 于 “ 源 ” 发 出 的 通 量 线 减 去“ 沟 ” 吸 收 的 通 量 线 。1. 矢 量 场 的 通 量 (flux) 1-49 2. 矢 量 场 的 散 度 (divergence) （ 1.2.18） 一 个 矢 量 场 的 散 度 是 一 个 标 量 ， 可 理 解 为 穿 过 包 围 单 位 体积 的 闭 合 表 面 的 通 量 。 因 此 ， 人 们 也 习 惯 地 将 散 度 称 为 通量 源 密 度 。 通 量 概 念 描 述 了 空 间 一 个 较 大 范 围 内 场 与 源 之 间 的 关 系 。而 散 度 概 念 将 描 述 空 间 每 一 点 场 与 源 之 间 的 关 系 。 矢 量 场 的 散 度 矢 量 穿 过 闭 合 曲 面 的 通 量 与 该闭 合 曲 面 所 包 围 的 小 体 积 之 比 的 极 限 。 1-50 三 种 典 型 的 散 度 值 对 静 电 场 而 言 ， 在 有 电 荷 存 在 的 点 上 ， 散 度 不 为 零 。 并 且散 度 大 于 零 处 具 有 正 电 荷 ， 散 度 小 于 零 处 具 有 负 电 荷 。 而对 恒 定 磁 场 而 言 ， 因 为 不 存 在 磁 荷 ， 散 度 必 处 处 为 零 。2. 矢 量 场 的 散 度 (divergence) 1-51 3. 直 角 坐 标 系 中 的 散 度 表 示 式 （ 1.2.22） 1-52 4. 散 度 的 基 本 公 式 （ 1.2.23）（ 1.2.24）（ 1.2.25）（ 1.2.26） 值 得 注 意 的 是 ： 这 些 基 本 公 式 均 与 坐 标 系 的 类 型 无 关 。 它们 不 但 在 直 角 坐 标 系 中 成 立 ， 在 其 它 坐 标 系 中 仍 然 成 立 。 其 中 ， 为 常 矢 ； 为 常 数 ； 为 标 量 函 数 ， 为 矢 量 函 数 。 例 1.2.2 设 表 示 空 间 两 点 与 之 间距 离 ， 试 求 。 1-53 解 ： 1-54 值 得 提 醒 注 意 的 一 点 是 ： 在 上 述 计 算 中 ， 需 假 设 距 离 不 等 于 零 。 否 则 ， 函 数 将 出 现 奇 异 点 。 在 第 3章 讨 论 镜 像 法 时 （ 3.7节 ） 将 会 证 明 ： （ 1.2.27）（ 1.2.28） 1-55 1.2.4. 矢 量 场 的 环 量 和 旋 度I 1. 矢 量 场 的 环 量 （ circulation）I 2. 矢 量 场 的 旋 度 （ rotation或 curl）I 3. 直 角 坐 标 系 中 的 旋 度 表 示 式I 4. 旋 度 的 基 本 公 式I 例 1.2.3 环 量 矢 量 场 沿 空 间 一 条 闭 合 曲 线 的 线 积 分 。 1-56 1. 矢 量 场 的 环 量 （ circulation） （ 1.2.29） 矢 量 场 的 环 量 是 一 个 标 量 ，用 来 描 述 一 个 矢 量 场 的 旋 涡特 性 。 大 小 和 正 负 取 决 于 矢量 场 的 分 布 以 及 该 闭 合 曲 线积 分 的 环 绕 方 向 。 1-57 旋 度 在 某 一 方 向 上 的 投 影 矢 量 场 的 旋 度 或 大 小 等 于 该 点 最 大 的 环 量 密度 ， 方 向 为 取 得 最 大 环 量 密 度 的 那 块 小 面 积 的 法 线 方 向 。 2. 矢 量 场 的 旋 度 （ rotation或 curl） （ 1.2.30） 环 量 密 度 矢 量 沿 闭 合 曲 线 的 环 量 与 小 面 积 之 比 的 极限 ， 其 大 小 与 矢 量 的 分 布 和 闭 合 曲 线 的 方 向 有 关 。 