数学分析泰勒公式

第 四 章 Taylor公 式 2008 11 26 4.1 函 数 的 微 分 一 、 问 题 的 提 出实 例 :正 方 形 金 属 薄 片 受 热 后 面 积 的 改 变 量 .20 xA 0 x 0 x,00 xxx 变 到设 边 长 由 ,2xA正 方 形 面 积 2020 )( xxxA .)(2 20 xxx )1( )2( ;, 的 主 要 部 分且 为的 线 性 函 数 Ax ., 很 小 时 可 忽 略当的 高 阶 无 穷 小 xx :)1( :)2( x x 2)( xxx 0 xx 0 再 例 如 , ., 03 yx xxy 求 函 数 的 改 变 量时为 处 的 改 变 量在 点设 函 数 3030 )( xxxy .)()(33 32020 xxxxx )1( )2(,很 小 时当 x .3 20 xxy ),()2( xox 的 高 阶 无 穷 小是 既 容 易 计 算 又 是 较 好 的 近 似 值问 题 :是 否 所 有 函 数 的 改 变 量 都 对 应 有 一 个 线 性 函数 (改 变 量 的 主 要 部 分 )?它 是 什 么 ?如 何 求 ? 二 、 微 分 的 定 义 ,)( 在 某 区 间 内 有 定 义设 函 数 xfy ,00 在 这 区 间 内及 xxx 如 果 )()()( 00 xoxAxfxxfy ),( 无 关 的 常 数是 与其 中成 立 xA 则 称 函 数)(xfy ,0可 微在 点 x 为 函 数并 且 称 xA 相 应 于 自 变 量在 点 0)( xxfy ,的 微 分增 量 x定 义 ： .的 线 性 主 部叫 做 函 数 增 量微 分 ydy (微 分 的 实 质 )记 作 ),( 00 xdfdy xx 或 .0 xAdy xx 即由 定 义 知 : ;)1( 的 线 性 函 数是 自 变 量 的 改 变 量 xdy ;)()2( 高 阶 无 穷 小是 比 xxodyy ;,0)3( 是 等 价 无 穷 小与时当 ydyA dyy xA xo )(1 ).0(1 x ;)(,)4( 0有 关和但 与无 关 的 常 数是 与 xxfxA ).(,)5( 线 性 主 部很 小 时当 dyyx 三 、 可 微 的 条 件 ).(,)( )( 00 0 xfAxxf xxf 且处 可 导在 点数 可 微 的 充 要 条 件 是 函在 点函 数定 理证 (1) 必 要 性 ,)( 0可 微在 点 xxf ),( xoxAy ,)( xxoAxy xxoAxy xx )(limlim 00则 .A ).(,)( 00 xfAxxf 且可 导在 点即 函 数 (2) 充 分 性 ,)( 0 xxxfy 从 而 ,)( 0 xfxy即 ,)( 0可 导在 点函 数 xxf ),(lim 00 xfxyx ),0(0 x),()( 0 xoxxf .)(,)( 00 Axfxxf 且可 微在 点函 数 ).(. 0 xfA 可 微可 导 .)(),(, ,)( xxfdyxdfdy xxfy 即或记 作微 分 称 为 函 数 的的 微 分在 任 意 点函 数 例 1解 .02.0,23 时 的 微 分当求 函 数 xxxy xxdy )( 3 .3 2 xx 02.02202.02 3 xxxx xxdy .24.0., ,xdxdx xx 即记 作 称 为 自 变 量 的 微 分的 增 量通 常 把 自 变 量 .)( dxxfdy ).(xfdxdy . 微 商导 数 也 叫该 函 数 的 导 数 之 商 等 于与 自 变 量 的 微 分即 函 数 的 微 分 dxdy 四 、 微 分 的 几 何 意 义 )(xfy 0 xM N Tdy y )( xo ） xyo x几 何 意 义 :(如 图 ).,对 应 的 增 量就 是 切 线 纵 坐 标坐 标 增 量 时是 曲 线 的 纵当 dyy xx 0 P ., MNMP Mx 可 近 似 代 替 曲 线 段切 线 段 的 附 近在 点很 小 时当 五 、 微 分 的 求 法 dxxfdy )(求 法 : 计 算 函 数 的 导 数 , 乘 以 自 变 量 的 微 分 .1.基 本 初 等 函 数 的 微 分 公 式 xdxxxdxdxxxd xdxxdxdxxd xdxxdxdxxd dxxxdcd cotcsc)(csctansec)(sec csc)(cotsec)(tan sin)(coscos)(sin )(0)( 22 1 dxxxddxxxd dxxxddxxxd dxxxddxaxxd dxeedadxaad a xxxx 22 22 1 1)cot(1 1)(arctan 11)(arccos11)(arcsin 1)(lnln1)(log )(ln)( 2. 