抽样分布与参数估计

第 五 章 抽 样 分 布 与 参 数 估 计 n抽 样 调 查 概 述n抽 样 推 断 的 原 理n必 要 样 本 容 量 的 确 定 n 抽 样 调 查 的 含 义n 抽 样 调 查 的 分 类n 抽 样 调 查 的 特 点n 抽 样 调 查 的 应 用n 样 本 单 位 的 抽 选 方 法n 抽 样 调 查 的 组 织 方 式n 抽 样 调 查 中 的 几 个 基 本 概 念n 抽 样 推 断 中 的 理 论 依 据 返 回 按 照 一 定 的 程 序 ,从 所 研 究 对 象 的 全 体（ 总 体 ） 中 抽 取 一 部 分 单 位 （ 样 本 ） 进 行调 查 ， 根 据 样 本 资 料 的 估 计 值 ， 对 总 体 待估 参 数 作 出 具 有 一 定 可 靠 程 度 的 估 计 和 推断 ， 以 反 映 总 体 的 数 量 特 征 或 数 量 表 现 。 计 算 样 本 统 计 量如 ： 样 本 均 值 、比 例 、 方 差 n总 体 分 布n样 本 分 布n抽 样 分 布 返 回 n 总 体 中 各 元 素 的 观 察 值 所 形 成 的 分 布 n 分 布 通 常 是 未 知 的n 可 以 假 定 它 服 从 某 种 分 布 返 回 n 一 个 样 本 中 各 观 察 值 的 分 布 n 也 称 经 验 分 布 n 当 样 本 容 量 n逐 渐 增 大 时 ， 样 本 分 布 逐 渐接 近 总 体 的 分 布 返 回 n 样 本 统 计 量 的 概 率 分 布 ， 是 一 种 理 论 分 布u 在 重 复 选 取 容 量 为 n的 样 本 时 ， 由 该 统 计 量的 所 有 可 能 取 值 形 成 的 相 对 频 数 分 布 n 随 机 变 量 是 样 本 统 计 量u 样 本 均 值 ， 样 本 比 例 ， 样 本 方 差 等n 结 果 来 自 容 量 相 同 的 所 有 可 能 样 本 ；n 提 供 了 样 本 统 计 量 长 远 而 稳 定 的 信 息 ， 是进 行 推 断 的 理 论 基 础 ， 也 是 抽 样 推 断 科 学性 的 重 要 依 据 。 返 回 按 照 随 机 原 则 ， 完 全 排 除 了 人 为的 主 观 因 素 ， 总 体 中 每 个 单 位 都 有 一 定 的 概率 被 选 入 样 本 。从 方 便 出 发 或 者 根 据 研 究 者 主观 的 判 断 来 抽 取 样 本 ， 不 遵 循 随 机 原 则 。 无法 估 计 和 控 制 抽 样 误 差 ， 无 法 用 样 本 的 数 量特 征 来 推 断 总 体 。本 章 主 要 讨 论 随 机 抽 样 的 原 理 和 方 法 返 回 所 谓 随 机 原 则 ， 则 完 全 排 除 主 观 意 识的 作 用 ， 而 在 被 研 究 的 总 体 中 随 机 抽 取 调查 单 位 ， 使 每 个 单 位 都 有 同 等 被 抽 中 的 机会 ， 抽 中 与 否 ， 完 全 是 偶 然 机 会 的 结 果 。这 个 原 则 也 叫 同 等 可 能 性 原 则 。 抽 样 调 查 的 主 要 任 务 是 通 过 对 部 分 单位 的 调 查 ， 计 算 出 抽 样 指 标 ， 进 而 推 断 总 体指 标 ， 确 定 总 体 的 数 量 特 征 。 保 证 抽 样 推 断 的 结 果 达 到 事 先 预 定 的可 靠 程 度 。 返 回 n对 某 些 现 象 不 可 能 或 不 必 要 进 行 全 面 调 查 ，而 又 要 了 解 现 象 总 体 数 量 特 征 时 采 用 抽 样 调查 方 法 ；n应 用 抽 样 调 查 ， 可 以 检 查 全 面 调 查 资 料 的 质量 ， 并 对 全 面 调 查 资 料 进 行 修 订 ；n可 用 于 生 产 管 理 ， 进 行 产 品 质 量 控 制 。 