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4.1求 积 公 式 4.1.1 求 积 公 式 结 束对 定 义 在 区 间 a,b 上 的 定 积 分 ( ) ( ) ( )baI f f x dx F b F a 以 上 公 式 多 称 为 牛 顿 -莱 布 尼 兹 公 式 ， F(x)为 f(x)的 原 函 数 .但有 时 原 函 数 不 能 用 初 等 函 数 表 示 ， 有 时 原 函 数 又 十 分 复 杂 ， 难于 求 出 或 计 算 .如 被 积 函 数 为 : 2 sine ,x xx 等 函 数 的 积 分 都 无 法 解 决 ， 当 被 积 函 数 为 一 组 数 据 时 ， 更 是 无能 为 力 . 为 解 决 定 积 分 的 近 似 计 算 ,从 定 积 分 的 定 义 ：1( ) lim ( )b n k kn ka f x dx f x 有 1( ) ( ( .1) 4b n k kka f x dx A f x 这 样 就 避 开 了 求 原 函 数 的 运 算 .(4.1)式 就 叫 做 求 积 公 式 ，Ak(k=0,1,n)与 函 数 f(x)无 关 ， 叫 做 求 积 系 数 ,显 然 要 确 定 一 个 求积 公 式 ， 要 确 定 求 积 结 点 xk和 求 积 系 数 Ak， 或 者 说 不 同 的 求 积结 点 和 求 积 系 数 将 确 定 不 同 的 求 积 公 式 . 结 束 结 束 4.1.2 求 积 公 式 的 余 项 和 代 数 精 度一 般 情 况 下 ， (4.1)两 端 并 不 相 等 .我 们 称 :1 ( ) ( ) (4.2)b n k kkaR f f x dx A f x (4.2)为 求 积 公 式 (4.1) 的 余 项 ， 或 截 断 误 差 .为 考 查 一 个 求 积 公 式 的 误 差 ， 通 常 用 代 数 精 度 来 表 示 ， 如 果 一个 求 积 公 式 对 于 不 超 过 m次 的 多 项 式 都 能 够 精 确 成 立 (Rf0)，而 对 m+1次 以 上 的 多 项 式 不 能 精 确 成 立 ， 则 称 该 求 积 公 式 的 代数 精 度 为 m. 结 束 例 如 求 积 公 式 ：验 证 当 f(x)=xm， m=0,1,2,3,4 时 ， 是 否 有 Rxm=0 )1()0()1()( 31343111 fRfffdxxf 1112,1)( 313431 右 边左 边xf 10)1(0,)( 3134312 )1(1 22 右 边左 边xxf 3313343314 )1(13 10)1(0,)( 44 右 边左 边xxf 32431434431525 )1(14 10)1(,)( 55 右 边左 边xxf 231234231323 )1(12 10)1(,)( 33 右 边左 边xxf 所 以 以 上 求 积 公 式 的 代 数 精 度 为 3. 任 何 一 个 求 积 公 式 的 代 数 精 度 至 少 为 零 即 取 f(x)=1时 公 式应 精 确 成 立 ， 这 是 求 积 系 数 应 满 足 的 起 码 条 件 ， 可 以 用 它 检验 一 个 求 积 公 式 的 系 数 的 正 确 性 . 4.1.3 矩 形 求 积 公 式f(x)= f(a)+ f ()(x-a)， 在 x,a之 间 ,两 端 积 分 ：把 f(x)在 a处 作 Taylor 展 开 : ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )( )b b ba a abaf x d x f a d x f x a d xf a b a f x a d x 结 束 结 束 注 意 到 右 端 第 二 项 积 分 ， 设 f (x)在 a,b 上 连 续 ， 而 x-a在 a,b 上 不 变 号 (非 负 )， 据 积 分 中 值 定 理 有 ： 2( )( )( ) ( ) ( ) ( )2b ba a b af x a dx f x a dx f 于 是 有 左 矩 形 公 式 ： 2( )( ) ( )( ) ( ) (4 .3)2ba b af x dx f a b a f 同 理 , f(x)在 b点 展 开 ,可 得 右 矩 形 公 式 : 结 束 2( )( ) ( )( ) ( ) ( 4 .4 )2ba b af x d x f b b a f 3( )( ) ( ) ( ) (4.5)2 24ba a b b af x dx f b a f f(x)在 中 点 (a+b)/2展 开 ,可 得 中 矩 形 公 式 :不 难 验 证 ， (4.3)和 (4.4)具 有 零 次 代 数 精 度 ， (4.5)具 有 一 次 代数 精 度 . 