线性代数二次型与二次曲面

第 六 章 二 次 型 与 二 次 曲 面 6.1 二 次 型 及 其 标 准 形 6.2 正 定 二 次 型 6.3 曲 面 及 其 方 程 6.4 二 次 曲 面 n 曲 面 和 曲 线 的 一 般 方 程 n 球 面 及 其 方 程n 柱 面 及 其 方 程 ( , ) 00f x yz n 旋 转 曲 面 方 程 2 2( , ) 0f x y z n若 已 知 二 次 曲 面 的 标 准 方 程 ， 则 容 易 画 出它 的 图 形 。n若 二 次 曲 面 的 方 程 不 是 标 准 方 程 ， 要 通 过正 交 变 换 和 平 移 变 换 把 一 般 二 次 方 程 化 为标 准 方 程 ， 从 而 知 道 其 图 形 。 1 2 32 2 311 22 33 12 13 232 2 2 0 常 数 项二 次 型 一 次 项ba x a y a z a xy a xz a y x cb yz b z 2 2 2 2 2 1 0 xy xz yz x y2 2 20 1 11 0 11 1 0 xy xz yz AA 二 次 型 的 矩 阵解 1 11 1 1 1 = E A 2=( 2)( +1) 1 2 32 1= = = A的 特 征 值 ： ， 11 2 2 0111 =, ,对 特 征 值 ， 方 程 组 的 基 础 解 系T E A X 2 32 3110 1 2 1 21 T= - , , , / , / ,将 ， 正 交 化 ： T 2 32 3 1 0110 101 = = , , , , , ,对 特 征 值 的 基 础 解 系T TE A X 1 1 3 2 321 1 1 1 1 1 1 203 3 3 2 2 6 6 6 , , , , , , ,将 ， ， 单 位 化 ：T TTp p p 1 2 3 1 3 1 2 1 61 3 1 2 1 61 3 0 2 6 , ,得 正 交 矩 阵 ： =P p p p 1 1 12 1 1 ( ,- ,- ), , , , , ,则 有 ，令 其 中 ， =T T TP AP diagX X x y z Y x y zPY2 2 2 2 2 1 xy xz yz x y 2 1 1 2 2 0 1 ( , , ) , , TY diag PYY2 2 21 1 1 12 2 1 x y z y2 2 21 1 1 12 2 1 0 =x y z y得 2 2 0 1 , ,TX AX X 2 2 21 1 1 12 2 1 0 = 将 配 方 x y z y2 1 2 12 1 1 做 平 变 换 ：移x xy yz z它 是 一 个 圆 锥 面 。 22 21 1 12 1 0 =x y z2 2 22 2 22 0 =得 这 是 原 曲 面 方 程 的 标 准 方 程 ，x y z A正 定 , 2 2 22 2 2 1 x y za b c 作 业 22P164: 21 第 一 章 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 18, 21第 二 章 1(3)(6), 3, 4, 6, 9, 12, 13, 20, 14, 15, 16, 21, 22, 23第 三 章 1, 3, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 16, 18, 20,22, 25, 27, 28第 四 章 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,14(2)(3), 15, 16(2)(4), 20, 23第 五 章 1(2)(4), 2(2), 3, 9(2)(4), 14(1)(3), 15第 六 章 3, 4(1)(3), 6, 9, 10, 11, 12, 16, 17, 21 00 0 01 0 00 1 0 0 =0 0 00 0 0 1 n ni iia b aba b aba b a ba b aba b （ 4） = nD： 设 原 式证 1 21 11 0 0 1 0 01 0 0 0 0 0( ) ( 1)0 0 0 00 0 1 0 0 1n n na b ab aba b a bD a b aba b ab a b aba b a b 按 第 行 展 开 ： 1 20 0 0 01 0 0 1 0 0( ) 0 0 0 00 0 1 0 0 1n na b ab a b aba b a ba b aba b ab a b aba b a b 1 2( )n n nD a b D abD 1 1 2 1 2( )n n n n n nD aD bD abD b D aD 2 2 32 2 1( )( )n nnb D aDb D aD 2( )1n a b abb a a ba b 2 2( )n nb b b 1= + nn nD aD b 122 12= ( + )+n nn n nna aD b ba D ab b 2 2 133 2 2 13= ( ) +n n nn n n nna aD b ab ba D a b ab b 1 2 2 2 2 11= +n n n n na D a b a b ab b 1 2 2 2 2 1( ) +n n n n na a b a b a b ab b 1 2 2 2 2 1+n n n n n na a b a b a b ab b 0n i n ii a b 2 ,A A O A O 证 明 ： 若 是 实 对 称 矩 阵 且 则11 12 121 22 21 2= nnn n nna a aa a aA a a a 证 ： 设 TA A A 是 对 称 矩 阵 ，11 12 1 11 21 121 22 2 12 22 22 1 2 1 2= = n nn nT n n nn n n nna a a a a aa a a a a aA AA a a a a a a 11 12 1 11 21 121 22 2 12 22 22 1 2 1 2= = n nn nT n n nn n n nna a a a a aa a a a a aA AA a a a a a a 2 2 211 12 1 2 2 2 21 22 2 2 2 21 2= n n n n nna a a a a a a a aO =0ija因 为 所 有 元 素 都 是 实 数 ， 得A O k klE BA E k B k lO E 求 的 逆 。 