《质点运动学》PPT课件.pptx

力 学 对 象 ： 质 点 、 刚 体 、 固 体 （ 弹 性 、 振 动 、 波 ） 方 法 ： 矢 量 运 算 、 微 积 分 等 1 2 第 一 章质 点 运 动 学 3 一 、 参 照 系 与 坐 标 系 运 动 是 绝 对 的 ， 静 止 是 相 对 的描 述 一 个 物 体 的 运 动 ， 必 须 指 明 是 以 哪 一 个 物 体 为参 考 系 ， 这 个 被 选 作 参 考 的 物 体 就 叫 做 参 考 系 。运 动 的 描 述 具 有 相 对 性 选 不 同 的 参 照 系 ， 对 物体 所 作 的 运 动 描 述 也 不 同 。原 则 上 参 照 系 的 选 择 是 任 意 的 ， 一 般 以 便 于 描 述 所研 究 的 对 象 为 前 提 。 1. 基 本 概 念 4 为 了 定 量 描 述 任 一 时 刻 物 体 的 准 确 位 置 ， 需 要 建 立 一 个坐 标 系 。 坐 标 系 是 固 定 在 参 照 系 上 的 。 坐 标 系 的 种 类 很 多 ： 直 角 坐 标 、 极 坐 标 、 球 坐 标 、柱 坐 标 、 自 然 坐 标 系 。 以 描 述 之 便 为 前 提 。 坐 标 系 可 看 做 是 参 照 系 的 数 学 抽 象 。 指 明 了 坐 标 系也 就 确 定 了 参 照 系 。 5 二 、 质 点p 实 际 物 体 ： 具 有 大 小 、 形 状 ， 其 运 动 可 能 有 移 动 、 转 动 、 形 变 。物 体 上 各 点 的 运 动 情 况 可 能 是 不 同 的 ， 非 常 复 杂 （ 如 火 车 运 动 ） 。 为 了 使 描 述 简 化 ， 分 清 主 次 ， 引 入 “ 质 点 模 型 ” 。 质 点 ： 没 有 大 小 、 没 有 形 状 ， 具 有 物 体 的 全 部 质 量 ， 是 一 个 理想 模 型 。 条 件 （ 满 足 其 中 一 条 ） : 物 体 本 身 的 几 何 线 度 比 所 研 究 问 题 中 的 线 度 小 得 多 。 物 体 只 有 平 移 运 动 平 动 。 实 际 问 题 中 ， 先 看 做 质 点 ， 然 后 再 考 虑 形 状 、 大 小 ， 对 结 论进 行 修 正 。 6 三 、 位 置 矢 量 质 点 在 空 间 的 位 置 可 以 用 一 个 矢 量 表 示 。 由 固 定 在 参 考 系 上 的 坐 标 原 点 引 向 质 点 所 在 的 位置 位 置 矢 量 ， 简 称 位 矢 。 用 表 示 。 r 0 x z y P(x,y,z) 轨 迹 r质 点 在 运 动 过 程 中 ， 是 随 时 间 t 变 化 的 ， 即 是 时 间 的 函 数 。该 函 数 给 出 了 任 一 时 刻 质点 的 位 置 ， 称 为 质 点 运 动方 程 。（ 位 矢 表 示 的 运 动 方 程 ）r)(trr 7 在 直 角 坐 标 系 中 ， 可 以 用 三 个 坐 标 轴 的 分 量 表 示 ： （ 为 三 坐 标 轴 方 向 的 单 位 矢 量 ， 是 常 矢 量 ）kzjyix kji , )(tyy )(tzz )(txx rr r 0 x z y z y x P(x,y,z)i jk 坐 标 表 示 的 运 动 方 程 ， 消 去 t 就可 得 到 轨 迹 方 程 。 8 p运 动 方 程 的 性 质 ： 单 值 的 （ 某 一 时 刻 只 能 有 一 个 位 置 ） 连 续 的 （ 质 点 运 动 时 不 间 断 的 ） 可 微 的 （ 质 点 运 动 一 定 有 瞬 时 速 度 ） 9 四 、 位 移 和 路 程 位 移 ： 由 起 点 指 向 终 点 的 矢 量 ， 表 示 位 置 的 变 化 。 路 程 ： 由 起 点 到 终 点 质 点 的 实 际 路 径 长 度 。 