结 束 4.1.4 内 插 求 积 公 式 )()()( xRxPxf nn 由 插 值 可 知 ， 对 任 一 函 数 f(x)(包 括 表 格 形 式 的 函 数 )可 用 一 n次 多项 式 对 其 插 值 ， 即 ba ba nnba dxxRdxxPdxxf )()()(因 此当 Pn (x)为 拉 格 朗 日 插 值 多 项 式 时 ， 即 nk kkn xfxlxP 0 )()()( ( 1)00 0 ( )( ) ( ) ( ) ( )( 1)!( ) ( ) ( ) (4.6)b b b nn k kka a abn nk k n k k nk ka ff x dx l x f x dx x dxnl x dx f x R f A f x R f 则 结 束0 1 10 1 1( 1) ( ) ( )( ) ( )( ) (4.7)( ) ( )( ) ( )( ) ( ) (4.8)( 1)!b b k k nk k k k k k k k na ab nn a x x x x x x x xA l x dx dxx x x x x x x xfR f x dxn 其 中 : 0 ( ) ( ) (4.6)b n k k nka f x dx A f x R f 通 常 将 公 式 (4.6)叫 做 内 插 求 积 公 式 . 4.2 牛 顿 -柯 特 斯 公 式为 便 于 上 机 计 算 ， 通 常 在 内 插 求 积 公 式 中 取 等 距 节 点 ， 即 将积 分 区 间 a,bn等 分 ， 即 令 h=(b-a)/n， 且 记 x0=a,xn=b， 则 节 点为 xk=x0+kh(k=0,1,n)， 作 变 换 :t=(x-x0)/h， 代 入 求 积 系 数 公式 ： 结 束0 1 10 1 10 0 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( 1) ( 1)( 1) ( )( 1) ( )! !( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( ) (4.9)( )! !b b k k nk k k k k k k k na an n n k nnn k x x x x x x x xA l x dx dxx x x x x x x xh t t t k t k t n hdth n k kh t t t k t k t n dtn k k 这 种 由 等 距 节 点 的 内 插 求 积 公 式 通 常 叫 做 牛 顿 -柯 特 斯 公 式 ,下面 介 绍 几 个 常 用 的 公 式 :取 a=x0,b=x1,(即 n=1)， 代 入 (4.9)式 得 11 1 20 0 0( 1) 1( -1 )d ( 1) .1! 2 2h b aA t t t h 4.2.1 梯 形 公 式所 以 梯 形 公 式 为 10 1 21 0 0( 1) 1d .0 ! 2 2h b aA t t t h ( ) ( ) ( ) (4.10)2b a b - af x dx f a f b 结 束 结 束 这 是 用 梯 形 面 积 近 似 代 替 曲 边 梯 形 的 面 积 ， 对 梯 形 公 式 的 误 差估 计 有 如 下 定 理 ：定 理 4.1 设 f(x)为 二 阶 连 续 可 微 函 数 ， 则 梯 形 求 积 公 式 的余 项 为 (证 明 ) 3 1 ( )R ( ) ( ) ( ) ( )2 12ba b a b af x dx f a f b f a,b 21R ( ) (4.11)12b ah f a,b 即其 中 h=b-a， 记 成 上 面 形 式 是 为 以 后 复 化 求 积 公 式 余 项 的 一 致性 .由 余 项 公 式 立 刻 可 以 看 出 梯 形 公 式 的 代 数 精 度 为 1. 结 束 例 1 利 用 梯 形 公 式 计 算 dxxI 10 21 4解 : .3)24(2111 401 42 01 22 I4.2.2 抛 物 形 （ 辛 卜 生 ） 公 式取 a=x0,(a+b)/2=x1,b=x2,(即 n=2)， 代 入 (4.9)式 得 2 20 0( 1) 2( -1)( -2) .2! 2 3 3h h hA t t dt 结 束所 以 抛 物 形 公 式 为( ) ( ) 4 ( ) (4.12)3 2ba h a bf x dx f a f f b 21 0( 1) 4 4( -2) .1! 3 3h hA t t dt h 22 0 2( -1) .2! 2 3 3h h hA t t dt 其 中 h=(b-a)/2,上 式 也 可 写 成 : ( ) ( ) 4 ( ) (4.13)6 2ba b a a bf x dx f a f f b 结 束 抛 物 形 公 式 通 常 也 称 为 辛 普 生 公 式 ， 抛 物 形 公 式 是 用 抛 物 线 围成 的 曲 边 梯 形 近 似 代 替 f(x)围 成 的 曲 边 梯 形 .