采样系统复习傅里叶级数与傅里叶变换

1 傅里叶级数与变换内容提要傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析卷积和卷积定理抽样信号的傅里叶变换和抽样定理 2 傅里叶生平 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论” 一书中 3 傅立叶的两个最主要的贡献 “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点 4 频域分析：傅里叶变换，自变量为 j 复频域分析：拉氏变换, 自变量为 S = +j Z域分析：Z 变换，自变量为z TjsT eez )( 一 变换域分析 5 周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：. 三角函数式的 傅立里叶级数 cosn1t, sinn1t. 复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t 二 周期信号的频谱分析 6 1 三角函数形式的傅里叶级数: 11 2T )sincos()( 11101 tnbtnaatf nnn 直流分量基波分量n =1 谐波分量n1 1n 7 100 ).(110 Ttt dttfTa 10 0 .cos).(2 11 Tttn dttntfTa dttntfTb Tttn .sin).(2 100 11 直流系数余弦分量系数正弦分量系数 8 狄利赫利条件： 在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件. 0 10 ( ).t Tt f t dt 9 三角函数是正交函数)2.3(0.sin.cos 11100 dttmtnTtt )3.3()( )(0sinsin 00 1211 nm nmtdtmtnTtt T )3.3()( )(0coscos0 0 1211 nm nmtdtmtnTtt T 10 周期信号的另一种三角函数正交集表示0 11( ) ( )n nnf t C C COS n t )sin(.)( 1 10 nn n tnddtf 11 比较几种系数的关系000 dCa 22 nnnn badC nnn batg nn nbtg a cos sinn n n n na C d sin cosn n n n nb C d 12 周期函数的频谱：周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的频移， Cn 1 1n )(n 1 1n 13 2 指数形式的傅里叶级数由前知由欧拉公式其中)sincos()( 11101 tnbtnaatf nnn tjn n enFtf 1)()( 1 )(21)( 1 nn jbanF )(21)( 1 nn jbanF 0)0( aF 引入了负频率 14 指数形式的傅里叶级数的系数nFnF )( 1 100 1)(11 Ttt tjnn dtetfTF 0000 adcF )(21 nnjnn jbaeFF n )(21 nnjnn jbaeFF n 两种傅氏级数的系数间的关系 15 周期复指数信号的频谱图 n nFnF1 111n 1n 1n0 00 16 两种傅氏级数的系数间的关系22212121 nnnnnn badcFF nnn cFF nnn aFF nnn bFFj )( nnnnnn FFbadc 42222 17 3 周期信号的功率特性 P为周期信号的平均功率符合帕斯瓦尔定理 10 0 ).(1)( 212 Ttt dttfTtfP 1 2n nFP 18 4 对称信号的傅里叶级数三种对称：偶函数 ：f (t )=f (-t)奇函数 ：f (t )= - f (-t)奇谐函数 ：半周期对称任意周期函数有： 偶函数项 奇函数项)2()( 1nTtftf )sincos()( 11101 tnbtnaatf nnn 19 周期偶函数只含直流和其中a是实数 bn=0 Fn是实数tnaatf n n 110 cos)( tnan 1cos 100 .cos)(4 11 Tttn dttntfTa 2nnn aFF tjn n enFtf 1)()( 1 20 例如:周期三角函数是偶函数.)5cos 2513cos91(cos42)( 1112 tttEEtf Ef(t)T1/2-T1/2 t 21 周期奇函数只含正弦项tnbtf nn 11 sin)( 10 11 .sin).