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第 五 章 四 边 形第 二 节 矩 形 、 菱 形 和 正 方 形 考点精讲矩 形 菱 形 和 正 方 形 矩 形菱 形正 方 形平 行 四 边 形 、 矩 形 、 菱 形 、正 方 形 之 间 的 关 系 矩 形 性 质判 定面 积 ： S _（ a， b表 示 长 和 宽 ）ab 性 质 1.边 ： 对 边 平 行 且 相 等 ， 即2.角 ： 四 个 角 都 是 直 角 ,即 ABC= BCD= ADC= BAD=903.对 角 线 ： 矩 形 的 对 角 线 相 等 ,即 AC _，4.对 称 性 ： 既 是 中 心 对 称 图 形 又 是 轴 对 称 图 形 ， 有 _条 对 称 轴 ,A D=BC ,AD _AB=CD BCAB CD BD2 判定 1.有 一 个 角 是 _的 平 行 四 边 形 是 矩 形2.有 三 个 角 都 是 直 角 的 四 边 形 是 矩 形3.对 角 线 _的 平 行 四 边 形 是 矩 形 ,即 直 角相 等平 行 四 边 形 ABCDAC =BD 四 边 形 ABCD是 矩 形 菱 形 性 质判 定面 积 ： S (m、 n分 别 表 示 两条 对 角 线 的 长 )12mn 性 质 四 条 边 都 相 等 ， 即 AB=BC=CD=DA 对 边 平 行 ， AB CD， AD BC2.角 ： 对 角 相 等 ， DAB = DCB, ADC = ABC3.对 角 线4.对 称 性 ： 既 是 中 心 对 称 图 形 又 是 轴 对 称 图 形 ， 有 _条 对 称 轴1.边 2 3.对角线 菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 且 _,即对 角 线 平 分 一 组 对 角 ， 即 AO=OC,DO=OBAC BD平 分 _平 分 DAB与 BCD _平 分 ABC与 ADCBDAC 判定 2.对 角 线 _的 平 行 四 边 形 是 菱 形 ,即3.四 条 边 _的 四边 形 是 菱 形 ， 即 平 行 四 边 形 ABCD 四 边 形 ABCD是 菱 形四 边 形 ABCDAB=BC=CD=AD 四 边 形 ABCD是 菱 形AC BD1.有 一 组 邻 边 _的 平 行 四 边 形 是 菱 形相 等互 相 垂 直相 等11 12 13 正 方 形 性 质判 定面 积 ： S (a表 示 边 长 )a2 性 质 四 条 边 都 相 等 ， 即 AB=BC=CD=AD 对 边 平 行 ， 即 AB CD, AD BC2.角 ： 四 个 角 都 是 直 角 ， 即 ABC= BCD= ADC= BAD=903.对 角 线4.对 称 性 :既 是 中 心 对 称 图 形 又 是 轴 对 称 图 形 ，有 4条 对 称 轴 1.边 3.对角线 对 角 线 互 相 _且 相 等 对 角 线 平 分 一 组 对 角 ,即 AC BD OA=OC,OB=OD AC=BD垂 直 平 分 DAC= CAB= _ DCA= ACB=45 ADB= BDC= _ ABD= DBC=4514 454515 16 判定 1.有 一 个 角 是 _的 菱 形 是 正 方 形2.有 一 组 _相 等 的 矩 形 是 正 方 形3.有 一 组 邻 边 相 等 ， 并 且 有 一 个 角 是 直 角 的 平 行 四 边 形 是 正 方 形4.对 角 线 相 等 的 _是 正 方 形5.对 角 线 互 相 _的 矩 形 是 正方 形 ， 即6.对 角 线 垂 直 平 分 且 相 等的 四 边 形 是 正 方 形 ， 即17 18 直 角邻 边 矩 形 ABCD 四 边 形ABCD是 正 方 形OA=OC,OB=OD 四 边 形ABCD是 正 方 形20 AC=BDAC BD菱 形19 垂 直 平 行 四 边 形 、 矩 形 、 菱 形 和 正 方 形 四 者 之 间 的 关 系 ：平 行 四 边 形 菱 形矩 形 正 方 形 一 组 邻 边 有 一 个 角 是 有 一 个 角 是2123相 等 直 角 直 角22 一 组 邻 边 24 相 等有 一 组 邻 边 相 等 ， 一 个 角 是 90 重难点突破一 矩 形 的 性 质 与 判 定例 1 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD中 ， BAD的 平 分 线 交CD于 点 E， 交 BC的 延 长 线 于 点 F， 连 接 BE， F=45 .（ 1） 求 证 ： 四 边 形 ABCD是 矩 形 ；（ 2） 若 AB=14， DE=8， 求 sin AEB的 值 . 