返 回 也 叫 指 从 总 体 的 N个单 位 中 抽 取 一 个 容 量 为 n的 样 本 ， 每 次 抽 出一 个 单 位 后 ， 再 将 其 放 回 总 体 中 参 加 下 一次 抽 取 ， 这 样 连 续 抽 n次 即 得 到 一 个 样 本 。u同 一 总 体 单 位 有 可 能 被 重 复 抽 中 ；u每 次 都 是 从 N个 总 体 单 位 中 抽 取 ；u n次 抽 取 就 是 n次 相 互 独 立 的 随 机 试 验 。 也 叫 ， 指 抽 中 单位 不 再 放 回 总 体 中 ， 下 一 个 样 本 单 位 只 能从 余 下 的 总 体 单 位 中 抽 取 。u同 一 总 体 单 位 不 可 能 被 重 复 抽 中 ；u每 次 抽 取 是 在 不 同 数 目 的 总 体 单 位 中 进行 的 ；un次 抽 取 可 看 作 是 n次 互 不 独 立 的 随 机 试验 。 n若 ， 构 成 单 位 相 同 但 抽 取 顺 序 不同 的 视 为 不 同 的 样 本 ；n若 ， 则 可 把 构 成 单 位 相 同 但 抽取 顺 序 不 同 的 视 为 同 一 个 样 本 。 把 上 述 两 种 分 类 结 合 起 来 ， 便 形 成 可 供 选 择 的四 种 抽 样 方 法 ： 但 在 抽 样 调 查 实 践 中 ， 通 常 只 讨 论 考 虑 顺 序的 重 复 抽 样 及 不 考 虑 顺 序 的 不 重 复 抽 样 两 种情 形 下 的 可 能 样 本 数 目 。 不 考 虑 顺 序考 虑 顺 序 不 重 复 抽 样重 复 抽 样不 重 复 抽 样重 复 抽 样 ! !nN NA N n n nNB N ! ! nN NC n N n 1n nN N nD C 返 回 n 含 义 ： 又 称 纯 随 机 抽 样 ， 是 对 被 抽 样 总体 不 做 任 何 分 组 、 排 列 ， 完 全 客 观 地 从中 抽 取 调 查 单 位 。 是 最 基 本 、 最 简 单 的抽 样 组 织 形 式 。n 方 法 ： 将 总 体 单 位 编 成 抽 样 框 ， 而 后 用抽 签 或 随 机 数 表 抽 取 样 本 单 位 。n 适 用 ： 总 体 规 模 不 大 ； 总 体 内 部 差 异 小 n 含 义 ： 又 称 分 层 抽 样 ， 是 先 将 总 体 所 有单 位 按 某 些 重 要 标 志 进 行 分 类 （ 层 ） ，然 后 在 各 类 （ 层 ） 中 独 立 地 抽 取 样 本 单位 的 一 种 抽 样 方 式 。 1 2 Kn n n ii Nn nN i ii i iNn nN 1K iin n1N2NKN 1n2nKn n 方 法 ： 是 先 将 总 体 单 位 按 某 一 标 志 排 序 ，然 后 按 一 定 的 距 离 抽 取 一 个 总 体 单 位 （ 个体 ） 的 抽 样 方 式 抽 取 样 本 单 位 。n 例 ： 从 100人 中 抽 取 10人 构 成 样 本 ， 先 将100人 排 队 编 号 ， 然 后 在 1 10号 之 间 随 机抽 取 一 个 数 字 ， 比 如 抽 到 3， 那 么 编 号 为 3，13， 23， 33， 43， 53， 63， 73， 83， 93的10个 人 组 成 样 本 。排 序 依 据 的 标 志 ： （ 1） 无 关 标 志 ； （ 2） 有 关 标 志 n 方 法 ： 将 总 体 按 某 一 标 志 分 成 若 干 组 ， 每一 组 称 为 一 个 群 ， 以 群 为 单 位 进 行 简 单 随机 抽 样 ， 然 后 对 抽 到 的 群 进 行 全 面 调 查 的抽 样 方 式n 分 层 抽 样 ： 层 内 是 抽 样 调 查 , 层 间 是 全面 调 查n 整 群 抽 样 ： 群 内 是 全 面 调 查 , 群 间 是 抽样 调 查 例 ： 总 体 群 数 R=16 样 本 群 数 r=4 样 本 容 量A BCDE FG H IJ KLM NOP LH PD d p l hn n n n n n 方 法 ： 将 一 次 抽 样 后 得 到 的 样 本 当 作 总 体再 次 进 行 随 机 抽 样 ， 得 到 第 二 次 抽 样 样 本 ，然 后 再 如 此 进 行 下 去 的 抽 样 方 式 。