《几何与代数》PPT课件.ppt

6.2 空 间 的 曲 面 与 曲 线 将 空 间 曲 线 c 看 成 某 两 个 曲 面 S1: F(x, y, z ) = 0 与S2: G(x, y, z ) = 0的 交 线 ， 则 若 点 P(x, y, z) 在 曲 面 S 上 F(x, y, z) = 0， 则 称F(x, y, z) = 0为 曲 面 S的 方 程 。称 为 空 间 曲 线 c 的 一 般 方 程 。 F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 P(x, y, z)F(x, y, z) = 0F(x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0 x = x(t) y = y(t) z = z(t) 曲 面 的 一 般 方 程 :曲 线 的 一 般 方 程 : 曲 线 的 参 数 方 程 :一 、 常 见 曲 面 基 本 问 题 ： (1) 给 出 图 形 ， 建 立 曲 面 方 程 ；(2)已 知 坐 标 满 足 的 方 程 ， 研 究 其 表 示 的 曲 面 。 1. 球 面 (1) 以 点 P0(x0, y0, z0)为 球 心 ， R为 半 径 的 球 面 方 程(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2 = R2 (2) 球 面 方 程 的 特 点 : 三 元 二 次 ; 二 次 项 x2, y2, z2前 面 的 系 数 相 同 ; 没 有 xy, yz, zx这 类 交 错 项 。 (3) 由 方 程 x 2+y2+z2+Ax+By+Cz+D = 0， 配 方 得 (xx0)2+(yy0)2+(zz0)2 = k x yzO R b2 4a2 + c2 4a2 + d2 4a2 e a ax2 + ay2 + az2 + bx + cy + dz + e = 0 (x )2 + (y )2 + (z )2 = k b 2a c 2a b 2a 当 k 0时 : 球 面 , 球 心 ( , , ), b 2a c 2a b 2a 半 径 k 当 k = 0时 : 点 当 k 0时 : 虚 球 面 曲 线 C: ( , ) 00f y zx C y zO绕 z轴 旋 转2. 旋 转 面 母 线 x C y zO 母 线曲 线 C: ( , ) 00f y zx 绕 z轴 旋 转2. 旋 转 面 绕 z轴 旋 转 一 周 得 旋转 曲 面 S. CS M (x,y,z)N ),0( 11 zyzz 1 P y zO 221 yxy f (y1, z1)=0 x M(x,y,z) S2 2( , ) 0 S f x y z ： 2 2PM x y 1PN y 曲 线 C: ( , ) 00f y zx 2. 旋 转 面 母 线 旋 转 曲 面 的 特 点 :母 线 C: 0 0),(x zyf 2 2( , ) 0 S f x y z ： S: C中 轴 坐 标 (z)不 变 ,用 另 2个 变 量 的 平 方 和的 正 负 算 术 平 方 根 代 替 方 程 中 的 另 1个 变 量 . 反 过 来 ,方 程 中 若 有 两 个 变 量 以 出 现 ,这个 方 程 的 图 形 一 般 是 旋 转 曲 面 .几 种 常 用 的 旋 转 曲 面 :旋 转 曲 面 名 称 与 母 线 名 称 对 应 . z yOx绕 z轴旋 转 (1) 旋 转 椭 球 面 : y xz绕 y轴 旋 转 22 22 2 1 yx za b 22 2 2 10yxa bz 椭 圆 旋 转 曲 面 的 特 点 : 两 个 平 方 项 系 数 相 同母 线 C: 0 0),(x zyf 2 2( , ) 0 S f x y z ：绕 z轴旋 转 (2) 旋 转 双 叶 双 曲 面 : x2 22 2 10 x ya bz O y绕 x 轴 旋 转 一 周 .双 曲 线旋 转 曲 面 的 特 点 : 两 个 平 方 项 系 数 相 同母 线 C: 0 0),(x zyf 2 2( , ) 0 S f x y z ：绕 z轴旋 转2 2 22 2 1x y za b z (3) 旋 转 单 叶 双 曲 面 : a0旋 转 曲 面 的 特 点 : 两 个 平 方 项 系 数 相 同母 线 C: 0 0),(x zyf 2 2( , ) 0 S f x y z ：绕 z轴旋 转2 22 2 10 x ya bz 绕 y 轴 旋 转 一 周 .双 曲 线2 2 22 2 1x z ya b xyz (4) 旋 转 抛 物 面 :抛 物 线绕 z 轴 旋 转 一 周 . 2 2 ( 0)0y pz px yO旋 转 曲 面 的 特 点 : 两 个 平 方 项 系 数 相 同母 线 C: 0 0),(x zyf 2 2( , ) 0 S f x y z ：绕 z轴旋 转2 2 2x y pz x z (5) 圆 锥 面 : 0 =y kxz 直 线绕 x 轴 旋 转 一 周 .