1-58 不 同 闭 合 路 径 位 置 情 况 下 的 环 量2. 矢 量 场 的 旋 度 （ rotation或 curl） 1-59 3. 直 角 坐 标 系 中 的 旋 度 表 示 式 1-60（ 1.2.34）（ 1.2.35） 3. 直 角 坐 标 系 中 的 旋 度 表 示 式 1-61 4. 旋 度 的 基 本 公 式 值 得 注 意 的 是 ： 这 些 基 本 公 式 均 与 坐 标 系 的 类 型 无 关 。 它们 不 但 在 直 角 坐 标 系 中 成 立 ， 在 其 它 坐 标 系 中 仍 然 成 立 。（ 1.2.36）（ 1.2.37）（ 1.2.38）（ 1.2.39） 其 中 ， 为 常 矢 ； 为 常 数 ； 为 标 量 函 数 ， 为 矢 量 函 数 。 例 1.2.3 试 证 明 ： 。 1-62 证 明 ： 1-63 1.2.5 梯 度 、 散 度 、 旋 度 的 比 较I 表 1.2.1 梯 度 、 散 度 、 旋 度 的 比 较I 梯 度 、 散 度 、 旋 度 的 特 点I 矢 量 场 的 “ 源 ”I 有 源 场 和 无 源 场 1-64 表 1.2.1 梯 度 、 散 度 、 旋 度 的 比 较 1-65 一 个 标 量 函 数 的 梯 度 是 一 个 矢 量 函 数 ， 它 描 述 了 空 间 各 点标 量 位 的 最 大 变 化 率 及 其 方 向 ； 一 个 矢 量 函 数 的 散 度 是 一 个 标 量 函 数 ， 它 描 述 了 空 间 各 点场 矢 量 与 通 量 源 之 间 的 关 系 ； 一 个 矢 量 函 数 的 旋 度 是 一 个 矢 量 函 数 ， 它 描 述 了 空 间 各 点场 矢 量 与 旋 涡 源 之 间 的 关 系 ； 只 有 当 场 函 数 具 有 连 续 的 一 阶 偏 导 数 时 ， 梯 度 、 散 度 、 旋度 的 定 义 才 是 有 意 义 的 。 在 某 些 场 量 不 连 续 的 交 界 面 上 ，就 不 可 能 定 义 梯 度 、 散 度 和 旋 度 。梯 度 、 散 度 、 旋 度 的 特 点 1-66 矢 量 场 的 “ 源 ” 有 两 种 ， 建 立 散 度 的 通 量 源 和建 立 旋 度 的 旋 涡 源 。 若 要 使 一 个 矢 量 场 是 非 零 场 ， 则 必 须 存 在 产 生这 种 场 的 一 种 源 。 一 个 非 零 的 矢 量 场 不 可 能 既 是 无 源 场 （ 通 量 源 ）又 是 无 旋 场 （ 旋 涡 源 ） 。矢 量 场 的 “源 ” 1-67 若 一 个 矢 量 场 的 散 度 处 处 为 零 ， 就 不 存 在 通 量 源 ， 则该 矢 量 场 称 为 无 源 场 （ 例 如 ： 恒 定 磁 场 ） 。 若 一 个 矢 量 场 的 旋 度 处 处 为 零 ， 就 不 存 在 旋 涡 源 ， 则该 矢 量 场 称 为 无 旋 场 （ 例 如 ： 静 电 场 ） 。 存 在 通 量 源 的 矢 量 场 称 有 源 场 。 在 源 区 ， 该 矢 量 场 的散 度 不 为 零 ； 而 在 非 源 区 ， 该 矢 量 场 的 散 度 仍 然 可 以为 零 。 存 在 旋 涡 源 的 矢 量 场 称 为 有 旋 场 ， 但 这 个 场 的 旋 度 仅在 存 在 旋 涡 源 的 空 间 点 上 不 为 零 ， 在 其 它 的 点 上 仍 然可 以 为 零 。 有 源 场 和 无 源 场 1-68 1.3 矢 量 的 恒 等 式 和 基 本 定 理 大 部 分 矢 量 恒 等 式 和 矢 量 基 本 定 理 都 可 以 通过 直 接 计 算 加 以 证 明 。 