x y z 0r 1 r r2 P2(x2,y2,z2) 1221 rrrPP P1(x1,y1,z1) s21PPs 位 移路 程 10 s路 程 ： 质 点 实 际 运 动 轨 迹 的 长 度 叫 路 程 。注 意 ： ,rs ；但 rs dd P1 r(t+ t )r(t) rx y z 0 s P2 11 位 移 矢 量 ： 只 表 示 某 段 时 间 内 位 置 的 变 化 ， 不 反 应 运 动的 过 程 。 大 小 为 起 点 到 终 点 的 直 线 距 离 方 向 为 从 起 点 指 向 终 点 单 位 ： SI， m(米 ) 用 坐 标 表 示 ： 位 移 ： kjyixr 1111 z kjyixr 2222 z kjyyixxrrr )zz()()( 12121212 位 移 和 路 程 的 关 系 ：位 移 为 矢 量 ， 路 程 为 标 量 ， 且 一 般 情 况 下 大 小 也 不 同 。 由 图 可 见 ，p二 者 相 同 的 条 件 ： 当 始 终 沿 一 个 方 向 的 直 线 运动 12 sr , s时0t r 举 例 说 明 ： P1 P2 P3 0 X1 X2 X3 13 ixixOPOPrPPP 1221 :231 如 12 xx 13 :321如 xxrPPP 2313 xxxxs 13 xxs 14 五 、 速 度 设 时 间 间 隔 内 ， 位 移 为1.平 均 速 度 ： tr v2.瞬 时 速 度 ： trtrt dd 0limv 速 度 方 向 ： 沿 轨 迹 切 线 方 向 。速 度 大 小 （ 速 率 ） ： trdd vv tsddv (t ) ttt r 可 见 ， 速 度 是 位 矢 对 时 间 的 一 阶 微 商 ， 即 位 移 随时 间 的 变 化 率 。 速 率 ： 速 度 的 大 小 叫 速 率 ， 用 v表 示 。 又 路 程 随 时 间 的 微 商 15t rttrttr 0lim 0limddvv , s时0t rdtdstslimt 0v 关 于 速 度 的 说 明 ：1） 速 度 为 一 矢 量 ， 方 向 为 轨 迹 切 线 方 向 ， 且 指 向 前 进 方 向2） SI中 ， 单 位 为 m/s(米 /秒 )3） 一 般 地 说 ， 有4） 有5） 其 中 分 别 表 示 速 度 沿 三 个 坐 标 轴 的 分 量 ， 或 三 个 坐 标 轴 方 向 的 分 速 度有 16 )(tvv kvjvivktzjtyitxtr zyx ddddddddv dtdzzdtdyydtdxx v,v,v vvv zyxv 222 17 六 、 加 速 度质 点 速 度 对 时 间 的 变 化 率 叫 加 速 度 。 瞬 时 加 速 度 ： tta v 0lim 加 速 度 的 方 向 ： 变 化 的 方 向 v加 速 度 的 大 小 ： taa ddv tdvdx r(t+ t )r(t) y z0 v (t ) v (t+ t ) vv (t )v (t+ t ) P1 P2 tv a 平 均 加 速 度 ： 由 于 所 以 加 速 度 是 位 矢 对 时 间 的 二 阶 微 商p 关 于 加 速 度 的 说 明 ：1） 是 一 矢 量 ， 方 向 同 的 极 限 方 向 直 线 运 动 ： 与 方 向 相 同 或 相 反 曲 线 运 动 ： 的 方 向 偏 向 轨 道 凹 的 一 侧2） 有 3） SI中 ， 的 单 位 是 18 瞬 时 加 速 度 速 度 矢 量 对 时 间 的 一 阶 微 商 ， 即 速 度 对 时 间 的 变 化 率 。trddv 22a dt rddtvd a v,t 0a va kajaia zyx a 222222 td zdtdvdaz,td ydtdvda,td xdtdvda zyyxx aaa zyxa 222 a 2s/m 小 结 参 照 系 、 坐 标 系 、 质 点 、 位 移 、 路 程 、 速 度 、加 速 度 各 概 念 之 间 的 关 系 19 例 1：质 点 直 线 运 动 方 程 为 ,求 ：a)什 么 时 刻 x=0, 什 么 时 刻 位 移 最 大 ？