旋 转 曲 面 的 特 点 : 两 个 平 方 项 系 数 相 同母 线 C: 0 0),(x zyf 2 2( , ) 0 S f x y z ：绕 z轴旋 转 z2 2 2 2y z k x x yo x2 + y2 = 1旋 转 曲 面 的 特 点 : 两 个 平 方 项 系 数 相 同母 线 C: 0 0),(x zyf 2 2( , ) 0 S f x y z ：绕 z轴旋 转绕 z 轴 旋 转 一 周 .直 线(6) 圆 柱 面 : 动 直 线 平 行 于 z 轴 沿 着 圆移 动 所 产 生 的 曲 面 3. 柱 面 沿 给 定 曲 线 C 平 行 移 动 的 直 线 L 所 形 成 的 轨 迹 叫做 柱 面 。其 中 的 定 曲 线 C 称 为 柱 面 的 准 线 ， 动 直 线 L 称 为 柱面 的 母 线 。 说 明 (2).可 适 当 选 取 坐 标 系 ， 使 母 线 平 行 于 坐 标 轴 。下 面 考 察 母 线 平 行 于 z轴 的 柱 面 。则 此 柱 面 的 方 程 为 f(x, y) = 0。 母 线 平 行 于 设 柱 面 S的 准 线 方 程 为 f(x, y) = 0 z =0 z轴 ， x z0母 线 L准 线 C M (x,y,z)N(x, y, 0) Sf ( x,y )=0z = 0C:M(x,y,z) SS: f (x,y)=0(母 线 z轴 ) 圆 柱 面 椭 圆 柱 面 双 曲 柱 面 抛 物 柱 面 2 2 2x y r 2 22 2 1x ya b 2 22 2 1x ya b 2 2x py 4. 锥 面 直 线 l1 绕 另 一 条 与 l1 相 交 直 线 l2 旋 转 一 周 ， 所 得 的旋 转 曲 面 称 为 圆 锥 面 。 说 明 (3). l1 与 l2 的 交 点 称 为 圆 锥 的 顶 点 ， 两 条 直 线的 夹 角 (0 0) 令 y = acost, z = asint,代 入 x2 + z2 = b2得x = b2 a2sin2t 由 此 可 得 该 双 柱 面 曲 线 的 参 数 方 程 为x = b2 a2sin2t (0 t 0)的 简 图 . 得 z2 + z 20 = 0, 解 : 由 x2+y2+z2 = 25 z = x2+y25 而 z 0, 所 以 z = 4. 因 而 该 曲 线 也 可 以 看 成 柱 面x2+y2 = 9与 平 面 z=4的 交 线 ， 其简 图 如 右 图 所 示 。 O x y z 1. 椭 球 面 2. 单 叶 双 曲 面 3. 双 叶 双 曲 面 4. 二 次 锥 面 5. 椭 圆 抛 物 面 6. 双 曲 抛 物 面 (马 鞍 面 ) 一 、 二 次 曲 面 的 标 准 方 程 6.3 二 次 曲 面 二 、 一 般 方 程 表 示 的 二 次 曲 面 所 谓 二 次 曲 面 ， 就 是 由 一 个 三 元 二 次 方 程 所 表 示的 曲 面 ， 可 以 利 用 二 次 型 来 研 究 它 。 对 于 一 般 的 二 次 曲 面 f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0 其 中 x = (x1, x2, x3)T， A = (aij) 为 3阶 实 对 称 矩 阵 ，BT = (b1, b2, b3)。 由 正 交 变 换 x = Qy化 为 g(y1, y2, y3) = 1y12+2y22+3y32+b1y1+b2y2+b3y3+c = 0 1. 当 秩 (A) = 3时 ， 再 配 方 为 h(z 1, z2, z3) = 1z12 +2z22 +3z32 + c = 0 原 点 不 动 的 坐 标 轴 旋 转坐 标 轴 平 移 根 据 系 数 1 , 2 , 3 和 常 数 c 取 值 1. 椭 球 面 x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) x yba c zO x yba c zO 对 称 性 : 关 于 原 点 、 坐 标 轴 、 坐 标 面 对 称 区 域 : , ,x a y b z c 截 面 : 用 z=h截 得 的 截 线 : 2 2 22 2 21x y ha b cz h h c 为 椭 圆 , 0,0,h c c 用 x=h, y=h截 得 的 截 线 类 似 2. 单 叶 双 曲 面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) x y z O 对 称 性 : 关 于 原 点 、 坐 标 轴 、 坐 标 面 对 称 区 域 : 截 面 : 用 z=h截 得 的 截 线 2 2 22 2 21x y ha b cz h k b 椭 圆 用 y=k截 得 的 截 线无 界 2 2 22 2 21x z ka c by k k bk b 双 曲 线 双 曲 线 两 直 线 用 x=l截 得 的 截 线 与 y=k类 似 h x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) 对 称 性 : 关 于 原 点 、 坐 标 轴 、 坐 标 面 对 称 区 域 : 截 面 : 用 z=h截 得 的 截 线 2 2 22 2 2 1x y ha b cz h 椭 圆 用 y=k截 得 的 截 线 2 2 22 2 21x z ka c by k 双 曲 线 用 x=l截 得 的 截 线 与 y=k类 似 3. 