为 了 简 单 起 见 ， 可 以在 直 角 坐 标 系 中 证 明 。 对 于 其 它 的 正 交 坐 标系 ， 也 都 是 成 立 的 。I 1.3.1 三 个 重 要 的 恒 等 式I 1.3.2 矢 量 场 的 基 本 定 理 1-69 1.3.1 三 个 重 要 的 恒 等 式I 1. 三 个 重 要 的 恒 等 式I 2. 拉 普 拉 斯 （ Laplace） 算 子I 3. 恒 等 式 的 意 义 1-70 1. 三 个 重 要 的 恒 等 式 （ 1.3.1）（ 1.3.2）（ 1.3.3）（ 1.3.9） 1-71 拉 普 拉 斯 算 子 直 角 坐 标 系 中 的 拉 普 拉 斯 算 子 直 角 坐 标 系 中 标 量 场 的 拉 普 拉 斯 运 算 （ 1.3.4）拉 普 拉 斯 （ Laplace） 算 子 1-72 直 角 坐 标 系 中 矢 量 场 的 拉 普 拉 斯 运 算 其 中 对 于 其 他 坐 标 系 （ 1.3.9）拉 普 拉 斯 （ Laplace） 算 子 1-73 恒 等 式 的 意 义 任 何 一 个 标 量 函 数 的 梯 度 的 旋 度 必 等 于 零 。 任 何 一 个 梯 度 场 （ 可 以 表 示 成 某 一 标 量 函 数 的 梯 度 的 矢 量场 ） 必 然 为 无 旋 场 ， 而 任 何 一 个 无 旋 场 （ 旋 度 为 零 的 矢 量场 ） 也 必 为 有 位 场 。 例 如 静 电 场 。3. 恒 等 式 的 意 义 1-74 恒 等 式 的 意 义 任 何 一 个 矢 量 函 数 的 旋 度 的 散 度 必 等 于 零 。 任 何 一 个 旋 度 场 （ 可 以 表 示 成 某 一 矢 量 函 数 的 旋 度 的 矢 量场 ） 必 为 无 源 场 ， 而 任 何 一 个 无 源 场 （ 散 度 为 零 的 矢 量 场 ）必 为 有 旋 场 。 例 如 恒 定 磁 场 。3. 恒 等 式 的 意 义 1-75 1.3.2 矢 量 场 的 基 本 定 理I 高 斯 （ G auss） 散 度 定 理I 斯 托 克 斯 （ Stokes） 定 理I 格 林 （ G reen） 第 一 定 理 或 格 林 第 一 恒 等 式I 格 林 （ G reen） 第 二 定 理 或 格 林 第 二 恒 等 式I 唯 一 性 定 理I 亥 姆 霍 兹 （ H elmholtz） 定 理 1-76 高 斯 散 度 定 理证 明 ： 将 体 积 分 割 成 N 个 的 小 体 积 （ 1.3.10） 矢 量 场 穿 过 空 间 任 一 闭 合 曲 面 的 通 量 等 于 该 矢 量 的 散 度 在曲 面 所 包 围 体 积 内 的 体 积 分 。 1-77 斯 托 克 斯 定 理 证 明 ： 将 该 曲 面 剖 分 为 N 个 小 面 积 （ 1.3.11） 矢 量 场 沿 空 间 任 一 闭 合 曲 线 的 环 量 等 于 该 矢 量 场 的 旋 度 穿过 以 闭 合 曲 线 作 为 边 界 曲 线 的 任 一 开 放 曲 面 的 通 量 。 1-78 格 林 第 一 定 理 或 格 林 第 一 恒 等 式 格 林 第 一 定 理 也 可 以 利 用 （ 1.2.5） 式 改 写 成 这 个 定 理 可 以 通 过 令 ， 利 用 高 斯 散 度 定 理 证 明 。（ 1.3.13）（ 1.3.12） 1-79 格 林 第 二 定 理 也 可 借 助 方 向 导 数 改 写 成 改 写 成 格 林 第 二 定 理 是 由 格 林 第 一 定 理 直 接 得 到 的 。 