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第四章 三角形 第 六 节 解 直 角 三 角 形 及 其 应 用 考点精讲解 直 角 三 角 形 锐 角 三 角 函 数直 角 三 角 形 的 边 角 关 系解 直 角 三 角 形 的 实 际 应 用解 直 角 三 角 形 应 用 中 的 常 见 模 型 锐角三角函数 1.在 Rt ABC中 ， C 90 ， A为 ABC中 的 一 个锐 角 ， 则 有 ： A的 正 弦 ： sinA= = _ A的 余 弦 ： cosA= = _ A的 正 切 ： tanA= = _2.特 殊 角 的 三 角 函 数 值 A 的 对 边斜 边 acA 的 邻 边斜 边 bcAA 的 对 边的 邻 边 ab 三角函数 30 45 60 _ _ _12 322232 22 333 1212.特 殊 角 的 三 角 函 数 值sincostan 直 角 三 角 形的 边 角 关 系(在 Rt ABC 中 , C为 直角 ， 三 边 长分 别 为 a、 b、c) 1.三 边 关 系 ： 勾 股 定 理 ： _2.三 角 关 系 ： A+ B = C = 903.边 角 间 关 系 ： sinA=cosB= ;cosA=sinB= ；tanA= ; tanB= 4.面 积 关 系 ： S ABC= _= ch(h为 斜 边 AB上 的 高 ) 12a2+b2=c2ac bcab ba 12ab 解 直 角 三 角 形 的 实 际 应 用仰 角 、 俯 角 在 视 线 与 水 平 线 所 成 的 锐 角 中 ， 视 线 在水 平 线 上 方 的 角 叫 仰 角 ， 视 线 在 水 平 线下 方 的 角 叫 俯 角坡 度（ 坡 比 ） 、坡 角 坡 面 的 铅 直 高 度 h和 水 平 宽 度 l 的 比 叫 坡度 （ 坡 比 ） ， 用 字 母 i 表 示 ； 坡 面 与 水平 线 的 夹 角 叫 坡 角，i= = 方 向 角 一 般 指 以 观 测 者 的 位 置 为 中 心 ， 将 正 北或 正 南 方 向 作 为 起 始 方 向 ， 旋 转 到 目 标方 向 所 成 的 角 （ 一 般 指 锐 角 ） ， 通 常 表达 成 北 （ 南 ） 偏 东 （ 西 ） 多 少 度，A点位 于 O点 的 北 偏 东 30方 向，B点 位 于 O 点 的 南 偏 东 60方 向 ， C点 位 于 O点 的北 偏 西 45方 向 （ 或 西 北 方 向 ） hl tan 解 直角 三角 形应 用中 的常 见模 型 重难点突破解直角三角形的实际应用例（ 2016茂名） 如 图 ， 在 数 学 活 动 课 中 ，小 敏 为 了 测 量 校 园 内 旗 杆 CD的 高 度 ， 先在 教 学 楼 的 底 端 A点 处 ， 观 测 到 旗 杆 顶 端C的 仰 角 CAD=60 ， 然 后 爬 到 教 学 楼上 的 B处 ， 观 测 到 旗 杆 底 端 D的 俯 角 是 30 . 已 知 教 学 楼 AB高 4米 .（ 1） 求 教 学 楼 与 旗 杆 的 水 平 距 离 AD;（ 结 果 保 留 根 号 ）（ 2） 求 旗 杆 CD的 高 度 . 例 题 图 解： （ 1） 从 教 学 楼 B处 观 测 到 旗 杆 底 端 D的俯 角 是 30 , ADB=30 ,在 Rt ABD中 ， BAD 90 ， ADB 30 ， AB 4米 , AD= (米 ).答 ： 教 学 楼 与 旗 杆 的 水 平 距 离 AD是 米 .4 4 3tan tan30ABADB 4 3 例 题 图（ 2） 在 Rt ACD中 , ADC=90 , CAD=60 ,AD=4 米 ， CD=ADtan60 =4 =12米 . 答 ： 旗 杆 CD的 高 度 是 12米 .3 33 满 分 技 法1.运用解直角三角形的方法解决实际问题的步骤：（1）审题：根据题意作出正确的平面图或截面示意图，在图形中弄清已知量和未知量；（2）将已知条件转化为示意图中的边、角关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题(若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算，若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决）；（3）选择适当关系式解直角三角形. 2.对于解直角三角形的实际应用题，关键是要将题目中的信息转化为数学文字，并将所得信息转化为直角三角形中的边和角，注意抓住关键信息（含有数字信息的文字），利用解直角三角形的类型求解，并注意对结果要取近似值. 【拓展】（ 2016广州） 如 图 ， 某 无人 机 于 空 中 A处 探 测 到 目 标 B、 D，从 无 人 机 A上 看 目 标 B、 D的 俯 角 分别 为 30 、 60 ， 此 时 无 人 机 的 飞行 高 度 AC为 60m， 随 后 无 人 机 从A处 继 续 水 平 飞 行 m到 达 A处 .（ 1） 求 A， B之 间 的 距 离 ；（ 2） 求 从 无 人 机 A上 看 目 标 D的 俯 角 的 正 切 值 .30 3 拓 展 题 图 解： （ 1） 由 题 意 得 ， BC , ABC=30 ，又 AC=60 m, 在 Rt ABC中 ， sin30 ,即 , AB=120 m； ACAB 1 602 ABAA 拓 展 题 图 （ 2） 如 解 图 ， 连 接 , 的 正 切 值 即 为 所 求 ，过 点 D作 DE AA于 点 E， AE BC, C=90 ， EAC=90 ， 四 边 形 ACDE为 矩 形 ， DE=AC=60 m,又 EAD= ADC=60 ， 拓 展 题 解 图AD DAA 在 Rt ADC中 ， tan60 = , 即 ， AE=CD=20 m, = +AE=30 +20 =50 m, tan = .ACCD 603 CD3 333 60 2 3550 3DEAE 拓 展 题 解 图AAAE DAA
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