定 理 4.2 设 f(x) C4a,b， 则 辛 普 生 公 式 的 误 差 估 计 为 : 4 (4)2R ( )180b af h f a,b 直 接 可 以 验 证 抛 物 形 公 式 代 数 精 度 为 3(对 f(x)为 三 次 以 下 多项 式 精 确 成 立 ).例 2 利 用 抛 物 形 公 式 计 算 dxxI 10 21 4解 : 1333.3)24(61)1()5.0(4)0(3 564 fffhI 结 束 (4.9)式 给 出4.2.3 牛 顿 -柯 特 斯 公 式 0 ( )0( 1) ( 1) ( )( )! !( )( 1) ( 1) ( ) ( ) (4.14)( )! ! nn kk nn k nkh t t t nA dtn k k t kb a t t t n dt b a Cn n k k t k 其 中 : ( ) 01 ( 1) ( 1) ( ) (4.15)( )! ! nn knk k t t t nC A dtb a n n k k t k 可 以 看 出 ， C(n)k不 依 赖 函 数 f(x)和 积 分 区 间 a,b， 可 以 事 先 计 算出 来 ， 通 常 叫 做 牛 顿 -柯 特 斯 系 数 ， 下 面 给 出 n从 1 6的 牛 顿 -柯 特 斯 系 数 表 4-1： 结 束n1 1/2 1/22 1/6 4/6 1/63 1/8 3/8 3/8 1/84 7/90 32/90 12/90 32/90 7/905 19/288 75/288 50/288 50/288 75/288 19/2886 41/840 216/840 27/840 272/840 27/840 216/840 41/840 ( )nkC表 4-1 结 束 对 牛 顿 -柯 特 斯 公 式 ， 当 f(x) C n a,b ， f (n+1)(x)在 a,b上存 在 时 ， 求 积 公 式 的 余 项 为 : (n 1)nR ( ) ( 1)!ba f f x dx a,bn 对 f(x)为 任 何 不 超 过 n次 的 多 项 式 ， 均 有 f (n+1)(x) 0， 因 而Rnf0， 也 就 是 说 ， 牛 顿 -柯 特 斯 公 式 的 代 数 精 度 至 少 为 n.我 们 可 以 证 明 当 n为 偶 数 时 ， 牛 顿 -柯 特 斯 公 式 的 代 数 精 度 可达 到 n+1.证 明 : 令 n=2k,设 101 )( nk kkn xaxq为 任 一 n+1次 多 项 式 ， 其 最 高 次 系 数 为 an+1， 则 它 的 n+1阶 导 数 为1( 1) 1( ) ( 1) !n n nq x a n 结 束 ( 1)11 1 0 12 21 0R ( ) ( ) ( )( ) ( )( 1)!( 1)( 2) ( )nb bnn n na ak nn q q x x dx a x x x x x x dxna h t t t t n dt 下 面 我 们 证 明作 变 换 u=t-k， 则 20 ( 1)( 2) ( ) 0k t t t t n dt 20 ( 1) ( 1)( )( 1) ( 2 1)( 2 )( )( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( )k kkt t t k t k t k t k t k dtu k u k u u u u k u k du ( ) ( )( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( )u u k u k u u u u k u k 记 结 束 容 易 验 证 (u)为 奇 函 数 ， 即 (-u)= -(u),而 奇 函 数 在 对 称 区间 上 的 积 分 为 零 ， 所 以 1 ( ) 0n nR q x 也 就 是 说 ， 当 n为 偶 数 时 ， 牛 顿 -柯 特 斯 公 式 对 不 超 过 n+1次 的多 项 式 均 能 精 确 成 立 ， 因 此 ， 其 代 数 精 度 可 达 到 n+1.正 是 基于 这 种 考 虑 ， 当 n=2k与 n=2k+1时 具 有 相 同 的 代 数 精 度 ， 因 而在 实 用 中 常 采 用 n为 偶 数 的 牛 顿 -柯 特 斯 公 式 ， 如 抛 物 形 公 式(n=2)等 . 4.3 复 化 求 积 公 式 从 求 积 公 式 的 余 项 的 讨 论 中 我 们 看 到 ， 被 积 函 数 所 用 的 插值 多 项 式 次 数 越 高 ， 对 函 数 光 滑 性 的 要 求 也 越 高 .