b)最 大 、 最 小 速 率 时 的 位 置c)最 大 、 最 小 加 速 度 时 的 位 置 20 tsinx 63 解 ：a)令 x=0, 则当 t=0、 6、 12. 时 ， x=0位 移 最 大 ， 则则 t=3(2k+1)=3、 9、 15.sb) 速 率 最 大 ， 则 此 时 此 时 x=0 速 率 最 小 ， 此 时 v=0 此 时 x= 3 21 063 tsin ntnt 6,6 316 x,tsin 212252326 k.,t tcosdtdxv 62 16 tcos 2v nt 6 06 tcos 126 kt c)|a|最 大 ：|a|最 小 ： 22 tsindtdva 6122 31216 2 t,|a|,tsin 0006 t,|a|,tsin 一 、 直 线 运 动 ： 运 动 轨 迹 为 直 线 的 运 动 ， 是 最 简 单 、 最 基 本 的 一 种 质 点 运 动 。p 简 单 ： 可 用 一 个 坐 标 表 示 矢 量 可 表 示 为 标 量p 基 本 ： 曲 线 运 动 可 分 解 为 直 线 运 动 即 由 运 动 方 程 可 直 接 求 出 速 度 、 加 速 度 与 时 间 的 函 数 关 系 。 23 2. 几 种 典 型 的 质 点 运 动 22, dtxddtdvadtdxvtxx 24 （ 1） 如 何 由 速 度 求 运 动 方 程 : 即 已 知 v=v(t),求 x(t)=? 初 始 条 件 ： 当 t=0时 ， 0 xx 一 般 ttxx t vdtxxvdtxx vdtdx vdtdxdtdxv 0000 00对 于 匀 速 直 线 运 动 ， v为 常 数如 起 始 位 置 为 坐 标 原 点 ， 即 t=0， 则 x=vt(匀 速 直 线 ， ) 匀 速 直 线vtxx 0 00 xx 00 x (2)如 何 由 加 速 度 求 运 动 方 程 : 即 已 知 a=a(t)， 求 x(t)=? 初 始 条 件 ： 25* 对 于 匀 变 速 直 线 运 动 : a=常 数如 初 始 位 置 为 坐 标 原 点 ， 则 000 vv,xx,t t tt ttvv t dtadttvxdtadtvxx adtvv adtdv adtdvdtdva 0 0000 000 00 0 一 般0 匀 变 速 直 线atvv 0 200 21 attvxx 00 x 0匀 变 速 直 线 ，21 020 xattvx 26 (3)匀 变 速 直 线 运 动 ： 速 度 与 位 置 的 关 系 0,匀 变 速 直 线2时 ，0当 匀 变 速 直 线2即 21 02020 0202 20200 0 xaxvvx xxavv vvxxa vdvadx vdvadx dxdvvdtdxdxdvdtdva xx vv p 举 例 ：1） 自 由 落 体 ：忽 略 空 气 阻 力 ， 为 匀 加 速 直 线 运 动 ，初 始 条 件 ： t=0时 ， y=0， 2） 竖 直 上 抛忽 略 空 气 阻 力 ， 为 匀 加 速 直 线 运 动 ， 27 2819 s/m.ga 00 v gyv gty gtv 2212 2 0,0时 ，0初 始 条 件 ： vvyt gyvv gttvy gtvv 2212 02 2000y y0ga - 28 二 、 抛 物 运 动p 从 地 上 基 点 把 一 物 体 以 某 一 角 度 投 射 出 去 ， 如 忽 略 空 气 阻 力 ， 物体 在 空 中 的 运 动 就 叫 抛 物 运 动 。 抛 物 运 动 属 二 维 运 动 。a. x、 y方 向 是 直 线 运 动b. 