数学分析》第二章数列极限

第 二 章 数 列 极 限 “割 之 弥 细 ， 所失 弥 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 则 与 圆 周 合体 而 无 所 失 矣 ”1、 割 圆 术 ： 播 放刘 徽一 、 概 念 的 引 入 R正 六 边 形 的 面 积 1A正 十 二 边 形 的 面 积 2A正 形 的 面 积126 n nA , 321 nAAAA S 2、 截 丈 问 题 ：“一 尺 之 棰 ， 日 截 其 半 ， 万 世 不 竭 ”;211 X第 一 天 截 下 的 杖 长 为 ;2121 22 X为第 二 天 截 下 的 杖 长 总 和 ;212121 2 nnXn 天 截 下 的 杖 长 总 和 为第 nnX 211 1 二 、 数 列 的 定 义定 义 :按 自 然 数 ,3,2,1 编 号 依 次 排 列 的 一 列 数 , 21 nxxx (1)称 为 无 穷 数 列 ,简 称 数 列 .其 中 的 每 个 数 称 为 数 列 的 项 , nx 称 为 通 项 (一 般 项 ).数 列 (1)记 为 nx .例 如 ;,2,8,4,2 n ;,21,81,41,21 n 2 n 21 n 注 意 ： 1.数 列 对 应 着 数 轴 上 一 个 点 列 .可 看 作 一动 点 在 数 轴 上 依 次 取 ., 21 nxxx1x 2x3x 4x nx2.数 列 是 整 标 函 数 ).(nfxn ;,)1(,1,1,1 1 n )1( 1 n;,)1(,34,21,2 1 nn n )1( 1nn n ,333,33,3 .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当观 察 数 列 nnn 播 放 三 、 数 列 的 极 限 问 题 : 当 无 限 增 大 时 , 是 否 无 限 接 近 于 某 一确 定 的 数 值 ?如 果 是 ,如 何 确 定 ?nxn .1)1(1, 1 无 限 接 近 于无 限 增 大 时当 nxn nn 问 题 : “无 限 接 近 ” 意 味 着 什 么 ?如 何 用 数 学 语 言刻 划 它 .1nx nnn 11)1( 1 通 过 上 面 演 示 实 验 的 观 察 : ,1001给 定 ,10011 n由 ,100时只 要 n ,10011 nx有,10001给 定 ,1000时只 要 n ,1000011 nx有,100001给 定 ,10000时只 要 n ,100011 nx有,0给 定 ,)1( 时只 要 Nn .1 成 立有 nx 定 义 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 (不 论 它 多 么小 ),总 存 在 正 数 N,使 得 对 于 Nn 时 的 一 切 nx , 不 等 式 axn 都 成 立 ,那 末 就 称 常 数 a是 数 列nx 的 极 限 ,或 者 称 数 列 nx 收 敛 于 a,记 为 ,lim axnn 或 ).( naxn如 果 数 列 没 有 极 限 ,就 说 数 列 是 发 散 的 .注 意 ： ;.1 的 无 限 接 近与刻 划 了不 等 式 axax nn .2 有 关与 任 意 给 定 的 正 数 N x1x2x 2Nx1Nx 3x几 何 解 释 : 2a aa .)( ,),(, 落 在 其 外个至 多 只 有只 有 有 限 个 内都 落 在所 有 的 点时当 N aaxNn n :定 义N其 中 ;:每 一 个 或 任 给 的 .:至 少 有 一 个 或 存 在 .,0,0 lim axNnN ax nnn 恒 有时使 数 列 极 限 的 定 义 未 给 出 求 极 限 的 方 法 .例 1 .1)1(lim 1 nn nn证 明证 1nx 1)1( 1 nn n n1,0任 给 ,1 nx要 ,1 n只 要 ,1n或所 以 , ,1N取 ,时则 当 Nn 1)1( 1nn n就 有 .1)1(lim 1 nn nn即注 意 ： 例 2 .lim),( CxCCx nnn 证 明为 常 数设证 Cxn CC ,成 立,0任 给所 以 , 0 ,n对 于 一 切 自 然 数.lim Cxnn 说 明 :常 数 列 的 极 限 等 于 同 一 常 数 .