另 一 方 面 ，插 值 节 点 的 增 多 (n的 增 大 )， 在 使 用 牛 顿 -柯 特 斯 公 式 时 将 导致 求 积 系 数 出 现 负 数 (当 n 8时 ,牛 顿 .柯 特 斯 求 积 系 数 会 出 现负 数 ) 因 而 在 实 际 应 用 中 往 往 采 用 将 积 分 区 间 划 分 成 若 干 个小 区 间 ， 在 各 小 区 间 上 采 用 低 次 的 求 积 公 式 (梯 形 公 式 或 抛 物形 公 式 )， 然 后 再 利 用 积 分 的 可 加 性 ， 把 各 区 间 上 的 积 分 加 起来 ， 便 得 到 新 的 求 积 公 式 ， 这 就 是 复 化 求 积 公 式 的 基 本 思 想 .为 叙 述 方 便 ， 我 们 仅 讨 论 各 小 区 间 均 采 用 同 一 低 次 的 求 积 公 式的 复 化 求 积 公 式 对 各 小 区 间 也 可 分 别 采 用 不 同 的 求 积 公 式 ，也 可 推 出 新 的 求 积 公 式 ， 读 者 可 按 实 际 问 题 的 具 体 情 况 讨 论 结 束 4.3.1. 复 化 梯 形 公 式用 n+1个 分 点 将 区 间 a， bn等 分 。 每 个 区 间 长 n,kkhax,nn abh k ,210,1 个 分 点 110( ) ( )kknb xa xkf x dx f x dx 则 在 xk， xk+1上 用 梯 形 公 式 ， 则 1 11 1k 0 0 1 11 0( ) ( ) ( ) 2( ) ( ) 2 ( ) (4.18)2 n nb k k k k ka kn nk kk kx xf x dx f x f x R fh f a f b f x R f 结 束 Tn叫 做 复 化 梯 形 求 积 公 式 ， 下 标 n表 示 将 积 分 区 间 等 分 的 份 数 .从 公 式 的 特 点 可 以 看 出 ， 内 节 点 xk(k=1,2,n-1)作 为 小 区 间 的 端点 参 与 前 、 后 两 个 小 区 间 的 计 算 ， 因 而 系 数 为 2， 端 点 a与 b只 参与 一 次 计 算 ， 系 数 为 1.如 果 在 Tn的 基 础 上 ， 将 各 小 区 间 对 分 ， 这 时 节 点 数 为 2n+1， 分段 数 为 2n.记 新 的 分 点 的 函 数 值 的 和 为 n， 则 T2n 应 为 原 内 节 点与 新 增 节 点 函 数 值 的 和 的 两 倍 ， 加 上 两 端 点 a,b的 函 数 值 之 和 再乘 上 新 区 间 长 度 的 一 半 ， 即 11( ) ( ) 2 ( ) (4.19)2 nn kkhT f a f b f x 记 结 束 12 2 2 11 11 2 2 11 1( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )21 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( )2 21 ( ) ( 4 .2 0 )2 n nn i ii in ni ii in nhT f a f b f x f xh f a f b f x f xT h 2 1 (4.21)2n n nT T h 或 写 为 为对分新区间的长度.,2hh 这 里从 这 一 公 式 可 以 看 出 ， 将 区 间 对 分 后 ， 原 复 化 梯 形 公 式 的 值 Tn作 为 一 个 整 体 保 留 .只 需 计 算 出 新 分 点 的 函 数 值 ， 便 可 得 出 对 分后 的 积 分 值 ， 不 需 重 复 计 算 原 节 点 的 函 数 值 ， 从 而 减 少 了 计 算量 . 结 束 定 理 4.3 设 f (x) C2a,b， 复 化 梯 形 公 式 的 截 断 误 差 2R 12n b aT h f a,b 这 一 复 化 梯 形 求 积 公 式 的 余 项 在 形 式 上 与 (4.13)式 相 同 ， 不 同的 是 ， 这 里 的 h=(b-a)/n， 而 (4.13)式 中 的 h=b-a.利 用 复 化 求 积 公 式 的 余 项 ， 我 们 可 以 估 计 出 在 满 足 精 度 的 要求 下 ， 应 将 积 分 区 间 等 分 多 少 份 ， 即 n取 多 少 .这 种 误 差 估 计方 法 称 为 事 前 误 差 估 计 .如 例 4.3 例 3 利 用 复 化 梯 形 公 式 计 算 使 其 误 差 限 为 10 -4， 应 将 区 间 0,1 几 等 分 ?10 s i n xI d xx 结 束 解 : 因 为 被 积 函 数 10sin( ) cosxf x txdtx 1 1( ) 0 0d( ) cos cosd 2kk kk kf x tx dt t tx dtx 1 1( ) 0 0 1( ) cos .2 1k k kkf x t tx dt t dt k 2 2 2 41 0 1 1 1 ( ) 10 .12 12 2 1 36nR T h f h h 2 21 16 10 , 10 .6h n h 取 n=17可 满 足 要 求 . 