运 动 方 程 ：x=x(t) y=y(t) xyO 0 xv 0v0yv p 在 x， y方 向 上 ， 分 别 可 直 接 应 用 直 线 运 动 的 结 论 ： X方 向 ： 匀 速 直 线 运 动 初 始 条 件 ： Y方 向 ： 匀 变 速 运 动 初 始 条 件 ： 速 度 方 程 ： 运 动 方 程 ： 29 0 xa gay cosvv,x,t x 0000 时 sinvv,y,t y 0000 时 gtsinvv cosvvyx 00 200 21 gttsv tcosv iny x 以 上 是 四 个 基 本 方 程 ， 由 此 可 得 ：射 程射 高飞 行 时 间轨 迹 方 程 重 点 掌 握 4个 基 本 方 程 （ 由 具 体 情 况 而 定 ） ， 其 他 可 由 各 点 的 特 性推 出 30gvX 2sin20 gvY 2sin220 gvT sin2 0 220 2cos2v gxtgxy 例 1： 在 o点 用 枪 瞄 准 射 程 之 内 某 一 P点 的 靶 。 当 子 弹 离 开 枪口 时 ， 靶 开 始 自 由 下 落 ， 证 明 ， 子 弹 正 好 击 中 自 由 下落 的 靶 。 31x yo 0v ),( 11 yxP ),( yx 解 ： 只 要 证 明 子 弹 和 靶 到 达 （ x,y） 点 所 用 的 时 间 相 同 即 可 。设 子 弹 到 达 (x,y)点 所 需 时 间 为 t， 则 32 200 21 gttsinv tcosvx y 靶 的 横 坐 标 始 终 为 ， 只 要 证 明 在 t时 刻 ， 靶 的 纵 坐 标 为 y即 可 ，t时 刻 靶 的 纵 坐 标 为 ： xx 1 y 2 0 20 221 21 212121 gttsinv gttantcosv gttanxgty 证 毕 。 三 、 圆 周 运 动 轨 迹 为 圆 周 的 运 动 叫 圆 周 运 动 。 是 一 种 重 要 的 运 动 ， 旋 转 的轮 上 各 点 ， 是 刚 体 力 学 的 基 础 。 分 析 圆 周 运 动 ， 我 们 可 以 采 用 直角 坐 标 系 ， 但 更 为 简 单 的 是 自 然 坐 标 系 。 首 先 介 绍 ， 对 于 普 通 的 曲 线 运 动 ， 自 然 坐 标 系 中 ， 加 速 度 的分 解 ， 然 后 作 为 特 例 ， 研 究 圆 周 运 动 。 质 点 做 曲 线 运 动 时 ， 速 度 永 远 沿 曲 线 的 切 线 方 向 。 而 曲 线 的切 线 方 向 总 是 变 化 的 ， 也 就 是 速 度 总 是 变 化 的 ， 即 使 在 匀 速 率 曲线 运 动 中 ， 速 度 的 数 值 虽 然 不 变 ， 但 其 方 向 总 是 变 化 的 。 速 度 既然 有 变 化 ， 则 加 速 度 必 然 不 为 零 。 速 度 方 向 的 变 化 和 轨 道 的 形 状 有 关 ， 为 此 我 们 就 曲 线 的 特 征 分 量 给 予 描 述 。 33 如 图 ： 叫 做 和 间 曲 线 的 平 均 曲 率 。 叫 做 曲 线 在 点 的 曲 率 。临 切 线 ， 无 限 临 边 的 两 点 上 ， 两 切 线夹 角 。 某 一 点 的 曲 率 等 于 邻 切 角 与 对 应 弧 长 之 比 。 34 sk 1P 2Pdsdslimk s 0 1Pd 1 对 于 圆 周 ， 邻 切 角 等 于 对 应 的 圆 心 角 。（ 常 数 ， 曲 率 处 处 相 等 ）对 于 曲 线 上 的 一 点 P， 我 们 可 以 在曲 线 内 侧 作 一 个 最 大 的 内 切 圆 ， 与曲 线 切 与 P点 ， 这 个 圆 叫 做 曲 线 在 P点 的 曲 率 圆 。 35 ORv dsdOR Rdsdk Rdds 1 p 曲 率 在 P点 的 曲 率 与 该 点 曲 率 圆 的 曲 率相 同 。 