(4 Tn dttntfTb 000 naaFn为虚数2nn n bF F j 22 例如周期锯齿波是奇函数.)3sin 312sin21(sin)( 111 tttEtf E/2-E/2T1/2-T1/2 f(t) t0 23 奇谐函数 ：)2()( 1Ttftf l沿时间轴移半个周期；l 反转；l 波形不变；l半周期对称 24 奇谐函数 的波形： f(t) T1/2-T1/2 0 t 25 奇谐函数的傅氏级数奇谐函数的偶次谐波的系数为0 dtttfTa T .cos)(4 20 111 1 dtttfTb T .sin)(4 20 111 1 a2 0 , b2 02 nnn jbaF 26 例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量周期奇函数，奇谐函数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量 27 含有直流分量和正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量 28 三 典型周期信号的频谱周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波脉冲信号周期全波脉冲信号 29 1 周期矩形脉冲信号的频谱 30 n tjnneFtf 1)( 2 )2sin( )()( 1 1 11 2/2/11 221 111 n nTE eejnT E dtEeTF jnjn tjnn )( 1TnSa )2(0 )2()(1 ttEtf 31n 2 42 4 22 112 T )(, 1110 TnSaTEFTEF n 32 33 频谱分析表明离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。各谱线的幅度按 包络线变化。过零点为：主要能量在第一过零点内。主带宽度为：)( 1TnSa m2 2B 34 周期矩形的频谱变化规律：若T不变，在改变的情况若不变，在改变T时的情况 22 112 T1 2 35 对称方波是周期矩形的特例 .5cos513cos31cos2)( 111 tttEtf )( 11 TnSaTEFn n tjnneFtf 1)( 36 对称方波的频谱 37 对称方波的频谱变化规律 1 13 15 15131 13 nna na)(tx 17 38 n tjnneFtf 1)( dtetfTF tjnn 2 2 11 )(1 傅立叶级数傅立叶级数的系数T 1 信号的周期脉宽基波频率1傅立叶级数小结 39 四 非周期信号的频谱分析当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号1T d T 0211 1n频率也变成连续变量 40 频谱演变的定性观察)( 1nF1 1)(nF )( 1nF 22 11 2T 1 41 从周期信号FS推导非周期的FT n tjnenFtf 1).()( 1 dtetfTnF TT tjn .).(1)( 2121 111 dtetfnF tjn .).(2).( 111 ( ) ( ). .j tF f t e dt 42 傅立叶的逆变换 n tjnenFtf 11).()( 111 1 .)()( tjnn enFtf )(.2 )( 111 neF tjnn dnnT )(0 1111 n)()( 1 FnF deFtf tj.)(21)( 43 三。从物理意义来讨论FT (a) F()是一个密度函数的概念 (b) F()是一个连续谱 (c) F()包含了从零到无限高 频的所有频率分量 (d) 各频率分量的频率不成谐波 关系 44 傅立叶变换一般为复数FT一般为复函数)()()( jeFF deF deFtf tj tj )(21 21 )( )()(若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数 dtFtf )(cos()()( 21 45 傅立叶变换存在的充分条件 dttf )( 46 单边指数信号双边指数信号矩形脉冲信号符号函数冲激函数信号冲激偶函数信号阶跃函数信号四 典型非周期信号的频谱 47 信号表达式幅频相频 )0(0 )0()( ttetf t )0(1)()( jdtetfF tj 221)( F )()( arctg单边指数信号 48 49 )()( tetf t 222)( F 0)( f(t)0 t 0双边指数信号 50 51 )(0 )()( 22ttEtf )()sin( )sin()( 22 2 222/ 2/ SaEE dtEeF Etj )()( 2 SaEF )( )(0)( )1(4)12(2 )12(24 nn nn 矩形脉冲信号 52 53 )0(1 )0(1)sgn()( ttttf ).sgn(lim)(lim)( 010 taaa ettftf ja jFF aa 22lim)(lim)( 22010 2)( F )0( )0()( 22 符号函数 54 55 五 冲激函数傅立叶变换对 1)()( dtetF tj 1 t0 )(t )(F 21)(21 )(1 deFT tj 1)( tf10 t 2)( 2 0 0 56 冲激偶的傅立叶变换 det tj21)( dejtdtd tj)()( 21 jtdtdFT )(nnn jtdtdFT )()( )()(2)( tdtdjtFT nnnn 1)( tFT 57 六 阶跃信号的傅立叶变换)sgn()( 2121 ttu jtuFT 1)()( )(F u(t)0 t0