结 束 另 一 方 法 是 利 用 公 式 前 后 两 次 计 算 结 果 的 差 来 估 计 误 差 的 ，即 用 T2n -Tn ,这 是 因 为 2( ) 12b na b af x dx T h f 22( ) 12 2b na b a hf x dx T f 22 112 4n n b aT T h f f 当 f (x)在 a,b上 连 续 ， 并 且 假 定 当 n充 分 大 时 有 f()f()， 则 22 2 2312 23 ( ) 3 .n nb n na b a hT T ff x dx T R T 结 束 nnn TTTR 22 31即这 种 误 差 估 计 方 法 通 常 叫 做 事 后 误 差 估 计 ， 在 计 算 机 上 用 来控 制 计 算 精 度 常 用 这 一 方 法 ， 有 的 也 把 这 种 方 法 叫 做 步 长 的自 动 选 取 或 逐 次 对 分 的 方 法 .因 此 当 T2n-Tn 时 ， 可 认 为 2 1 3nR T 结 束 4.3.2 复 化 抛 物 形 公 式 将 积 分 区 间 a,b 分 为 2m 等 分 ， n=2m， 节 点 为 xk=a+kh(k=0,1,2,2m)， h=(b-a)/2m.在 每 两 个 小 区 间 x2k,x2k+2(k=0,1,2,m-1)上 用 抛 物 形 公 式 ， 则 有 : 2 22101 12 2 1 2 20 01 1 12 2 11 0 0( ) ( )( ) 4 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) 3 k kxb mka xm mk k k kk km m mk k kk k kf x dx f x dxh f x f x f x R fh f a f b f x f x R f 1 12 2 2 11 0( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) (4.25)3 m mm k kk khS f a f b f x f x 结 束 S2m叫 做 复 化 抛 物 形 求 积 公 式 ， 下 标 2m表 示 积 分 区 间 等 分 的 份数 ， 2m强 调 为 偶 数 份 .公 式 的 特 点 为 节 点 x2k,(k=1,2,m-1)作 为 小 区 间 x2k, x2k+2的 端点 ， 参 与 前 后 两 次 的 辛 普 生 公 式 的 计 算 ， 因 而 系 数 为 2， 而 奇数 节 点 x2k+1,(k=0,1,m-1)因 辛 普 生 公 式 中 间 点 的 求 积 系 数 为 4而 保 留 4， 前 面 的 h/3为 辛 普 生 公 式 的 公 共 求 积 系 数 .定 理 4.4 设 函 数 f(x) C4a,b， 则 4 ( 4 )2mR (4.26)180b aS h f 结 束 例 4 利 用 复 化 抛 物 形 公 式 计 算 使 其 误 差 限 为 10-4， 应 将 区 间 0,1 几 等 分 ?解 :利 用 例 3的 结 果 .11)()( kxf k 4 ( 4 )2 4 4 41 0 ( )1801 1 1 10180 .4 1 900mR S h fh h 130 10 , 1 0 102 1.83.30h n m h 因 此 只 需 将 区 间 0,1 二 等 分 ， 即 取 m=1(n=2). 结 束 前 面 用 复 化 梯 形 公 式 计 算 此 题 ， 满 足 相 同 的 精 度 需 要 将 区 间 0,1 17等 分 ， 可 见 复 化 抛 物 形 公 式 的 精 度 的 确 比 复 化 梯 形公 式 精 度 高 同 样 也 可 用 S4m-S2m 来 控 制 计 算 的 精 度 . 4.4 龙 贝 格 (Romberg)求 积 公 式4.4.1 复 化 梯 形 公 式 的 逐 次 分 半 公 式我 们 已 知 的 T 2n与 Tn的 关 系 结 束 2 12n nT T h 于 是 可 以 逐 次 对 分 形 成 一 个 序 列 T1,T2,T4,T8,此 序 列 收 敛于 积 分 真 值 I.当 |T2n-Tn|时 ,取 T2n为 I的 近 似 值 .以 上 算 法 称为 复 化 梯 形 公 式 的 逐 次 分 半 公 式 . 但 由 于 此 序 列 收 敛 太 慢 ,因此 并 不 实 用 .现 我 们 试 图 将 它 改 造 成 为 收 敛 快 的 序 列 . 