曲 率 圆 的 半 径 为 曲 线 在 P点 的 曲率 半 径 曲 率 ： 圆 心 ： 曲 线 的 曲 率 中 心 1k 36 v如 图 ： 反 映 了 速 度 方 向 的 改 变 反 映 了 速 度 数 值 的 改 变当 时 ， 在 极 限 情 况 下 ，即 沿 点 的 法 线 方 向 ， 指 向 曲 率 中 心 。 沿 点 的 切 线 方 向 。21, vvvCDAB 1v 2v0t 20 ABD, vv 11v 1P 2v 1P 加 速 度 ： 37 tvlimtvlimtvlima ttt 20100 在 很 小 时 ， 而 t 0201 v,v vnv 000000 limlim dtdvndtdvtvntva tt dtdsdsddtd vdtds 1 kdsd 020 nvdtdva 02 0nva dtdvant 反 应 速 率 变 化反 应 方 向 变 化 38 加 速 度 的 数 值 为 ： 222 )v()dtdv( a方 向 ： ntaatg a na t a 正 ， 与 同 向 ， 速 率 增 大负 ， 与 反 向 ， 速 率 减 小0， 匀 速 曲 线 运 动正 ， 方 向 指 向 曲 率 中 心0， ， 即 直 线 运 动 ， 与 这 两 个 分 量 与 固 定 坐 标 系 无 关 ， 常 常 叫 做 自 然 坐 标 系 的 分 量 。tana ta vta v taa ta na 39 2、 圆 周 运 动 的 加 速 度切 向 加 速 度 ： ， 方 向 总 是 切 线 方 向法 向 加 速 度 ： ， 方 向 总 是 指 向 圆 心 向 心 加 速 度方 向 偏 向 圆 心对 于 匀 速 （ 率 ） 圆 周 运 动 ，只 有 向 心 加 速 度dtdva Rvan 200 naaa n 0 dtdvaRvaa n 2 40 3、 圆 周 运 动 涉 及 到 的 弧 长 s， 速 率 v， 加 速 度 都 叫 做 线 量 ， 圆周 运 动 还 可 用 角 量 表 示 ：角 位 移令 角 速 度 表 示 角 位 移 对 时 间 的 变 化 率对 于 匀 速 （ 率 ） 圆 周 运 动 ， （ 匀 速 ）令 角 加 速 度 则 naa 、 RS dtdRdtdsv Rvdtd t 22dtdRdtdRdtdva 22dtddtd Ra OR S 此 外 ， 也 可 看 做 矢 量 ， 遵 从 右 手 定 则 ， 注 意 的 方 向 41222 )(R RRRvan 类 似 匀 变 速 直 线 运 动 ， 对 于 匀 变 速 率 圆 周 运 动 可 得 ： =常 量 0202 2000 2 21 ttt , 42 3. 相 对 运 动设 两 个 参 考 线 有 相 对 运 动 ， 即 S 相 对 于 S 以 速 度 平 动 的 情 形 ， 考察 质 点 P的 运 动 。 0r 由 矢 量 运 算 法 则 有 ：rrr 0两 边 对 时 间 微 商 ： dtrddtrddtrd 0 0r z y0r O zS yO r P 0v 是 S 相 对 于 S的 位 矢 。即 相 对 平 动 参 照 系 中 的 速 度 变 换 格 式 。0 vvv S x x 绝 对 速 度 ， 是 P相 对 于 静 止 参 照 系 S的 速 度牵 连 速 度 ， 是 相 对 于 S的 速 度相 对 速 度 ， 是 P相 对 于 运 动 参 照 系 的 速 度两 边 再 对 时 间 微 商 ：即 加 速 度 变 换 式绝 对 加 速 度牵 连 加 速 度相 对 加 速 度 43 v0vv S Sdtvddtvddtvd 0 aaa 0a 0aa 解 ： 44 例 ：在 河 水 流 速 2m/s的 地 方 有 一 小 船 渡 河 。 如 果 希 望 小 船 以 4m/s的 速 度垂 直 于 河 岸 横 渡 ， 问 小 船 上 的 只 是 速 率 应 为 多 大 ， 船 头 应 指 向 何 方？ 0 vvv 0 vvv smvvv /47.442 22202 v 0vv 611642222 0 .arctgvarctg