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第 三 讲 函 数 的 极 限 教学要求 一 、 理 解 函 数 在 有 限 点 处 以 及 无 穷 大处 极 限 的 概 念 ， 了 解 函 数 在 有 限 点 处 及无 穷 大 处 的 精 确 定 义 ， 了 解 左 、 右 极 限的 定 义二 、 了 解 函 数 极 限 的 性 质 函数的极限一 、 函 数 极 限 的 概 念二 、 不 同 过 程 的 函 数 极 限 的 关 系三 、 函 数 极 限 的 性 质 函数的极限一 、 函 数 极 限 的 概 念二 、 不 同 过 程 的 函 数 极 限 的 关 系三 、 函 数 极 限 的 性 质 一、函数极限的概念（ 一 ） 自 变 量 的 不 同 变 化 过 程（ 二 ） 函 数 极 限 的 统 一 定 义（ 三 ） 各 过 程 的 函 数 极 限 定 义（ 四 ） 举 例 一、函数极限的概念（ 一 ） 自 变 量 的 不 同 变 化 过 程（ 二 ） 函 数 极 限 的 统 一 定 义（ 三 ） 各 过 程 的 函 数 极 限 定 义（ 四 ） 举 例 （一）自变量的不同变化过程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （一）自变量的不同变化过程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 1自变量恒取正值，递增地无限变大xu例xxf arctan)( 2当x 时，( )f x 2 xoy lim ( )x f x A （一）自变量的不同变化过程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （一）自变量的不同变化过程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 2自变量恒取负值， |x|递增地无限变大xu例：xxf arctan)( 2当x 时，( )f x 2 xoy lim ( )x f x A （一）自变量的不同变化过程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （一）自变量的不同变化过程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 xoy3自变量可取正值，也可取负值， |x|无限变大xu例：21 1)( xxf 当x 时，( )f x 0lim ( )x f x A （一）自变量的不同变化过程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （一）自变量的不同变化过程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 xoy 4x递增地无限接近常数x0，但恒不等于x0u例： 1,2 1,0 1,)( xx xxxxf 0 xx -1 1当x 1时，( )f x 1lim ( )x x f x A 0（左极限） （一）自变量的不同变化过程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （一）自变量的不同变化过程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 xoy 5x递减地无限接近常数x0，但恒不等于x0u例： 1,2 1,0 1,)( xx xxxxf 0 xx 1 1当x 1时，( )f x 1（右极限）lim ( )x x f x A 0 （一）自变量的不同变化过程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （一）自变量的不同变化过程x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 xoy 6|x-x0|无限变小，但恒不等于0u例：11)( 2 xxxf 0 xx 12当x 1时，( )f x 2lim ( )x x f x A 0 一、函数极限的概念（ 一 ） 自 变 量 的 不 同 变 化 过 程（ 二 ） 函 数 极 限 的 统 一 定 义（ 三 ） 各 过 程 的 函 数 极 限 定 义（ 四 ） 举 例 一、函数极限的概念（ 一 ） 自 变 量 的 不 同 变 化 过 程（ 二 ） 函 数 极 限 的 统 一 定 义（ 三 ） 各 过 程 的 函 数 极 限 定 义（ 四 ） 举 例 12 xoy1 1 xoyxoy-1 1 xoyx函数极限的统一定义如果存在常数A具有如下性质： 0 “一个时刻”使得“在该时刻以后”恒有( )f x A 2 xoy 2 xoyx xx x 0 x x 0 x x 0则称函数在该过程中极限存在，极限为A考虑自变量的某个变化过程， 一、函数极限的概念（ 一 ） 自 变 量 的 不 同 变 化 过 程（ 二 ） 函 数 极 限 的 统 一 定 义（ 三 ） 各 过 程 的 函 数 极 限 定 义（ 四 ） 举 例 一、函数极限的概念（ 一 ） 自 变 量 的 不 同 变 化 过 程（ 二 ） 函 数 极 限 的 统 一 定 义（ 三 ） 各 过 程 的 函 数 极 限 定 义（ 四 ） 举 例 函数极限的统一定义 0 “一个时刻”使得“在该时刻以后”恒有( )f x A ( )A f x A xoyA+A-A （三）各过程的函数极限定义x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （三）各过程的函数极限定义x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 1自变量恒取正值，递增地无限变大xu例xxf arctan)( 2当x 时，( )f x 2 xoy lim ( )x f x A 1自变量恒取正值，递增地无限变大xu例xxf arctan)( 2当x 时，( )f x 2 xoy lim ( )x f x A 0 “一个时刻”使得“在该时刻以后”恒有( )f x A 1自变量恒取正值，递增地无限变大xu例xxf arctan)( 2当x 时，( )f x 2 xoy X 0 “一个时刻”使得“在该时刻以后”恒有( )f x A X0当xX时lim ( )x f x A （三）各过程的函数极限定义x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （三）各过程的函数极限定义x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 2自变量恒取负值， |x|递增地无限变大xu例：xxf arctan)( 2当x 时，( )f x 2 xoy lim ( )x f x A 2自变量恒取负值， |x|递增地无限变大xu例：xxf arctan)( 2当x 时，( )f x 2 xoy lim ( )x f x A 0 “一个时刻”使得“在该时刻以后”恒有( )f x A 2自变量恒取负值， |x|递增地无限变大xu例：xxf arctan)( 2当x 时，( )f x 2 xoy lim ( )x f x A 0 “一个时刻”使得“在该时刻以后”恒有( )f x A -XX0当x0当|x|X时 （三）各过程的函数极限定义x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 （三）各过程的函数极限定义x x x 0 xx 0 xx 0 xx 123456 xoy 4x递增地无限接近常数x0，但恒不等于x0u例： 1,2 1,0 1,)( xx xxxxf 0 xx -1 1当x 1时，( )f x 1lim ( )x x f x A 0（左极限） xoy 4x递增地无限接近常数x0，但恒不等于x0u例： 1,2 1,0 1,)( xx xxxxf 0 xx -1 1当x 1时，( )f x 1lim ( )x x f x A 0（左极限） 0 “一个时刻”使得“在该时刻以后”恒有( )f x A xoy 4x递增地无限接近常数x0，但恒不等于x0u例： 1,2 1,0 1,)( xx xxxxf 0 xx -1 1当x 1时，( )f x 1lim ( )x x f x A 0（左极限） 0 “一个时刻”使得“在该时刻以后”恒有( )f x A 0 1-当x0-x0当x0 x0 1+1-当x0-x0，则在该过程中必存在“一个时刻”，使得在该“时刻以后”恒有：f (x)0.推论若函数 f (x)在某一过程中不小于零，且存在极限A，则A0. 函数的极限一 、 函 数 极 限 的 概 念二 、 不 同 过 程 的 函 数 极 限 的 关 系三 、 函 数 极 限 的 性 质
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