多媒体教学课件ppt课件

多 媒 体 教 学 课 件复 变 函 数 论 第 五 章 留 数 理 论第 5.1节 留 数 及 其 计 算第 5.2节 留 数 定 理 及 其 推 广第 5.3节 应 用 于 积 分 计 算第 5.4节 辐 角 原 理 和 儒 歇 定 理 第 5.1节 留 数 及 其 计 算先 计 算 积 分 这 是 一 个 广 义 积 分 ， 它 显 然 是 收 敛 的 。 我 们 应 用留 数 定 理 来 计 算 它 。考 虑 函 数 这 个 函 数 有 两 个 二 阶 极点 ， 在 上 半 平 面 上 的 一个 是 z=i。 0 22 ,)1( xdxI 2 21( ) (1 )f z z rR Rz i 作 以 O为 心 、 r为 半 径 的 圆 盘 。 考 虑 这 一 圆 盘 在 上 半 平 面 的部 分 ， 设 其 边 界 为 。 取 r1， 那 么 z=i包 含 在 的 内 区域 内 。 沿 取 f(z)的 积 分 ， 则 有rr 2 2 2 2 2 2(1 ) (1 ) (1 )rrr Cdx dz dzx z z 现 在 估 计 积 分 ， 有 r zdz 22)1( ,)1( 1|)1(| 2222 rrzdzr 因 此 ,0)1(lim 22 r zdzr 令 r ， 就 得 到 2 21 1 ( ) .2 (1 ) 2 CdxI f z dzx 上 式 右 端 是 与 r无 关 的 常 数 ， 也 就 是 说 计 算 实积 分 最 后 剩 下 的 来 计 算 环 绕 孤 立 起 点 z=i的 积分 之 值 ， 将 右 端 积 分 乘 称 为 在 z=i处 的 留 数（ 即 残 留 之 意 ） 注 解 ： 以 上 是 一 个 具 有 普 遍 意 义 的 事 实 ， 即 计 算 实 或 复 积 分 往 往 化 成 计 算 环 绕 某 些 孤 立 起 点 处 的 积 分 ， 即 计 算 留 数 。12 i 1.留 数 的 概 念 设 函 数 f(z)在 点 z0解 析 。 作 圆 rzzC |:| 0C dzzf )(等 于 零 。 设 函 数 f(z)在 区 域 0| z-z0|R内 解 析 。 选 取 r，使 0rR， 并 且 作 圆 rzzC |:| 0那 么 如 果 f(z)在 z0也 解 析 ， 则 上 面 的 积 分 也 等 于零 ；使 f(z)在 以 它 为 边 界 的 闭 圆 盘 上 解 析 ， 那 么 根 据柯 西 定 理 ， 积 分 定 义 5.1 如 果 z0是 f(z)的 孤 立 奇 点 ， 则 上 述 积 分 就不 一 定 等 于 零 ； 这 时 ， 我 们 把 积 分留 数 的 概 念 C dzzfi )(21定 义 为 f(z)在 孤 立 奇 点 z0的 留 数 ， 记 作),(Res 0zf这 里 积 分 是 沿 着 C按 反 时 针 方 向 取 的 。 注 解注 解 1、 我 们 定 义 的 留 数 Res(f, z0) 与 圆 C的 半 径r无 关 ： 事 实 上 ， 在 0| z-z0|1)。 则 在 z0附 近 有其 中 ， 在 z0解 析 ， 且 ， 则因 此 ),()( 1)( 0 zzzzf k )(z 0)( 0 z ,)()( 1 0 n nn zzz 0 0 ( 1) ( 1)00 11 01( ) ( )Res( , ) lim( 1)! ( 1)!( ) ( )1 lim .( 1)! k kk z zk kkz z z zf z k kd z z f zk dz 2.在 无 穷 远 点 的 留 数 设 函 数 f (z)在 圆 环 域 R|z|内 解 析 , C为 圆 环 域 内 绕 原 点 的 任 何 一 条 简 单 闭 曲 线 , 则 积 分C zzfi d)(211Res ( ), ( )d2 Cf z f z zi 的 值 与 C无 关 , 称 其 为 f (z)在 点 的 留 数 , 记 作 11 1Res ( ), ( )d ( )d2 2C Cf z f z z f z z Ci i f (z)在 圆 环 域 R|z|内 解 析 ： nnnf z c z 理 解 为 圆 环 域 内 绕 的 任 何 一 条 简 单 闭 曲 线 。C 这 就 是 说 , f (z)在 点 的 留 数 等 于 它 在 点 的 去 心 邻 域R|z|+内 洛 朗 展 开 式 中 z1 的 系 数 变 号 .Res ( ), f z 注 ： 当 为 可 去 奇 点 时 ， 不 一 定 为 零 .( ) Laurenf z z 在 1 + 内 展 开 为 级 数 ： 22 11111111111 zzzzzzzz 1),(sRe 1 Czf 1Res ( ), 1f z C 1( ) ,1f z z 例 如 为 可 去 奇 点 。