例 1题 图 【 思 维 教 练 】（1）要证四边形ABCD是矩形，因为四边形ABCD是平行四边形，所以只需证四边形ABCD的一个角为直角结论即可得证；（2）过点B 作BH AE于点H，构建Rt BEH .要求sin AEB的值，只需求得BH ,BE的值.在RtBCE和RtAH B中，分别由勾股定理和锐角三角函数求得BE和BH的值，即可求解. 例 1题 图 （ 1） 证 明 ： 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 ， AD BC， DAF= F， F=45 ， DAE=45 ， AF是 BAD的 平 分 线 ， EAB= DAE=45 ， DAB= 90 ， 四 边 形 ABCD是 矩 形 ； 例 1题 图 （ 2） 解 ： 如 解 图 ， 过 点 B作 BH AE于 点 H . 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， AB=CD， AD=BC， DCB= D=90 . AB=14， DE=8， CE=6.在 Rt ADE中 ， DAE=45 ， DEA= DAE=45 ， AD=DE=8， BC=8. 例 1题 解 图 在 Rt BCE中 ， 由 勾 股 定 理 得 ：BE= =10.在 Rt AH B中 ， H AB=45 , BH =ABsin45 =7 ， 在 Rt BH E中 ， BH E 90 , sin AEB .2 2BC CE 27 210BHBE 例 1题 解 图 1.矩形判定的一般思路：首先判定是否为平行四边形，若为平行四边形，然后找角或者对角线的关系，若角度容易求， 则可找其一角为90，便可判定是矩形；若对角线容易求，则证明其对角线相等便可判定是矩形.若为一般四边形，则可证四个角为直角，便可判定是矩形. 满分技法 2.运用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角 ，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长是常用的思路，又因为矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形.矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等量关系. 3.对于解决矩形中的折叠问题，有以下3方面的考虑：（1）折叠的性质：位于折痕两侧的图形关于折痕成轴对称图形；满足折叠性质即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段、周长、面积等均相等；折叠之后，对应点的连线被折痕垂直平分；（2）找出隐含的折叠前后的位置关系（平行或垂直）和数量关系（相等）；（3）一般运用三角形全等、勾股定理、相似三角形等知识及方程思想，设出恰当的未知数，解方程来求线段长. 【 拓 展 1】 如 图 ， 四 边 形 ABCD是 矩 形 ， AB=4, AD=3,把矩 形 沿 直 线 AC折 叠 ， 点 B落 在 点 E处 ， AE交 CD于 点 F，连 接 DE， 则 DF的 长 是 ( )A. B. C. D. 拓 展 1题 图43 83 78 258 【 解 析 】 四边形ABCD是矩形， AD=BC3, AB=DC=4, ADF=90,由折叠的性质可得BC=EC, CEF= ABC=90, AD=CE, ADF= CEF，在ADF与CEF中， ADFCEF（AAS）， FA=FC,设DFx,则FAFC=DC-DF=4-x,在RtDFA中，由勾股定理得：DA 2+DF2=AF2,即32+x2=(4-x)2,解得x= ,即DF的长是 . ADF= CEF AFD= CFE AD=CE， 78 78【 答 案 】 C 【 拓 展 2】 如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， DE平 分 ADC交 BC于 点 E， EF AD交 AD于 点 F， 若 EF 3， AE= 5， 则 AD等 于 _. 拓 展 2题 图【 解 析 】 四边形ABCD是矩形， ADC90，又 DE平分 ADC， ADE ADC45， EF AD，EFD是等腰直角三角形， FD=EF=3.