小 结 : 用 定 义 证 数 列 极 限 存 在 时 ,关 键 是 任 意 给定 寻 找 N,但 不 必 要 求 最 小 的 N.,0 例 3 .1,0lim qqnn 其 中证 明证 ,0任 给 ,0 nn qx ,lnln qn,lnln qN 取 ,时则 当 Nn,0 nq就 有 .0lim nn q,0q若 ;00limlim nnn q则,10 q若 ,lnlnqn 例 4 .lim ,0lim,0 ax axx nn nnn 求 证 且设证 ,0任 给 .lim axnn 故 ,lim axnn ,1 axNnN n时 恒 有使 得 当 ax axax nnn 从 而 有 aaxn a1 四 、 数 列 极 限 的 性 质1、 有 界 性 定 义 : 对 数 列 nx , 若 存 在 正 数 M, 使 得 一 切 自然 数 n, 恒 有 Mxn 成 立 , 则 称 数 列 nx 有 界 , 否 则 , 称 为 无 界 .例 如 , ;1 nnxn数 列 .2nnx 数 列 数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点 nx 都 落 在 闭 区 间, MM 上 . 有 界 无 界 定 理 1 收 敛 的 数 列 必 定 有 界 .证 ,lim axnn 设 由 定 义 , ,1取 ,1, axNnN n时 恒 有使 得 当则 .11 axa n即 有 ,1,1,max 1 aaxxM N记 , Mxn n 皆 有则 对 一 切 自 然 数 .有 界故 nx注 意 ： 有 界 性 是 数 列 收 敛 的 必 要 条 件 .推 论 无 界 数 列 必 定 发 散 . 2、 唯 一 性定 理 2 每 个 收 敛 的 数 列 只 有 一 个 极 限 .证 ,lim,lim bxax nnnn 又设 由 定 义 ,使 得.,0 21 NN ;1 axNn n时 恒 有当 ;2 bxNn n时 恒 有当 ,max 21 NNN 取时 有则 当 Nn )()( axbxba nn axbx nn .2.时 才 能 成 立上 式 仅 当 ba 故 收 敛 数 列 极 限 唯 一 . 例 5 .)1( 1是 发 散 的证 明 数 列 nnx证 ,lim axnn 设 由 定 义 , ,21对 于 ,21, 成 立有时使 得 当则 axNnN n ),21,21(, aaxNn n时即 当 区 间 长 度 为 1.,1,1 两 个 数无 休 止 地 反 复 取而 nx不 可 能 同 时 位 于 长 度 为 1的 区 间 内 ., 但 却 发 散是 有 界 的事 实 上 nx 3、 子 数 列 的 收 敛 性 的 子 数 列 （ 或 子 列 ） 的 一 个 数 列 称 为 原 数 列 到中 的 先 后 次 序 ， 这 样 得这 些 项 在 原 数 列 保 持中 任 意 抽 取 无 限 多 项 并定 义 ： 在 数 列 nnn xxx , 21 ni xxxx , 21 knnn xxx .knxxx kxx kknn nn k kk 项 ， 显 然 ，中 却 是 第在 原 数 列而 项 ，是 第中 ， 一 般 项在 子 数 列注 意 ：例 如 ， 定 理 3 收 敛 数 列 的 任 一 子 数 列 也 收 敛 且 极 限相 同 证 的 任 一 子 数 列 是 数 列设 数 列 nn xx k,lim axnn .,0,0 axNnN n恒 有时使,NK 取 ,时则 当 Kk .Nnnn Kkk . ax kn .lim ax knk 证毕 五 、 小 结数 列 :研 究 其 变 化 规 律 ;数 列 极 限 :极 限 思 想 、 精 确 定 义 、 几 何 意 义 ;收 敛 数 列 的 性 质 :有 界 性 、 唯 一 性 、 子 数 列 的 收 敛 性 . 思 考 题 指 出 下 列 证 明 1lim nn n 中 的 错 误 证 明 要 使 ,1 n n 只 要 使 )1ln(ln1 nn从 而 由 2ln )1ln(ln )1ln(1 nn得 ,0 取 1)1ln( 2ln N当 时 ， 必 有 成 立Nn 10 n n1lim nn n 思 考 题 解 答 1n n )1ln(ln1 nn （ 等 价 ）证 明 中 所 采 用 的 2ln )1ln(ln )1ln(1 nn实 际 上 就 是 不 等 式 )1ln(ln2ln nnn即 证 明 中 没 有 采 用 “ 适 当 放 大 ” 的 值nnln 从 而 时 ，2ln )1ln( Nn仅 有 成 立 ，)1ln(2ln n但 不 是 的 充 分 条 件 )1ln(ln nn反 而 缩 小 为 n2ln 一 、 利 用 数 列 极 限 的 定 义 证 明 : 1、 2312 13lim nnn ； 2、 19.999.0lim n二 、 设 数 列 nx 有 界 ， 又 0lim nn y ， 证 明 ： 0lim nnn yx . 