n 例 如 ： 我 国 农 户 生 产 性 投 资 调 查 就 采 用 四阶 段 抽 样 方 式 。 省 抽 县 、 县 抽 乡 、 乡 抽 村 、村 抽 户 、 户 抽 样 本 点 ， 对 样 本 点 进 行 调 查 。 n 例 ： 在 某 省 100多 万 农 户 抽 取 1000户 调 查农 户 生 产 性 投 资 情 况 。u 第 一 阶 段 ： 从 省 内 部 县 中 抽 取 5个 县 ；u 第 二 阶 段 ： 从 抽 中 的 5个 县 中 各 抽 4个 乡 ；u 第 三 阶 段 ： 从 抽 中 的 20个 乡 中 各 抽 5个 村 ；u 第 四 阶 段 ： 从 抽 中 的 100个 村 中 各 抽 10户 。样 本 n=100 10=1000（ 户 ） 返 回 是 指 根 据 调 查 目 的 所 确 定 的 研 究 对 象全 体 ， 简 称 为 总 体 。 常 用 N表 示 总 体 单 位 数 。是 指 根 据 随 机 原 则 从 总 体 中 抽 取 一 部分 单 位 所 组 成 的 整 体 .常 用 n表 示 样 本 单 位 数（ 样 本 容 量 ） 。 一 般 时 ， 称 为 大 样 本 ； 时 ， 称 为 小 样 本30n 30n对 于 某 一 研 究 对 象 ， 当 研 究 目 的 确 定 时 ， 全 及 总 体是 确 定 的 ， 样 本 总 体 是 不 确 定 的 根 据 总 体 中 各 单 位 的 标 志 值 计 算 出来 的 用 于 反 映 总 体 的 数 量 特 征 的 指 标 。 又 称 为全 及 指 标 或 母 体 参 数 。 总 体 平 均 数 （ 总 体 均 值 ） ： 总 体 成 数 ： 总 体 标 准 差 ： X XFX N F 或1NP N 2 2( ) ( )X X X X FN F 或(1 )P P N1是 总 体 中 具 有 某 种 特 性 个 体 数 目针 对 数 量 标 志针 对 是 否 标 志 样 本 平 均 数 （ 样 本 均 值 ） ： 样 本 成 数 ： 样 本 标 准 差 ： x xfx n f 或1np n n1是 样 本 中 具 有 某 种 特 性 个 体 数 目2 2( ) ( )1 1x x x x fs n f 或 (1 )s p p 对 于 某 一 研 究 对 象 ， 当 研 究 目 的 确 定 时 ， 总 体 指 标是 确 定 的 ， 样 本 指 标 是 不 确 定 的 。根 据 样 本 中 各 单 位 的 标 志 值 计 算 出来 的 用 于 反 映 样 本 数 量 特 征 的 指 标 称 为 样 本 指标 ， 也 称 样 本 参 数 。 数 量 标 志是 否 标 志 返 回 大 数 定 理 表 明 ： 尽 管 个 别 现 象 受 偶 然 因素 影 响 ， 有 各 自 不 同 的 表 现 。 但 是 ， 对 总 体的 大 量 观 察 后 进 行 平 均 ， 就 能 使 偶 然 因 素 的影 响 相 互 抵 消 ， 消 除 由 个 别 偶 然 因 素 引 起 的极 端 性 影 响 ， 从 而 使 样 本 平 均 数 稳 定 下 来 ，反 映 出 事 物 变 化 的 一 般 规 律 。 从 正 态 分 布 的 再 生 定 理 可 以 看 出 ， 只 要总 体 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 则 从 中 抽 取 的 样 本 ，不 管 n是 多 少 ， 样 本 平 均 数 都 服 从 正 态 分 布 。 