212n b aI T h f 2 22 12 2 12 4n b a h b a hI T f f 如 认 为 ff 则 有 42 nnTI TI 结 束 于 是 有 : 144 2 nn TTI记 24 (4.27)4 1n nn T TS 这 样 我 们 从 收 敛 较 慢 的 Tn序 列 推 出 了 收 敛 较 快 的 Sn序 列 . 可以 证 明 Sn序 列 实 际 上 就 是 逐 次 分 半 的 复 化 抛 物 形 公 式 序 列 .如 认 为 )4()4( ff 则 有 162 nnSI SI于 是 有 : 21616 1n nS SI 记 216 (4.28)16 1n nn S SC 这 样 我 们 从 Sn序 列 又 推 出 了 收 敛 更 快 的 Cn序 列 . 可 以 证 明Cn序 列 实 际 上 就 是 逐 次 分 半 的 复 化 柯 特 斯 公 式 序 列 . 结 束 如 认 为 )6()6( ff 则 有 642 nnCI CI于 是 有 : 264 64 1n nC CI 记 264 (4.29)64 1n nn C CR 这 样 我 们 从 Cn序 列 又 推 出 了 收 敛 更 快 的 Rn序 列 . Rn序列 也 称 为 龙 贝 格 序 列 .这 样 我 们 从 收 敛 较 慢 的 Tn序 列 只 用 了 一些 四 则 运 算 ,便 推 出 了 收 敛 更 快 的 S n序 列 , Cn序 列 和 Rn序 列 . 这 个 过 程 还 可 继 续 下 去 ,但 已 意 义 不 大 .我 们 常 将 这 四 个 序 列 排 成如 下 的 三 角 形 数 表 (表 4-2) 结 束 T1T2 S1T4 S2 C1T8 S4 C2 R1T16 S8 C4 R2 表 4-2该 表 四 个 序 列 都 是 收 敛 的 . 结 束 例 5 利 用 龙 贝 格 方 法 计 算解 :计 算 结 果 列 如 下 表 : 1 20 41I d xx i 2i T序 列 S序 列 C序 列 R序 列0 1 3.000001 2 3.10000 3.133332 4 3.13118 3.14157 3.142123 8 3.13899 3.14159 3.14159 3.141594 16 3.14094 3.14159 3.14159 3.14159这 一 结 果 与 I=相 比 较 已 有 较 好 的 精 度 . 结 束 4.5 高 斯 型 求 积 公 式由 前 面 的 讨 论 已 经 知 道 ， 以 a=x0 x1xn=b为 节 点 的 N-C求 积公 式 的 代 数 精 度 一 般 为 n或 n+1,这 时 节 点 简 单 地 按 照 闭 式 等 距 的方 式 确 定 。 对 一 个 求 积 公 式 而 言 ， 如 果 不 固 定 节 点 的 位 置 ， 在 节点 数 目 不 变 的 情 况 下 ， 代 数 精 度 能 否 提 高 ， 最 多 能 达 到 多 少 ?高斯 型 求 积 公 式 讨 论 的 就 是 最 高 代 数 精 度 的 求 积 公 式 .先 看 一 个 简单 的 例 子 ， 考 虑 两 个 节 点 的 求 积 公 式 .4.5.1 最 高 代 数 精 度 的 求 积 公 式 1 0 0 1 11 ( ) ( ) ( ) (4 .3 5)f x dx A f x A f x 结 束 这 里 积 分 区 间 选 为 -1,1 不 失 一 般 性 ， 因 为 对 区 间 a,b， 总 可用 变 量 替 换 2 2a b b ax t 将 化 为 -1,1上 的 积 分 .从 而 用 （ 4.35） 式 得 到 解 决 。 现 在 不 固 定 节 点 x0,x1的 位 置 为 区 间 端 点 -1,1， 而 允 许 取 在 (-1,1) 内 ， 即 选 取 x0 , x1及 A0， A1， 使 (4.35)具 有 最 高 的 代 数 精 度 . 为 此 ， 分 别 取 代 入 (4.35)式 ， 得 方 程 组 ( ) , ( 0,1, 2, 3) mf x x m 结 束 0 10 0 1 12 2 20 0 1 1 33 30 0 1 1 20 ( 4 . 3 6 )0A AA x A xA x A xA x A x 取 前 四 个 方 程 构 成 此 方 程 组 是 因 为 只 有 4个 待 定 数 x0,x1， A0, A1， 即 代 数 精 度 m=3.方 程 组 (4.36)有 一 组 解 为 0 1 0 13 3, , 1 .3 3x x A A 即 求 积 公 式 11 3 3( ) (4 .3 7 )3 3f x dx f f 具 有 的 代 数 精 度 为 3 结 束 从 上 面 这 一 简 单 的 例 子 可 以 看 到 ， 节 点 数 目 不 变 的 情 况 下 ， 求积 公 式 的 代 数 精 度 是 可 以 提 高 的 .下 面 就 对 一 般 问 题 进 行 讨 论 ，即 当 节 点 数 目 为 n+1时 ， 求 积 公 式 的 代 数 精 度 最 高 能 达 多 少 ，怎 样 才 能 达 到 这 一 最 高 的 代 数 精 度 . 