格 林 第 二 定 理 或 格 林 第 二 恒 等 式 （ 1.3.14）（ 1.3.15） 1-80证 明 ： 采 用 反 证 法 。 假 设 同 时 存 在 两 个 矢 量 场 和 。 它们 具 有 相 同 的 散 度 和 旋 度 以 及 边 界 条 件 ， 即 令 ， 则 有 若 在 区 域 内 矢 量 场 的 散 度 、 旋 度 以 及在 边 界 面 上 的 切 向 分 量 （ 或 法 向 分 量 ） 已 经 给定 ， 则 矢 量 场 在 该 区 域 内 的 解 是 唯 一 的 。利 用 矢 量 恒 等 式 和 格 林 定 理 ， 可 以 证 明 要 满 足 上 述 两 式 ， 必 有由 此 得 证 。 唯 一 性 定 理 1-81 亥 姆 霍 兹 定 理 （ 1.3.24） 空 间 有 限 区 域 内 的 任 一 矢 量 场 均 可 以 表 示 为 一 个 无源 场 （ 即 或 ） 和 一 个 无 旋 场 （ 即 或 ） 之 和 ， 即 1-82 亥 姆 霍 兹 定 理 的 一 个 特 例空 间 区 域 为 无 限 大 ， 而 场 源 却 分 布 在 一 个 有 限 的 区 域 内（ 1.3.27）则 有 （ 1.3.28） 在 无 限 大 空 间 中 ， 只 要 知 道 矢 量 场 的 散 度 和 旋 度 ， 就 能 将其 定 量 地 确 定 下 来 。 既 无 源 又 无 旋 的 场 是 不 存 在 的 。 在 这 种 情 况 下 ， 如 果 假 设 矢 量 场 在 无 限 远 处 以 足 够 快 的 速度 减 弱 至 零 ， 即 1-83 1.4 常 用 正 交 曲 线 坐 标 系I 正 交 曲 线 坐 标 系 以 及 种 类I 1.4.1 三 种 常 用 的 正 交 坐 标 系I 1.4.2 三 种 常 用 坐 标 系 的 转 换I 1.4.3 三 种 坐 标 系 中 的 梯 度 、 散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 开 式 1-84 正 交 曲 线 坐 标 系 以 及 种 类 正 交 曲 线 坐 标 系 三 个 坐 标 面 均 为 一 般 的 曲 面 。 任 意 两坐 标 面 的 交 线 为 第 三 个 坐 标 变 量 的 坐 标 轴 ， 它 们 一 般 为 曲线 。 空 间 任 一 点 有 三 个 坐 标 轴 通 过 ， 坐 标 轴 上 的 单 位 矢 量相 互 正 交 且 符 合 右 手 螺 旋 法 则 。 这 三 个 单 位 矢 量 的 方 向 随空 间 点 位 置 的 不 同 而 变 化 。 正 交 曲 线 坐 标 系 的 类 型 很 多 ， 已 经 出 现 的 有 10 种 以 上 。除 了 直 角 坐 标 系 这 种 特 殊 的 正 交 曲 线 坐 标 系 以 外 ， 其 它 的还 有 圆 柱 、 球 面 、 椭 圆 柱 、 抛 物 柱 等 等 正 交 曲 线 坐 标 系 。常 用 的 就 是 直 角 坐 标 系 ， 圆 柱 坐 标 系 和 球 面 坐 标 系 。 1-85 1.4.1 三 种 常 用 的 正 交 坐 标 系I 直 角 坐 标 系I 圆 柱 坐 标 系I 球 面 坐 标 系I 三 种 常 用 坐 标 系 中 单 位 矢 量 的 关 系 式 直 角 坐 标 系 的 坐 标 直 角 坐 标 系 的 方 向 矢 量 直 角 坐 标 系 中 的 标 量 场 直 角 坐 标 系 中 的 矢 量 场 1-86 直 角 坐 标 系 1-87 直 角 坐 标 系 中 的 长 度 元 、 面 积 元 和 体 积 元 （ 1.4. 1）（ 1.4. 2）（ 1.4. 