函 数 和 、 差 、 积 、 商 的 微 分 法 则 2)()( )()( v udvvduvududvvduuvd cducuddvduvud arc 例 2解 .),ln( 2 dyexy x 求设 ,21 2 2x xex xey .21 2 2 dxex xedy x x例 3解 .,cos31 dyxey x 求设 )(cos)(cos 3131 xdeedxdy xx .sin)(cos,3)( 3131 xxee xx dxxedxexdy xx )sin()3(cos 3131 .)sincos3(31 dxxxe x 六 、 微 分 形 式 的 不 变 性 ;)(,)1( dxxfdyx 是 自 变 量 时若 则微 函 数 的 可即 另 一 变 量是 中 间 变 量 时若 ),( ,)2( tx tx ),()( xfxfy 有 导 数设 函 数 dttxfdy )()( ,)( dxdtt .)( dxxfdy 结 论 ： 的 微 分 形 式 总 是 函 数是 自 变 量 还 是 中 间 变 量无 论)( ,xfy x 微 分 形 式 的 不 变 性 dxxfdy )( 例 5解 .,sin dybxey ax 求设 )(sin)(cos axdebxbxbxdedy axax dxaebxbdxbxe axax )(sincos .)sincos( dxbxabxbe ax 例 4解 .),12sin( dyxy 求设 .12,sin xuuy ududy cos )12()12cos( xdxdxx 2)12cos( .)12cos(2 dxx 七 、 高 阶 微 分 一阶微分：dxxfdf )( 二阶微分：22 )( dxxffd （有形式不变性） （没有形式不变性）nnn dxxffd )()(必须是自变量222 )()()()( dxxfdxxfdxxfddfdfd 阶微分n 例 6 ,xey , 2txey x 22 dxeyd x 2222 )42()( 222 dtetedteyd ttt ,4)d2()(d 22222 dttttdxx .dd2d4d2d 222222 22 xexxettetey xxtt .)( ;)( 22 222的一阶微分表示的二阶微分；表示指xxd xxddxdx 八 、 近 似 计 算 .)( 0 xxf 00 xxxx dyy 1、 计 算 函 数 增 量 的 近 似 值 （以直代曲）;)(.1 0附 近 的 近 似 值在 点求 xxxf .)()()( 000 xxfxfxxf )( 很 小 时x2、 计 算 函 数 的 近 似 值 ;0)(.2 附 近 的 近 似 值在 点求 xxf .)0()0()( xffxf .,00 xxx 令 例 7 ?,05.0 ,10问 面 积 增 大 了 多 少厘 米 半 径 伸 长 了厘 米 的 金 属 圆 片 加 热 后半 径解 ,2rA 设 .05.0,10 厘 米厘 米 rr rrdAA 2 05.0102 ).( 2厘 米 例 8 .0360cos o 的 近 似 值计 算 解 ,cos)( xxf 设 )(,sin)( 为 弧 度xxxf ,360,30 xx .23)3(,21)3( ff )3603cos(0360cos o 3603sin3cos 3602321 .4924.0 常 用 近 似 公 式 )( 很 小 时x.)1ln()5( ;1)4();(tan)3( );(sin)2(;111)1( xx xexxx xxxxnx xn 为 弧 度 为 弧 度证 明 ,1)()1( n xxf 设 ,)1(1)( 11 nxnxf.1)0(,1)0( nff xffxf )0()0()( .1 nx 例 9 .计 算 下 列 各 数 的 近 似 值解 .)2(;5.998)1( 03.03 e33 5.110005.998)1( 3 )10005.11(1000 3 0015.0110 )0015.0311(10 .995.903.01)2( 03.0 e .97.0 微 分 学 所 要 解 决 的 两 类 问 题 :函 数 的 变 化 率 问 题函 数 的 增 量 问 题 微 分 的 概 念导 数 的 概 念求 导 数 与 微 分 的 方 法 ,叫 做 微 分 法 .研 究 微 分 法 与 导 数 理 论 及 其 应 用 的 科 学 ,叫 做 微 分 学 .导 数 与 微 分 的 联 系 : .可 微可 导 九 、 小 结 导 数 与 微 分 的 区 别 : ., , ,)( ),()(.1 0 00 00 它 是 无 穷 小时当定 义 域 是 它 的的 线 性 函 数是而 微 分 处 的 导 数 是 一 个 定 数在 点函 数 xxR xxxxfdy xfxxf )(limlim 0000 xxxfdy xxxx .0. )(,()()( )(,)(,( )()(,.2 0 000 000 0的 纵 坐 标 增 量方 程 在 点 处 的 切 线在 点是 曲 线 而 微 分处 切 线 的 斜 率点 在是 曲 线从 几 何 意 义 上 来 看x xfxxfyxx xfdyxfx xfyxf 作 业 (数 学 分 析 习 题 集 )习 题 4.1 函 数 的 微 分1、 1), 4); 2 、 偶 数 号 题 ; 3、 3), 4).