但 是 在 客 观 实 际 中 ， 总 体 并 非 都 是 正 态分 布 。 对 于 从 非 正 态 分 布 的 总 体 中 抽 取 的 样本 平 均 数 的 分 布 问 题 ， 需 要 由 中 心 极 限 定 理来 解 决 。 返 回 利 用 样 本 指 标 推 断 总 体 指 标本 章 中 即 : x X p P 抽 样 误 差 是 由 于 抽 样 造 成 的 误 差 ， 是由 于 用 样 本 估 计 总 体 而 产 生 的 误 差 ， 无 法避 免 ， 在 概 率 抽 样 中 ， 抽 样 误 差 事 先 可 以计 算 并 控 制 。 2总 体 方 差 越 大 各 调 查 单 位 标 志 值 之 间 的 差 异 越 大抽 样 分 布 越 分 散 抽 样 误 差 越 大2 0当 总 体 方 差 为 即 总 体 内 各 调 查 单 位 标 志 值 之 间无 差 异 ， 则 不 存 在 抽 样 误 差 样 本 容 量 是 影 响 抽 样 误 差 大 小 最 直 接 、 最 有 效 的因 素 ；其 他 条 件 相 同 时 ， 重 复 抽 样 误 差 不 重 复 抽 样 的 误 差从 抽 样 方 式 上 看 ， 简 单 随 机 抽 样 、 分 层 抽 样 、系 统 抽 样 、 整 群 抽 样 与 多 阶 段 抽 样 的 抽 样 误 差也 有 区 别 。其 他 条 件 相 同 时 ， n 越 接 近 N， 误 差 越 小 。 抽 样 实 际 误 差 指 抽 样 估 计 值 与 总 体 指 标 值 之 间 的 离差 ， 表 示 为 ：x X 或 p P抽 样 平 均 误 差 指 所 有 可 能 样 本 抽 样 误 差 的 平 均 数 , 是 抽 样 误 差 的 一 般 水 平 。本 章 中 主 要 讲 述 ： x p 2 2x sn n (1 ) (1 )p P P p pn n 2 1x s N nn N 修 正 系 数当 N 很 大 时 ， 通 常 大 于 500， N-1 近 似 为 N， 此 时2 2 1 x s N n s nn N n N 抽 样 比 同 理 可 得 ： (1 ) 1p p p N nn N (1 ) 1 p p p nn N 当 N 很 大 时 /2/2 /2x xp puu u 即 抽 样 极 限 误 差 是 指 以 样 本 估 计 总 体 在 某 种 概 率 意 义下 所 允 许 的 最 大 误 差 范 围 ， 是 估 计 的 精 度 。xpx Xp P 通 常 用 “ ” 来 表 示 抽 样 极 限 误 差 与 抽 样 平 均 误 差 之 比 的 系 数 称为 抽 样 概 率 度 , 记 为 t。 样 本 容 量 较 大 时 ， t分 布与 正 态 分 布 差 别 不 大 ， 用 表 示 。 /2u 也 叫 定 值 估 计 ， 是 以 所 抽 样 本 资 料 为 依 据 ， 直 接根 据 所 选 择 的 估 计 量 对 总 体 指 标 作 出 一 个 确 定 值的 估 计 。 x X 或 p P以 点 估 计 为 依 据 ， 用 一 个 具 有 一 定 可 靠 程 度 的 区 间范 围 来 估 计 总 体 指 标 。 可 靠 程 度 即 估 计 结 果 正 确 的概 率 大 小 。 /2 /2x xx u X x u /2 /2p pp u P p u x xx X x p pp P p 或或 例 1 某 厂 有 1500名 工 人 ， 用 简 单 随 机 重 复 抽 样 的 方法 抽 出 50名 工 人 作 为 样 本 调 查 其 工 资 水 平 ， 资 料如 下 表 所 示 ： （ 1） 计 算 样 本 平 均 数 和 抽 样 平 均 误 差 ； （ 2） 以 95.45%的 可 靠 性 估 计 该 厂 工 人 的 月 平 均工 资 和 工 资 总 额 的 区 间 。