3）直 角 坐 标 系 圆 柱 坐 标 系 的 坐 标 圆 柱 坐 标 系 的 方 向 矢 量 圆 柱 坐 标 系 中 的 标 量 场 圆 柱 坐 标 系 中 的 矢 量 场 1-88 圆 柱 坐 标 系 1-89 圆 柱 坐 标 系 中 的 长 度 元 、 面 积 元 和 体 积 元 （ 1.4. 5）（ 1.4. 6）（ 1.4. 7）圆 柱 坐 标 系 球 面 坐 标 系 的 坐 标 球 面 坐 标 系 的 方 向 矢 量 球 面 坐 标 系 中 的 标 量 场 球 面 坐 标 系 中 的 矢 量 场 1-90 球 面 坐 标 系 1-91 球 面 坐 标 系 中 的 长 度 元 、 面 积 元 和 体 积 元球 面 坐 标 系 1-92 三 种 常 用 坐 标 系 中 单 位 矢 量 的 关 系 式 1-93 1.4.2 三 种 常 用 坐 标 系 的 转 换I 直 角 坐 标 系 与 圆 柱 坐 标 系 之 间 的 关 系I 直 角 坐 标 系 与 球 面 坐 标 系 之 间 的 关 系I 圆 柱 坐 标 系 与 球 面 坐 标 系 之 间 的 关 系 1-94 直 角 坐 标 系 与 圆 柱 坐 标 系 之 间 的 关 系 1-95 直 角 坐 标 系 与 球 面 坐 标 系 之 间 的 关 系 1-96 圆 柱 坐 标 系 与 球 面 坐 标 系 之 间 的 关 系 1-97 1.4.3 三 种 坐 标 系 中 的 梯 度 、散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 开 式I直 角 坐 标 系 中 梯 度 、 散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 开 式I圆 柱 坐 标 系 中 梯 度 、 散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 开 式I球 面 坐 标 系 中 梯 度 、 散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 开 式 1-98 直 角 坐 标 系 中 梯 度 、 散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 开 式 1-99 只 有 在 直 角 坐 标 系 中 ， 拉 普 拉 斯 算 子 代 表 着 一 个 矢 量算 子 ， 即 在 圆 柱 坐 标 系 和 球 面 坐 标 系 中 ， 不 再 像 在 直 角 坐 标 系 中那 样 代 表 着 一 个 矢 量 算 子 ， 而 仅 仅 代 表 着 一 个 用 来 记 述 梯 度 、散 度 和 旋 度 的 符 号 。 拉 普 拉 斯 算 子 也 不 再 像 在 直 角 坐 标中 那 样 代 表 两 个 矢 量 算 子 的 点 积 之 后 再 乘 以 标 量 函 数 ，而 是 作 为 一 个 符 号 用 来 记 述 对 求 梯 度 后 再 求 散 度 这 一 运 算 。且直 角 坐 标 系 中 梯 度 、 散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 开 式 1-100 圆 柱 坐 标 系 中 梯 度 、 散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 开 式（ 1.4.34）（ 1.4.32）（ 1.4.33）（ 1.4.35） 1-101 球 面 坐 标 系 中 梯 度 、 散 度 、 旋 度 和 拉 普 拉 斯 展 开 式（ 1.4.38）（ 1.4.36）（ 1.4.37）（ 1.4.39）