在RtAEF中，AF 4， ADAF+FD=4+3=7.2 2AE EF7 12 二 菱 形 性 质 的 相 关 计 算例 2 如 图 ， 在 菱 形 ABCD中 ， BAD=70 ， AB的 垂 直 平分 线 交 对 角 线 AC于 点 F， 垂 足 为 点 E， 连 接 DF， 则 CDF等 于 ( )A. 75B. 70C. 60D. 55 例 2题 图 【 思 维 教 练 】要求 CDF的度数，观察图形 CDF= ADC- FDA，分别求出 ADC 和 FDA的度数即可求解，已知四边形ABCD是菱形， BAD的度数，易求 ADC 和 FAD的度数，又由于EF垂直平分AB，连接BF，BD，进而得到AF=BF，BF=DF，故AFDF，即 FDA= FAD， CDF的度数进而得解. 【 解 析 】如解图，连接BD，BF，四边形ABCD为菱形， BAD70， ADC =110, FAD35,又 EF垂直平分AB，AC垂直平分BD， AF=BF,BF=DF， DF=AF， FDA= FAD35， CDF= ADC- FDA=110-35=75. 例 2题 解 图【 答 案 】 A 满 分 技 法菱形的计算常涉及下面几种：（1）求角度时，应注意菱形的四条边相等和对角相等、邻角互补等，以及结合等腰三角形和平行线的相关性质，转化为要求的角，直到找到与已知的角存在的关系；（2）求长度（线段长或者周长）时，应注意使用等腰三角形的性质：若菱形中存在一个顶角为60，则菱形被 连接另外两点的对角线所割的两个三角形为等边三角形，故在计算时，可借助等边三角形的性质，由于菱形的对角线互相垂直，也应注意使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、含特殊角的直角三角形等进行计算；（3）求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面积等于对角线之积的一半进行计算. 【 拓 展 3】 如 图 ， 菱 形 ABCD的 周 长 是 20， 对 角 线 AC，BD相 交 于 点 O， 若 BD 6， 则 菱 形 ABCD的 面 积 是 ( )A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 拓 展 3题 图【 解 析 】 菱形ABCD的周长是20， AB=204=5， AC BD，OB BD=3，OA= =4, AC= 2OA=8,菱形ABCD的面积是 ACBD 8624.2 2AB OB 1212 12 【 拓 展 4】 如 图 ， 在 菱 形 ABCD中 ， 点 O是 对 角 线 AC的三 等 分 点 ， 连 接 OB、 OD， 且 OB OC=OD， 已 知 AC=3，那 么 菱 形 的 边 长 为 ( )A. B. 2 C. D. 拓 展 4题 图3 5 12 32【 解 析 】 四边形ABCD是菱形， AB=BC, BAC= ACB，点O是对角线AC的三等分点，AC=3， OBOC AC1， BAC= ACB= OBC,BOCABC, 即 ， AB 2=3, AB= .313 OB BCAB AC1 3BCAB A 三 正 方 形 性 质 的 相 关 计 算例 3 如 图 ， 正 方 形 ABCD的 边 长 为 6， 点 E、 F分 别 在 AB，AD上 ， 若 点 E为 AB的 中 点 ， 且 满 足 BE+DF=EF， 则 EF的 长 为 ( )A. 4 B. 3 C. 5 D. 4例 3题 图2 2 【 思 维 教 练 】要求EF 的长度，观察图形EF在RtAEF中，因为题中未给出特殊角度，可以考虑用勾股定理，所以需计算出AF 和AE 的长度.由于点E为AB的中点，则AEBE= AB，AB已知，进而求得AE的长度，设EFx，又因为BE+DFEF，即DFEF-BE，AF=AD-DF，将AF用x表示出来，代入 AF2+AE2=EF2 中列方程求解即可. 12 【 解 析 】设EF= x ,四边形ABCD是正方形， AB=AD=6，点E为AB的中点， AE=BE=3， DF=x-3, AF=AD-DF6-(x-3)=9-x，在RtAEF中， AF2+AE2=EF2， (9-x)2+32=x2， x=5，即EF=5.【 答 案 】 C 满分技法对于正方形性质的有关计算问题，应注意合理运用其性质及由性质得到的一些结论：1.四边相等，四角相等，均为90；2.对角线垂直平分且相等；3.对角线平分一组对角得到45角；4.边长与对角线的长度比为1 .2 【 拓 展 5】 （ 2016龙岩） 如 图 ， 将 正 方 形 纸 片 按 如 图 折 叠 ，AM为 折 痕 ， 点 B落 在 对 角 线 AC上 的 点 E处 ， 则 CME_. 拓 展 5题 图【 解 析 】 四边形ABCD是正方形， B=90, ACB=45,由折叠的性质得： AEM= B=90, CME90- 4545. 45
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