月 工 资 水平 x（ 元 ） 1240 1340 1400 1500 1600 1800 2000 2600工 人 数 f（ 人 ） 4 6 9 10 8 6 4 3 2 2/2 /22 1 1500, 50, 1600( ) 327.761 327.76 46.35502 0.0455 2, 92.795.45% (1600 92.7,1600 92.7) (1507.3x x x N n xfx fx x fs fu usn n 解 ： 已 知 ： （ ）简 单 随 机 抽 样 的 样 本 平 均 数 为 ： （ 元 ）标 准 差 为 ： （ 元 ）抽 样 平 均 误 差 ： （ 元 ）（ ） 时 （ 元 ）月 平 均 工 资 的 的 置 信 区 间 为 ： ,1692.7)95.45%(1507.3 1500,1692.7 1500) (2260950,2539050) （ 元 ）工 资 总 额 的 的 置 信 区 间 为 ： （ 元 ） 例 2 为 了 解 某 村 1200户 农 民 的 年 收 入 状 况 ， 按 照 简 单 不 重 复 抽 样 方 法 ， 抽 取 一 个 有 80户 组 成 的 样 本 ， 所 得 的 资 料 如表 所 示 。 （ 1） 试 求 该 村 每 户 农 民 平 均 收 入 的 抽 样 平 均 误 差 ； （ 2） 以 95.45%的 可 靠 性 估 计 该 村 每 户 农 民 平 均 收 入 的 区间 。年 收 入 （ 千 元 ） 家 庭 数 f 组 中 值 x4以 下 5 2 -8.8 387.2048 8 6 -4.8 184.32812 40 10 -0.8 25.601216 20 14 3.2 204.8016以 上 7 18 7.2 362.88合 计 80 1164.80 x x 2( )x x f 22 2 /2 /2 2 1 1200, 80, 10.80( ) 1164.80 14.741 7914.74 801 0.17 0.4180 12002 0.0455 2, 0.821 x x x N n xfx fx x fs fus nN un 解 ： 已 知 ： （ ）简 单 随 机 抽 样 的 样 本 平 均 数 为 ： （ 千 元 ）方 差 为 ： （ 千 元 ）抽 样 平 均 误 差 ： （ 千 元 ）（ ） 时 （ 千 元 ） 每 户 农 民 平 均 收 入 95.45%(10.80 0.82,10.80 0.82) (9.98,11.62) 的 的 置 信 区 间 为 ：（ 千 元 ） 例 3 采 用 简 单 随 机 重 复 抽 样 的 方 法 ， 在 2000件 产 品 中抽 取 200件 ， 其 中 合 格 品 190件 。 （ 1） 计 算 合 格 品 率 及 抽 样 平 均 误 差 ； （ 2） 以 95%置 信 水 平 对 合 格 品 率 和 合 格 品 数 量 进行 区 间 估 计 。 /2 /21901 2000, 200, 0.952000.95(1 0.95) 0.015412002 (0.05 1.96, 0.030295% (91.98% 98.02%95% (1839.6 1961 0.4)p p pN nn pupu p 解 ： 已 知 ： （ ）抽 样 平 均 误 差 ：（ ） 时合 格 品 率 的 的 置 信 区 间 为 ： , )合 格 品 数 量 的 的 置 信 区 间 为 ： , ) 例 4 某 机 械 厂 生 产 一 批 零 件 共 6000件 ， 按 简 单 随 机 不重 复 抽 样 的 方 法 抽 取 了 300件 ， 发 现 其 中 有 9件 不 合适 ， 求 合 格 率 的 抽 样 平 均 误 差 。 （ 1） 计 算 合 格 品 率 及 抽 样 平 均 误 差 ； （ 2） 以 95.45%置 信 水 平 对 合 格 品 率 和 合 格 品 数 量进 行 区 间 估 计 。 /2 /2300 91 6000, 300, 0.97300 0.97(1 0.97) 3001 0.0096300 60002 0.0455 2, 0.019295.45% (95.08% 98.92%95.45% (5704( .81 ) 1p p pp pN n p nn Nu u 解 ： 已 知 ： （ ）抽 样 平 均 误 差 ：（ ） 时合 格 品 率 的 的 置 信 区 间 为 ： , )合 格 品 数 量 的 的 置 信 区 间 为 ： 5935.2, ) 返 回 n 含 义 ： 又 称 分 层 抽 样 ， 是 先 将 总 体 所 有 单 位按 某 些 重 要 标 志 进 行 分 类 （ 层 ） ， 然 后 在 各类 （ 层 ） 中 独 立 地 抽 取 样 本 单 位 的 一 种 抽 样方 式 。 , 1,2, , ii Nn n i KN 1K iin n1N2NKN 1n2nKn 则 每 个 类 型 的 平 均 数 和 方 差 分 别 为 ： 21 12 -, -1i in nij ij ij ji ii ix x xx sn n 2 221 1 1 1,K K K Ki i i i i i i ii i i iN x n x N s nsx sN n N n 2x sn 2 1x s nn N 则 样 本 总 体 的 平 均 数 和 方 差 分 别 为 ：因 此 ， 可 以 计 算 抽 样 平 均 误 差 ：或 P148例 5-3 n 方 法 ： 将 总 体 按 某 一 标 志 分 成 若 干 组 ， 每 一 组称 为 一 个 群 ， 以 群 为 单 位 进 行 简 单 随 机 抽 样 ，然 后 对 抽 到 的 群 进 行 全 面 调 查 的 抽 样 方 式例 ： 总 体 群 数 R=16 样 本 群 数 r=4 样 本 容 量A BCDE FG H IJ KLM NOP LH PD d p l hn n n n n 1 , 1,2, ,M ijji xx i rM 1 11 r Mr iji i ji xxx r rM n 等 群 体 整 群 抽 样 的 抽 样 平 均 误 差 计 算 。 设 全 及 总 体 划 分 为 R群 ， 每 个 群 包 含 的 单 位 数均 相 等 ， 为 M； 从 全 及 总 体 中 随 机 抽 取 r群 组 成 一个 样 本 ， 对 抽 中 的 r群 中 所 有 的 总 体 单 位 进 行 调 查。 根 据 样 本 数 据 ， 可 以 计 算 各 群 体 的 平 均 数则 样 本 总 体 平 均 数 为 2 1x R rr R 2 2 1 1r ii x xr 由 于 整 群 抽 样 都 采 用 不 重 复 抽 样 方 法 ， 且 总 体群 数 R通 常 不 是 很 大 ， 所 以 样 本 平 均 数 的 抽 样 平均 误 差 为其 中 ， 2表 示 样 本 各 群 平 均 数 间 的 方 差 ， 称 为 样本 群 间 方 差 ， 即 P149例 5-4 n方 法 ： 是 先 将 总 体 单 位 按 某 一 标 志 排序 ， 然 后 按 一 定 的 距 离 抽 取 一 个 总 体单 位 （ 个 体 ） 的 抽 样 方 式 抽 取 样 本 单位 。排 序 依 据 的 标 志 ： （ 1） 无 关 标 志 ； （ 2） 有 关 标 志 n 由 于 采 用 无 关 标 志 排 队 的 总 体 实 质 上 是 一个 随 机 总 体 ， 故 其 抽 样 误 差 通 常 近 似 地 按简 单 随 机 抽 样 的 误 差 公 式 计 算 。n 采 用 有 关 标 志 排 队 的 最 大 优 点 在 于 可 以 充分 利 用 总 体 的 有 关 信 息 ， 有 益 于 提 高 样 本的 代 表 性 和 抽 样 的 估 计 效 果 。 