练 习 题 1、 割 圆 术 ：“割 之 弥 细 ， 所失 弥 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 则 与 圆 周 合体 而 无 所 失 矣 ”刘 徽一 、 概 念 的 引 入 1、 割 圆 术 ：“割 之 弥 细 ， 所失 弥 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 则 与 圆 周 合体 而 无 所 失 矣 ”刘 徽一 、 概 念 的 引 入 “割 之 弥 细 ， 所失 弥 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 则 与 圆 周 合体 而 无 所 失 矣 ”1、 割 圆 术 ：刘 徽一 、 概 念 的 引 入 “割 之 弥 细 ， 所失 弥 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 则 与 圆 周 合体 而 无 所 失 矣 ”1、 割 圆 术 ：刘 徽一 、 概 念 的 引 入 “割 之 弥 细 ， 所失 弥 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 则 与 圆 周 合体 而 无 所 失 矣 ”1、 割 圆 术 ：刘 徽一 、 概 念 的 引 入 “割 之 弥 细 ， 所失 弥 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 则 与 圆 周 合体 而 无 所 失 矣 ”1、 割 圆 术 ：刘 徽一 、 概 念 的 引 入 “割 之 弥 细 ， 所失 弥 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 则 与 圆 周 合体 而 无 所 失 矣 ”1、 割 圆 术 ：刘 徽一 、 概 念 的 引 入 “割 之 弥 细 ， 所失 弥 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 则 与 圆 周 合体 而 无 所 失 矣 ”1、 割 圆 术 ：刘 徽一 、 概 念 的 引 入 “割 之 弥 细 ， 所失 弥 少 ， 割 之 又割 ， 以 至 于 不 可割 ， 则 与 圆 周 合体 而 无 所 失 矣 ”1、 割 圆 术 ：刘 徽一 、 概 念 的 引 入 .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当观 察 数 列 nnn三 、 数 列 的 极 限 .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当观 察 数 列 nnn三 、 数 列 的 极 限 .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当观 察 数 列 nnn三 、 数 列 的 极 限 .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当观 察 数 列 nnn三 、 数 列 的 极 限 .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当观 察 数 列 nnn三 、 数 列 的 极 限 .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当观 察 数 列 nnn三 、 数 列 的 极 限 .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当观 察 数 列 nnn三 、 数 列 的 极 限 .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当观 察 数 列 nnn三 、 数 列 的 极 限 .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当观 察 数 列 nnn三 、 数 列 的 极 限 .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当观 察 数 列 nnn三 、 数 列 的 极 限 .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当观 察 数 列 nnn三 、 数 列 的 极 限 .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当观 察 数 列 nnn三 、 数 列 的 极 限 .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当观 察 数 列 nnn三 、 数 列 的 极 限