1( ) ,f z z 再 如 为 可 去 奇 点 , 第 5.2节 留 数 定 理 及 其 推 广定 理 5.1（ 留 数 定 理 ） 设 D是 由 复 合 闭 路 所 围 的 有 界 多 连 通 域 。 设 f(z)在 D内 除去 有 孤 立 奇 点 外 解 析 ， 并 且 连 续 到C， 则 ： nzzz ,., 21 ),(Res2)( 1 knkC zfidzzf 这 里 沿 C的 积 分 按 关 于 区 域 D的 正 向 取 的 。 0 1C C C mC 留 数 定 理 的 基 本 思 想 留 数 定 理 的 证 明 ：证 明 ： 以 D内 每 一 个 孤 立 奇 点 zk为 心 ， 作 圆 Ck，使 以 它 为 边 界 的 闭 圆 盘 上 每 一 点 都 在 D内 ， 并 且使 任 意 两 个 这 样 的 闭 圆 盘 彼 此 无 公 共 点 。 从 D中除 去 以 这 些 Ck为 边 界 的 闭 圆 盘 的 一 个 区 域 G，其 边 界 是 C以 及 Ck，在 G及 其 边 界 所 组 成 的 闭 区 域 上 ， f(z)解 析 。 因此 根 据 柯 西 定 理 ， ,)()( 1 nk CC k dzzfdzzf 这 里 沿 C的 积 分 按 关 于 区 域 D的 正 向 取 的 ， 沿 Ck的 积 分 按 反 时 针 方 向 取 的 。 根 据 留 数 的 定 义 ，得 定 理 的 结 论 成 立 。留 数 定 理 的 证 明 ：注 解 1、 留 数 定 理 在 两 个 从 定 义 上 看 ， 完 全 不 同， 也 不 相 干 的 概 念 之 间 架 起 一 个 桥 梁 ， 是 非 常重 要 的 。注 解 2、 具 体 计 算 一 定 要 注 意 前 面 的 系 数 .2 i .0d)(21d)(21 ),(Res),(Res 1 CC nk k zzfizzfi zzfzf定 理 5.2 如 果 f (z)在 扩 充 复 平 面 内 只 有 有 限 个 孤 立 奇 点 ,那 末 f (z)在 所 有 各 奇 点 (包 括 点 )的 留 数 总 和 必 等 于 零 .证 ： 除 点 外 , 设 f (z)的 有 限 个 奇 点 为 zk(k=1,2,.,n). 且 C为一 条 绕 原 点 的 并 将 zk(k=1,2,.,n)包 含 在 它 内 部 的 正 向 简 单闭 曲 线 , 则 根 据 留 数 定 理 与 在 无 穷 远 点 的 留 数 定 义 , 有注 ： 定 理 5.2给 出 了 扩 充 复 平 面 内 只 有 有 限 个 孤 立 奇 点 时 的 关系 ， 是 一 个 方 程 ， 说 明 此 类 问 题 实 际 计 算 时 可 以 转 化 求 解 ； 所 以 方 法 五 成 立 . 例 5.9 4 2234 15 )1()2(z dzzz z计 算 24 44 6 ( ) 2 ( 0, 3)( )kiz i e k 解 ： 内 有 个 极 点 ： 二 阶 ， 三 阶 5 20 4 3 2 2 1 12 Res( , ) 2 Res ( ) 012 Res 0 2(1 2 ) (1 )kki f z i f z zi iz z z ，发 现 在 |z|4有 五 个 孤 立 起 点 ， 故 可 以 将 问 题 转 化 为 求 无穷 远 点 的 留 数 2.推 广 的 留 数 定 理 1 NjD t1,2, ,j N 若 孤 立 起 点 在 边 界 上 时 ， 可 以 将 留 数 定 理 进 行 推 广 ：设 D是 由 复 合 闭 路 所 围 成 的 有 界 多 连 通 域 ， ， f(z)在 D内 解 析 ， 在 连 续 ， 在 有 关 于 D的 阶 极 点 （ ） ， 则0 1 nL L L L 1, , ,Nt t L jtjn 1,2, ,j N 1 Re ( , )N j jL jf s f t其 中 ， L取 关 于 D的 正 向 ， 是 处 关 于 域 D的 张 角 jtj 2.推 广 的 留 数 定 理定 理 5.3(路 见 可 定 理 ） 设 D是 由 复 合 闭 路 所围 成 的 有 界 多 连 通 域 ， ， 设 函 数 f(z)在 内 解 析 ,在 连 续 ， f(z)在 分 别 有 关 于 D的 阶 极 点 j=1,2,N)，则 0 1 nL L L L 1 1, , , , ,m Nz z D t t L 1 , , mD z z 1 1 , , ; , , m ND z z t t jt jn 1 11 Re ( , ) Re ( , )2 m Nk jL k jf s f z s f ti 其 中 为 处 关 于 D的 张 度 ， L取 关 于 D的 正 向 ， 积 分 在每 个 处 在 高 阶 奇 异 积 分 （ 重 极 点 时 ） 或 柯 西 主 值 （ 单 极 点时 ） 意 义 下 理 解 。2jj jtjt