设 节 点 为 x0,x1,xn， 求 积 公 式 为 ： 0( ) ( ) (4 .3 8)b n k kka f x dx A f x 共 2n+2未 知 参 数 ,可 列 2n+2个 方 程 ,由 此 可 以 推 设 在 n+1个 节 点上 的 求 积 公 式 ， 其 代 数 精 度 最 多 为 2n+1， 即 (4.38)的 代 数 精 度可 以 达 到 2n+1.通 常 确 定 节 点 xk与 求 积 系 数 Ak不 是 通 过 解 非 线 性方 程 组 ， 而 是 利 用 正 交 多 项 式 的 性 质 来 求 得 的 .下 面 讨 论 更 一 般情 况 的 高 斯 型 求 积 公 式 结 束 0( ) ( ) ( ) (4 .4 0 )b n k kka x f x dx A f x 其 中 (x) 0为 权 函 数 ， 为 使 此 公 式 对 f(x)为 不 超 过 2n+1次的 多 项 式 时 能 精 确 成 立 ， 记 :0 1( ) ( )( ) ( )nx x x x x x x 用 (x)去 除 f(x)， 则 可 表 示 成( ) ( ) ( ) ( ) (4 .4 1)f x q x x r x 其 中 ， q(x)为 商 ， r(x)为 余 ， q(x),r(x)均 为 不 超 过 n次 的多 项 式 ， 于 是 有 结 束 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4.42)b b ba a ax f x dx x q x x dx x r x dx 如 果 对 任 何 不 超 过 n次 的 多 项 式 q(x)都 有( ) ( ) ( ) 0 (4 .4 3)ba x q x x dx 又 因 为 0( ) ( ) ( )b n k kka x r x dx A r x 则0 0( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (4.44)b ba an nk k k kk kx f x dx x r x dxA r x A f x 结 束 即 求 积 公 式 (4.40)对 不 超 过 2n+1次 的 多 项 式 能 精 确 成 立 ,而满 足 条 件 (4.43)只 需 q(x)与 (x)为 区 间 a,b 上 关 于 权 函数 (x)正 交 ， 若 取 节 点 xk(k=0,1,2,n)恰 为 此 正 交 多 项 式系 中 n+1次 多 项 式 的 n+1个 零 点 ， 而 由 正 交 多 项 式 的 性 质 可 知这 些 根 均 为 实 根 ， 无 重 根 ， 且 全 部 分 布 在 (a,b)内 这 样 ， 对于 给 定 的 权 函 数 总 能 构 造 出 关 于 此 权 函 数 在 a,b 区 间 上 的正 交 多 项 式 系 Pk(x) ， 然 后 取 其 第 n+1次 多 项 式 的 n+1个 零点 作 为 高 斯 型 求 积 公 式 的 节 点 .节 点 确 定 之 后 ， 再 按 下 面 的 公式 计 算 高 斯 型 积 分 公 式 的 求 积 系 数 : ( ) ( ) (4 .4 5)bk kaA x l x dx 结 束 这 里 ,l k(x)就 是 拉 格 朗 日 插 值 基 函 数 .对 高 斯 型 求 积 公 式 的 截 断 误 差 有 如 下 结 果 定 理 4.5 设 f(x) C2n+2a,b， 则 高 斯 型 求 积 公 式 的 截 断 误 差 为( 2 2 ) 2( ) , ( ) ( ) (4 .4 7 )(2 2 ) ! bnn afR f G x x dxn 还 可 进 一 步 证 明 ： 只 要 函 数 f(x)在 a,b 上 连 续 ， 则 当 n 时， 高 斯 型 求 积 公 式 将 收 敛 于 积 分 值 .高 斯 型 求 积 公 式 的 优 点 是 代数 精 度 高 ， 但 是 节 点 和 求 积 系 数 的 计 算 比 较 麻 烦 .为 使 用 方 便 ，将 某 些 常 见 的 正 交 多 项 式 系 的 节 点 与 求 积 系 数 事 先 算 出 列 成 数 表， 这 样 在 选 定 节 点 数 目 时 ， 便 可 根 据 不 同 的 权 函 数 直 接 查 表 求 得求 积 公 式 的 节 点 及 求 积 系 数 ， 而 不 必 每 次 都 用 正 交 条 件 去 求 节 点和 相 应 的 求 积 系 数 . 结 束 高 斯 型 求 积 公 式 在 计 算 含 e-x， e-x2等 因 子 的 广 义 积 分 时 十 分 有 用这 是 其 它 方 法 不 可 比 拟 的4.5.2 几 个 常 用 的 高 斯 型 求 积 公 式下 面 我 们 给 出 几 种 常 用 的 高 斯 型 求 积 公 式 的 节 点 与 相 应 的 系 数 表1.