有 关 标 志 排队 系 统 抽 样 的 抽 样 误 差 计 算 比 较 复 杂 ， 可近 似 地 用 类 型 抽 样 或 整 群 抽 样 的 误 差 公 式进 行 计 算 。 n方 法 ： 将 一 次 抽 样 后 得 到 的 样 本 当 作总 体 再 次 进 行 随 机 抽 样 ， 得 到 第 二 次抽 样 样 本 ， 然 后 再 如 此 进 行 下 去 的 抽样 方 式 。 1 , 1,2, ,m ijji xx i rm 1 11 r mr iji i ji xxx r rm n 主 要 讨 论 两 阶 段 抽 样 的 抽 样 平 均 误 差 计 算 。n 第 一 阶 段 ： 设 全 及 总 体 划 分 为 R群 ， 每 群 的 单 位数 为 Mi， 从 中 随 机 抽 取 r群n 第 二 阶 段 ： 从 抽 中 的 r群 各 抽 出 mj个 单 位 组 成 样 本n 为 简 化 起 见 ， Mi=M； mj =m， 根 据 样 本 数 据 ， 可以 计 算 各 群 体 的 平 均 数 则 样 本 总 体 平 均 数 为 其 中 ， 表 示 样 本 群 的 群 间 方 差 ， 表 示 样 本 群各 群 方 差 的 平 均 数 ， 即2 21 1x s sr r mr R rm R M 2S 22 1 1r ii x xS r 由 于 多 阶 段 抽 样 都 采 用 不 重 复 抽 样 方 法 ， 则 有样 本 平 均 数 的 抽 样 平 均 误 差 为 21 12 211 1r m ij ir i jii x xS sr r m 2S 返 回 抽 样 调 查 理 论 中 ， 样 本 容 量 n的 确 定 具有 实 实 在 在 的 意 义 。 n过 大 ， 违 背 抽 样 调 查的 宗 旨 ， n过 小 ， 则 抽 样 误 差 偏 大 ， 无 法 作出 精 确 的 估 计 。 2总 体 方 差 越 大 各 调 查 单 位 标 志 值 之 间 的 差 异 越 大抽 样 分 布 越 分 散 抽 样 误 差 越 大若 想 满 足 一 定 的 精 度 要 求 , 则 必 须 样 本 量 就 越 多 要 求 越 高 , 所 需 样 本 量 就 越 大其 他 条 件 相 同 时 ， 重 复 抽 样 所 需 n 不 重 复 抽 样 所 需 n分 层 抽 样 所 需 样 本 量 最 少 , 整 群 抽 样 所 需 样 本 量 最 多衡 量 可 靠 度 一 般 用 t分 布 ， 衡 量 精 确 度 一 般 用 抽 样 误 差本 章 主 要 研 究 简 单 随 机 抽 样 下 如 何 确 定 n 。 简 单 随 机 抽 样 下 必 备 样 本 量 的 确 定n对 于 重 复 抽 样 ： /2 /2x x su u n 2 222x xu sn 2 2 2(1 )p pu p pn 同 理 可 得 ： n对 于 不 重 复 抽 样 ： 2/2 /2 1x x s nu u n N 2 22 2 2 22x xNu sn N u s 同 理 : 2 22 2 2(1 )(1 )p pNu p pn N u p p 例 5 用 简 单 随 机 重 复 抽 样 调 查 方 法 确 定 某 地 区 居 民的 每 户 平 均 收 入 ， 已 知 标 准 差 为 50元 ， 要 求 置 信水 平 为 95%， 抽 样 极 限 误 差 不 超 过 10元 ， 问 需 要抽 查 多 少 户 ？ 若 其 他 条 件 不 变 ， 将 抽 样 极 限 误 差缩 小 到 原 来 的 1/3时 ， 抽 样 数 目 会 怎 样 变 动 ？ /22 22 22 22 2 2 22 222 1 50 , 0.05 1.96, 10 ,1.96 50 96.04 97101 102 3 31.96 50 864.36 865 910 3 xx xx xx x ss uuu snn 解 ： （ ） 已 知 ： （ 元 ） 时 （ 元 ）平 均 数 的 随 机 不 重 复 抽 样 必 要 的 样 本 量 为（ 户 ）（ ） （ 元 ） （ 户 ） ,是 原 来 的 倍 例 6 为 了 解 某 村 1200户 农 民 的 年 收 入 状 况 ， 按 照 简 单 不 重 复抽 样 方 法 ， 抽 取 一 个 有 80户 组 成 的 样 本 ， 所 得 的 资 料 如表 所 示 。 （ 1） 在 例 2的 条 件 下 ， 若 要 求 允 许 误 差 不 超 过 500元 ， 则 至少 要 抽 多 少 户 调 查 ？（ 2） 若 允 许 误 差 缩 小 至 原 来 的 1/2， 其 他 条 件 不 变 ， 则 应 抽 查 多 少 户 。年 收 入 （ 千 元 ） 家 庭 数 f 组 中 值 x4以 下 5 2 -8.8 387.2048 8 6 -4.8 184.32812 40 10 -0.8 25.601216 20 14 3.2 204.8016以 上 7 18 7.2 362.88合 计 80 1164.80 x x 2( )x x f /22 222 2 2 222 2 /22 222 2 2222 1 0.5 0.0455 2,1200, 80, 14.741200 2 14.741200 0.5 2 14.747075.2 19.71 20358.96 12 0.0455 2, 0.25212x x x x xx x uN n suNu sn N Nu sn u ssuN 解 ： （ ） 已 知 ： （ 千 元 ） , 时（ 千 元 ）（ 户 ）（ ） 时 （ 千 元 ） 22 200 2 14.741200 0.25 2 14.747075.2 52.82 53133.96 （ 户 ） 例 7 有 一 批 送 检 产 品 ， 据 经 验 估 计 其 一 级 品 率 为 20%， 成 数的 最 大 允 许 抽 样 误 差 不 超 过 5%， 在 95%置 信 水 平 下 ， 求 ： （ 1） 用 重 复 随 机 抽 样 ， 必 要 抽 样 单 位 数 是 多 少 ？ （ 2） 抽 样 方 法 同 上 ， 若 允 许 误 差 减 少 50%， 其 必 要 抽 样 单位 数 又 为 多 少 ？ /2 0.025 2 22 2/ 22 22/ 22 1 0.2 0.05, 0.05 1.961.96 0.2 0.8 245.86 2460.05(2) 0.025(1(1 ) 1.96 0.2 0.8 983.45 9840.025)P p ppP p p u uu p pn u p pn 解 ： 已 知 ： （ ） ， ，重 复 随 机 抽 样 必 要 样 本 量 ：时 例 8 已 知 对 1000件 产 品 按 简 单 随 机 不 重 复 抽 样 的 方 式 抽 取 了 150件， 合 格 品 率 为 96%。（ 1） 若 置 信 水 平 为 95%， 是 估 计 该 批 产 品 合 格 率 的 可 能 范 围 。（ 2） 如 果 允 许 误 差 扩 大 一 倍 ， 其 他 条 件 不 变 ， 则 应 抽 查 多 少 件产 品 ？ 2 22 2 2/2 /21 1000, 150, 0.96, 0.014750.05, 1.96, 0.0289,95% (0.96 0.0289,0.96 0.0289) (93.11%,98.89%)(2) 2 0.0289 2 0.0578(1 )(1 ) ppp p pp p p p N nn NNu p pN n puu un N 解 ： 已 知 ： （ ）抽 样 的 平 均 误 差 ：合 格 率 的 的 置 信 区 间 为 :42.2885 4(1 3)p p （ 件 ） 返 回 End of Chapter 5