数学分析14-8条件极值

20090420 14.8 条 件 极 值 实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：光盘和磁带，设他购买 张光盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为 设每张光盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果xy yxyxU lnln),( 问题的实质：求 在条件 下的极值点yxyxU lnln),( 200108 yx条件极值：对自变量有附加条件的极值 拉格朗日乘数法找函数),( yxfz 在条件0),( yx下的可能极值点，先构造函数),(),(),( yxyxfyxL 其中为某一常数，可由 .0),( ,0),(),( ,0),(),( yxL yxyxfL yxyxfL yyy xxx 在条件组)( ,2,1 ,0),( 21 nmmkxxx nk 的限求目标函数. ),( 21的极值nxxxfy ,制下其拉格朗日函数是：),( 2121 mnxxxL mk nkkn xxxxxxf 1 1121 ),( ),( . , 21为拉格朗日常数其中m )1(一般形式： ：定理1 ,),2,1( 内有均在如上和设Dmkf k ,一阶偏导数是若 ),( )0()0(2)0(10 DxxxP n ,上述问题的极值点且雅可比矩阵01 111 Pnmm nxx xx ,m的秩为使得个常数则存在 , )0()0(2)0(1 mm ),( )0()0(1)0()0(1 mnxx 连续的的为拉格朗日函数)1(.稳定点 : ),( )0()0(1)0()0(1为下述方程的解即mnxx 0),( 0),( 00111 11 1111 nm nmk nkknx mk kkx xxL xxL xxfL xxfL mn :骤条件极值问题的一般步用拉格朗日乘数法求解; 1.和条件组根据问题确立目标函数 2.作拉格朗日函数),( 2121 mnxxxL mk kkf 1 ,.3有稳定点求出拉格朗日函数的所这些稳定点;就是可能的条件极值点. , 4.据理说明确实是值点对每一个可能的条件极 ?据什么理,2,1 ,0),( 1. 21 mkxxx nk 如条件组 ,满足隐函数定理的条件个变量则在n nxxx , 21 中唯一确定了其中.个变量的一组隐函数个变量为其余mnm 得到一个有个函数代入目标函数将这 ,fm .个独立变量函数mn ,算出此函数的黑赛矩阵 ,应用隐函数求导法则由此判断极值点的.类型 ,),( 2. )0()0(1)0()0(1的稳定点是若Lxx mn 020 )( Pkj xx LPHL : 则; ,)( 1. 00取条件极小值在那么正定如PfPHL . ,)( 2. 00取条件极大值在那么负定如PfPHL . :元函数的泰勒公式利用证明n ,),( )0()0(2)0(10 DxxxP n 记 . 3.判断根据问题本身的特点来而其拉格朗日函数值如果某实际问题确有极 ,仅有一个稳定点或逼近且在定义域的边界上(,)不取极值边界时的则这个稳定点就是所求.条件极值点. 3. . , 2. 1.较为常用一般不用计算量大 :1例rzyxxyzzyxf 1111),( 在条件求)0,( rzyx .下的极小值:解设拉格朗日函数为).1111(),( rzyxxyzzyxL 0000 LLLLzyx由,3: rzyxL 稳定点为知4)3( r ? )3()3,3,3( 3是否为条件极值判断rrrrf ),(1111 yxzzrzyx 看成隐函数把条件则目标函数).,(),(),( yxFyxzxyzyxf , yyxyxxyxyx FFFFFzz计算出,)3,3(正定rrHF ,)3,3,3(为极小值点故稳定点rrr .进而最小值点,)3( 3rxyz 所以)1111 rzyx 且0,( rzyx , czbyax 令1)111( cbar则 )3( 3得代入rxyz 31)111(3 cbaabc . )111(3 31 abccba 或 4).P174( :2例教材例 解设),( 000 zyxP为椭球面上一点, 令1),( 222222 czbyaxzyxF , 过),( 000 zyxP的切平面方程为 )( 020 xxax )( 020 yyby 0)( 020 zzcz , 化简为 12 02 02 0 czzbyyaxx , 该切平面在三个轴上的截距各为 02xax，02yby ，02zcz , 所围四面体的体积 000 222661 zyx cbaxyzV , 在条件1220220220 czbyax下求V的最小值, 令 ,lnlnln 000 zyxu ),( 000 zyxG 000 lnlnln zyx )1( 220220220 czbyax , 由,01 0,0,0 220220220 000 cybyax GGG zyx 可得30 ax 30 by ，30 cz 此为唯一的驻点 四面体的体积最小abcV 23min . 根据实际情况四面体体积有最小值 拉 格 朗 日 乘 数 法小结作业习 题 14 61 (4, 5, 6); 2； 3； 4.