《曲率赵树嫄》PPT课件.ppt

五 、 小 结 与 思 考 判 断 题一 、 问 题 的 提 出三 、 曲 率 及 其 计 算 公 式二 、 弧 微 分四 、 曲 率 圆 与 曲 率 半 径 第 三 章 怎 样 描 述 曲 线 局 部 弯 曲 程 度 ？1M 3M) 22M 2S1S M M1S 2SN N)弧 段 弯 曲 程 度越 大 转 角 越 大 转 角 相 同 弧 段 越短 弯 曲 程 度 越 大1)一 、 问 题 的 提 出 我 们 直 觉 认 识 到 ： 直 线 不 弯 曲 ， 曲 线 不 同 部 分有 不 同 的 弯 曲 程 度 ； 二 、 弧 微 分 A0 x Mx.),( )(内 具 有 连 续 导 数在 区 间设 函 数ba xf xyo. ),(: 00作 为 度 量 弧 长 的 基 点在 曲 线 上 取 点 yxA ),( yxM对 于 曲 线 上 任 意 一 点规 定 ： ;)1( 增 大 的 方 向曲 线 的 正 向 为 x,)( sAM ., 为 取 负相 反 时为 正一 致 时 的 方 向 与 曲 线 正 向当 ss AM)(xss 易 看 出 ： 弧 长 是 x的 单 调 增 函 数 . )(xss 下 面 求 的 导 数 与 微 分, ),(上 的 另 一 点 为 曲 线设 yyxxN MNs NM TA0 x x xx xyo22 xMNxs 22 xMNMNMN 2 222 )()( x yxMNMN 222 )(1 xyMNMN 222 )(1 xyMNMNxs MNx ,0时当 dxyds 故 ,)( 为 单 调 增 函 数xss dxyds 故 弧 微 分 公 式 NM TA0 x x xx xyo1lim 2 MNMNMN yxyx 0lim )()( dydxds或 ds 所 代 表 的 几 何 意 义 如 下 图 所 示 ： 三 、 曲 率 及 其 计 算 公 式描 述 曲 线 局 部 性 质 （ 弯 曲 程 度 ） 的 量 。1、 曲 率 的 定 义1M 3M) 22M 2S1S M M1S 2SN N)1） 弧 段 弯 曲 程 度 越 大 转 角 越 大 ，2） 转 角 相 同 弧 段 越 短 弯 曲 程 度 越 大 。1) ) SS ). M.M C0My xo .sKMM 的 平 均 曲 率 为弧 段 （设 曲 线 C是 光 滑 的 ，.0 是 基 点M ,sMM （ . 切 线 转 角 为MM定 义 sK s 0lim曲 线 C在 点 M处 的 曲 率 ,lim0 存 在 的 条 件 下在 dsdss .dsdK 例 1 直 线 的 曲 率 处 处 为 零 . 例 2 圆 上 各 点 处 的 曲 率 等 于 半 径 的 倒 数 ,且 半 径 越 小 曲 率 越 大 . sK s lim, Rs RsR,设 圆 的 半 径 为 RsK s lim ),( ),(ty tx 设 .)()( )()()()( 2322 tt ttttk 2、 曲 率 的 计 算 公 式 ,)( 二 阶 可 导设 xfy ,tan y ,1 2 dxyyd .)1( 232yyk ,arctany有 .1 2dxyds 例 2 ?2 上 哪 一 点 的 曲 率 最 大抛 物 线 cbxaxy 解 ,2 baxy ,2ay .)2(1 2 232baxak ,2 时当 abx .最 大k ,)4 4,2( 2 为 抛 物 线 的 顶 点又 a acbab .最 大抛 物 线 在 顶 点 处 的 曲 率 232)(1 | yyk 2322 )cos9sin4( 6 tt 232 )cos54( 6 t要 使 最 大 ，k 232 )cos54( t必 有 最 小 ，23,2 t 时 最 大 。k 例 3 椭 圆 上 哪 些 点 处 曲 率最 大 ？ ,cos2 tx ty sin3解 .),( ,.1 , ,).0(),( )( 处 的 曲 率 圆称 此 圆 为 曲 线 在 点如 图作 圆 为 半 径为 圆 心以 使在 凹 的 一 侧 取 一 点处 的 曲 线 的 法 线 上在 点 处 的 曲 率 为 在 点设 曲 线 MDk DMDM kkyxM xfy 四 、 曲 率 圆 与 曲 率 半 径定 义 D )(xfy Mk1,曲 率 中 心D .曲 率 半 径 xyo 例 4 设 工 件 内 表 面 的 截 线 为 抛 物 线 24.0 xy ， 现 在 要 用 砂 轮 打 磨 其 内 表 面 。 问 砂 轮 的 半 径 为 多 少 才 合 适 ？ 解 砂 轮 半 径 不 应 超 过 截 线 上 各 点 处 曲 率 半 径 的 最 小 值 。 抛 物 线 在 其 顶 点 处 曲 率 最 大 ， 即 曲 率 半 径 最 小 。 xy 8.0 ， 8.0y ， 所 以 0)0( y ， 8.0)0( y ， 故 截 线 在 （ 0， 0） 处 的 曲 率 为 8.0K ， 曲 率 半 径 25.11 K , 所 以 砂 轮 的 半 径 不 得 超 过 25.1 。 1. 曲 线 上 一 点 处 的 曲 率 半 径 与 曲 线 在 该 点 处 的 曲 率 互 为 倒 数 . .1,1 kk即注 意 :2. 曲 线 与 它 的 曲 率 圆 在 同 一 点 处 有 相 同 的 切 线 ， 曲率 ， 凹 向 。 因 此 ， 可 用 曲 率 圆 在 该 点 处 的 一 段 圆 弧来 近 似 地 替 代 曲 线 弧 。 五 、 小 结 与 思 考 判 断 题基 本 概 念 : 弧 微 分 , 曲 率 , 曲 率 圆 .曲 线 弯 曲 程 度 的 描 述 曲 率 . 思 考 判 断 题3. 在 曲 线 任 何 一 点 都 有 曲 率 圆 .作 业 ： P175 3、 4