双 叶 双 曲 面 x y z O z=c之 上 z=c之 下 hh c , 0,0,h c c h c无 交 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 0 (a0, b0, c0) 对 称 性 : 关 于 原 点 、 坐 标 轴 、 坐 标 面 对 称 截 面 : 用 z=h截 得 的 截 线 2 2 22 2 2x y ha b cz h 椭 圆 用 y=k截 得 的 截 线 2 2 22 2 2x z ka c by k 用 x=l截 得 的 截 线 与 y=k类 似 h 0, 0,0,0h 0h 4. 二 次 锥 面 x y z O 0k 0k 双 曲 线 两 直 线 过 原 点 沿椭 圆 移 动 2. 单 叶 双 曲 面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) x y z O 3. 双 叶 双 曲 面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 1 (a0, b0, c0) x y z O 4. 二 次 锥 面 x2 a2 + y2 b2 z2 c2 = 0 (a0, b0, c0) x y z O 5. 椭 圆 抛 物 面 2. 当 秩 (A) = 2时 , 再 配 方h(z1, z2, z3) = 1z12 +2z22 + bz3 = 0 x2 a2 + y2 b2 = 2z (a0, b0) x y z O 对 称 性 : 关 于 yOz、 xOz 、 z轴 对 称 区 域 : 截 面 : 2 22 2 2x y ha bz h 椭 圆 z0 2 22 22x kza by k 抛 物 线 g(y1, y2, y3) = 1y12+2y22+3y32+b1y1+b2y2+b3y3+c = 0 根 据 1 , 2 和常 数 b 取 值 6. 双 曲 抛 物 面 (马 鞍 面 ) x2 a2 y2 b2 = 2z (a0, b0)x y z O 对 称 性 : 关 于 yOz、 xOz 、 z轴 对 称 区 域 : 截 面 : 2 22 2 2x y ha bz h 无 限 伸 展 2 22 22x kza by k 抛 物 线 开 口 向 上 0h0h0h 双 曲 线 双 曲 线 两 直 线 2 22 22y lzb ax l 抛 物 线 开 口 向 下 f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0 x = Qy 保 持 原 点 不 动 的 坐 标 轴 旋 转坐 标 轴 的 平 移g(y) = yTy + BTy + c = 0 y = z+ 1z12 +2z22 +3z32 = bzi + d 一 般 的 二 次 曲 面 二 、 一 般 方 程 表 示 的 二 次 曲 面 条 件 方 程 p,q d 二 次 曲 面p=3,q=0r(A)=3 b=0 2 21 1 2 223 3z zz d 椭 球 面球 面1 2 3 p=2, q=1 d0p=0,q=3 d0d 0, 而 1 = 2 0, 3 = |A| = 1k2/2. 由 此 可 得 , k 时 , 原 方 程 表 示 一 个 椭 球面 . 22 x2 + y2 + z2 2xz + 4x + 2y 4z 5 = 0例 11. 试 用 直 角 坐 标 变 换 化 简 下 面 的 方 程 . 解 : 令 A = 1 0 1 0 1 0 , 1 0 1 则 原 方 程 可 写 成 TA + = 5, = 4, 2, 4, = x y z ,先 求 得 正 交 矩 阵 Q = , 2121 21210 0 0 1 0 使 Q TAQ = 1 0 0 0 2 0 . 0 0 0 但 这 里 |Q| = 1. 可 得 x2 + 2z2 = 10, 这 表 示 一 个 椭 圆 柱 面 . 令 = P, 其 中 = u, v, wT, 则 原 方 程 化 为 故 取 P = 21 21 21 210 0 0 1 0 , 则 P也 是 正 交 矩 阵 , 且 |P| = 1. 2(u+1)2 + 2(w+ )2 = 10, 2u2 + 2w2 + 2u + 4 w 5 = 0 再 令 x y z = + 21 0 u v w , x y z = 21 0 u v w ,即 综 上 所 述 , 经 直 角 坐 标 变 换 原 方 程 化 为 x2 + 2z2 = 10. 21 (y+z)1 x = y = x 1 21 (yz)+1 z = a bc yx zo1. 椭 球 面 x zy 0z = a y = 0 x = b 6. 马 鞍 面