其 中 为 阶 单 位 矩 阵 ， 为 矩 阵 。1 0,k lA E E A ：解 可 逆 。11 121 11 2221 22 ,X XA X k X lX X 设 其 中 是 阶 矩 阵 ； 是 阶 矩 阵 。 11 1221 22 =k kl lE B E OX XO E O EX X 11 2112 222122 klX BX EX BX OX OX E 11122122 klX EX BX OX E 1 k lE BA O E 得 1 2 1 2 32 1 3 1 2 1, , , = + + + = + + + = + + +s ss s s 证 明 向 量 组 与 向 量 组 ， ， 等 价 。 1 21 2 1 2 , , ,( 1) ( ) ss ss 不 妨 设 是 列 向 量 。证 明 ： （ 用 秩 的 方 法 ） 1 2 1 2, , , , , , ,s s 矩 阵 1 12 22 1 1 2 2 1 2, , , , , , ,sss sc cc cc c s s s 1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,s s s s 1 2( 1)( 1)( 1) 1 2 1 2 1 2, , , , , ,ss cs cs c s s s 1 20, 0, , 0, , , , s 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , ,s s sr r 1 2 1 2, , , , , ,s s 向 量 组 可 由 向 量 组 线 性 表 示 。1 2 1 2, , , , , ,s s 显 然 ， 向 量 组 可 由 向 量 组 线 性 表 示 。 1 2 1 2, , , , , ,s s 所 以 ， 向 量 组 与 向 量 组 等 价 。 12( 1)( 1)( 1) 1 2 1 2 1 2, , , , , ,ss cs cs c s s s , ( ) ( ) ( )A B m n r A B r A r B 设 都 是 矩 阵 ， 证 明 ： 1 2 1 21 21 2 = , , , , , , , , , , , n nnnA BA nB n 令 ,其 中 ，是 的 个 列 向 量 ， 是证 的： 个 列 向 量 . 1 1 2 21 1 2 2= , , , , , n nn nA B A B n 则 其 中 ， 是 的 个 列 向 量 ，1 2 1 21 2 1 2( ) , ( ) ., , , , , , , , , , , .n sn tr A s r B t 设不 妨 设 的 极 大 线 性 无 关 组 为 . 设 的 极 大 线 性 无 关 组 为 1 1 2 21 2 1 2, , , , , , , ,n ns t 向 量 组 可 由向 量 组 , 线 性 表 示 。1 1 2 2 1 2 1 2, , , , , , , , ,n n s t 向 量 组 的 秩 向 量 组 , 的 秩1 2 1 2, , , , , , ,s t s t 而 向 量 组 的 秩 向 量 组 的 向 量 个 数 1 1 2 2( , , , )n nr s t 所 以 ， ( ) ( ) ( )r A B r A r B 即 , , ( ) ( ) A B n A nB O r A r B 设 都 是 阶 矩 阵 ,若 证 明 1 2r ,r ., , , ,nr sB ： 设令证 A B 1 2 1 2 1 2 , , , = , , , =O , , ,n nnAB A A A AA O A O A O 由则 有 ： .iB AX O 组可 见 ， 的 每 一 列 都 是 方 程 的 解1 2, , , nAX O 则 的 基 至 多础 解 系 包 含 n-r个 解B中 有 n-r个 线 性 无 关 向 量则 s n-r， 即 r+s n. 2= . ( ( ) )A n A Ar A A E nr 设 是 阶 矩 阵 ， 且 证 明B A E 证 ： 令 2( - )AB A A E A A O 11 ( ) ( - )r A r A E n 由 习 题 的 结 论 知 ， 2 ,(, ,0),r rTA n A AT T AT rE a Er di g 试 证 明 ： 设 是 阶 实 对 称 矩 阵 ， 且 则 存 在 正 交 矩 阵 使 得 其 中 为 秩 ， 为 阶 单 位 矩 阵 。. A 设 的 特 征 值 为 ， 对 应 的 特 征 向 量 为证 。A 2A 2 2 20, =0 =1 =1 0A 则 有 ， 即 0的 特 征 值 只 能 是 和 或 1 t 0.A nt 设 有 个 特 征 值 为 ， 个 特 征 值 为1 - 0(1,1, ,1,0, ,0)= 0 0tT n tt n t ET AT T AT diag 个 个则 对 实 对 称 矩 阵 A， 存 在 正 交 矩 阵 T,使 得0( ) ( ) 0 0 tT n tt r Er A r T AT r t 所 以 ， 0= 0 0r nT rET AT 则 有 19周星期三(1月8日)，9:00-11:00AM3302021班(前40名同学)3302032班(49)，1班(第41-51号同学)3302043班(58)，其他非本专业同学(17)19周星期二(1月7日)，3:00-5:00PM31号楼3楼教师休息室