高 斯 -勒 让 德 (Gauss-Legendre)求 积 公 式 高 斯 -勒 让 德 求 积 公 式 是 古 典 的 高 斯 求 积 公 式 ， 通 常 就 叫 做 高 斯求 积 公 式 .它 以 -1,1上 关 于 权 函 数 (x) 1的 勒 让 德 多 项 式 21( ) ( 1) 2 ! k kk k kdP x xk dx 为 正 交 多 项 式 系 Pk(x) ,(其 中 P0(x)=1) 结 束 表 4-4给 出 了 Gauss-Legendre 求 积 公 式 在 n=2 8时 的 节 点 与对 应 的 系 数 .例 6 利 用 两 点 Gauss-Legendre 求 积 公 式 计 算 dxx xI 10 sin解 :因 为 为 偶 函 数1 1 0 1sin 1 sin21 sin( 0.5773503) sin(0.5773503)1 12 0.5773503 0.57735030.945363.x xI dx dxx x 高 斯 求 积 公 式 的 截 断 误 差 为x xsin 结 束 2 3 ( 2 2 )22 , ( ) 1 1 (4.48)(2 3)(2 2)!n nnR f P fn n 2.高 斯 -拉 盖 尔 (G auss-Laguerre)求 积 公 式 该 公 式 以 0,+)区 间 上 ， 关 于 权 函 数 (x)=e-x的 拉 盖 尔 多 项式 ( ) e (e ) kx x kk kdL x xdx 为 正 交 多 项 式 系 Lk(x) (其 中 L0(x)=1)， 求 积 节 点 xk和 系 数 Ak由 表 4-5. 结 束 使 用 不 同 的 n值 ， 下 列 对 n=2,3,4,5的 计 算 结 果 列 于 下 表例 7 利 用 Gauss-Lagurerre 求 积 公 式 计 算dxxeI x 0 sinn 2 3 4 5I 0.432459 0.496030 0.504879 0.498093Gauss-Lagurerre 求 积 公 式 截 断 误 差 为 ： 2 ( 2 2 )( 1)! , ( ) 1 1 (4.50)(2 2)! nn nR f L fn (I的 精 确 值 为 0.5) 结 束 3.高 斯 -埃 尔 米 特 (G auss-H ermite)求 积 公 式 该 公 式 以 (-,+)上 关 于 权 函 数 (x)=e-x2的 埃 尔 米 特 多 项 式2 2( ) ( 1) e (e )kk x xk kdH x dx 为 正 交 多 项 式 系 Hk(x) (其 中 H0(x)=1)， 求 积 节 点 xk和 系 数Ak由 表 4-7.高 斯 埃 尔 米 特 求 积 公 式 截 断 误 差 为 ： ( 2 2 )1( 1)! , ( ) 1 1 (4.52)2 (2 2)! nn nnR f H fn 结 束 使 用 不 同 的 n 值 ， 下 列 对 n=2,3,4,5的 计 算 结 果 列 于 下 表例 8 利 用 G auss-H ermite 求 积 公 式 计 算dxxeI x 2sin2n 2 4 6 8I 0.748026 0.565510 0.560255 0.560202I 0.560 202 28 结 束 本 章 介 绍 的 几 种 求 积 方 法 各 具 特 点 ：(1)梯 形 和 抛 物 形 求 积 公 式 是 低 精 度 的 方 法 ， 但 对 于 光 滑 性 较 差 的 被 积 函 数 有 时 效 果 比 用 高 精 度 的 方 法 还 好 ， 再 加 上 公 式 简 单 ， 因 而 使 用 非 常 广 泛 .特 别 在 计 算 机 上 ， 复 化 的 梯 形 公 式 和 抛 物 形 公 式 便 于 采 用 逐 次 对 分 的 方 法 ， 计 算 程 序 十 分 简 单 .(2)龙 贝 格 求 积 方 法 ， 其 算 法 简 单 ， 程 序 也 便 于 实 现 ， 且 当 节 点 加 密 时 ， 前 面 的 计 算 结 果 直 接 参 与 后 面 的 计 算 ， 因 而 大 大 减 少 了 计 算 量 . 此 方 法 的 一 个 最 大 缺 点 是 节 点 的 增 加 是 成 倍 的 . 结 束 (3)高 斯 型 求 积 公 式 ， 该 方 法 是 最 高 代 数 精 度 的 求 积 方 法 ， 但 它 的 节 点 和 求 积 系 数 都 没 有 规 则 ， 当 节 点 增 加 时 ， 前 面 的 计 算 结 果 不 能 被 利 用 ， 只 能 重 新 计 算 .因 此 上 机 计 算 时 ， 需 要 事 先 输 入 节 点 数 和 各 种 高 斯 型 求 积 公 式 的 节 点 与 系 数 表 .它 的 最 大 优 点 是 适 用 于 某 些 无 穷 区 间 上 的 广 义 积 分 的 计 算 . 结 束