《力系的合成》PPT课件

第 2章 力系的合成 平面汇交力系的合成 空间汇交力系的合成 平面力偶系的合成 平面任意力系向一点简化 空间力对点矩与力对轴 之 矩 空间力偶系的合成 重心 结论与讨论 引 言 根据力的作用线是否共面可分为： 平面力系 空间力系 每一类又可以分为四种： 汇交力系 力偶系 任意力系 平行力系 1. 合成的几何法 (即力多边形法则 ) A F2 F4 F3 F1 2.1 平面汇交力系的合成 1RF 2RF RF 3F 4F 2F 1F A A F2 F4 F3 F1 FR FR1 FR2 F4 F3 FR F 2 A 结论： 平面汇交力系可简化为一 合力，其合力的大小与方向等于 各分力的矢量和，合力的作用线 通过汇交点。 FR= F1 + F2 + + Fn = Fi F1 A B F2 C F3 D F1 A B F2 C F3 D 2. 力的投影 x A B F O i j X Y y s inc o s c o s FFY FX 22 c o s ( , ) / F X Y XF Fi 力在坐标轴上的投影 力的投影是代数量， 当力与轴之间的夹角为锐 角时，其值为正，当夹角 为钝角时，其值为负。 反之，已知力的投影，也可 以求力的大小和方向 3. 合力投影定理 1 3 2 1F RF 3F 2F x y O A B C A D B C D 1xF 2xF RxF 3xF 表述： 合力在某轴上的投影，等于各个分力在同一 轴上投影的代数和。 DAc o sFF RRx BAc o sFF x 111 CBc o sFF x 222 DCc o sFF x 333 由图可知 DCCBBADA 故有 iRx XDAF 同理 iRy YF 反之，已知 Xi ， Yi，可以求合 力的大小和方向 22 iiR YXF R i F Xc o s 合力大小 合力方向 4. 合成的解析法 (根据合力投影定理 ) 根据合力投影定理： 2222 )Y()X(FFF RyRxR RR Rx F X F Fc o s 12 1 n R x n i i F X X X X 12 1 n R y n i i F Y Y Y Y 合力大小 合力方向 A F2 F4 F1 F3 FR x y O 1F 2F3F RF （ 1）几何法 解： 4F 例题 1 已知： F1=200N、 F2=300N、F 3=100N、 F4=250N。求图示汇交力 系的合力。 RFy 30 4545 60 x 1F 2F 3F 4F O N.c o sFc o sF c o sFc o sFXF Rx 31294545 6030 43 21 （ 2）解析法 N.s i nFs i nF s i nFs i nFYF Ry 31 1 24545 6030 43 21 N.FFF RyRxR 317131123129 2222 7 5 4 8.03.1 7 1 3.1 2 9c o s R RX F F 合力作用线通过汇交点 O 合力 FR与 x轴的夹角为： 9940 . RF y 30 4545 60 x 1F 2F 3F 4F O 规定 F与 h的乘积作 为力 F使扳手绕支点 O转 动的效应的度量，称为 力 F对 O点之矩， 用符号 M0(F)表示，即 A B OFhFM 2)(0 若力 F使物体绕 O点逆时针转动 ,力矩为正 ;反之为负。 N.m 或 kN.m 力矩的单位： 注意：在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩 的大小和转向，所以，力矩是一个代数量。 2.2 平面力偶系的合成 1. 力对点之矩 练习：计算下面各图中力 F对 O点的矩 0M FlM 22 bls i nFM s i nFlM FbM rlFM l F (a) l F (b) F l (e) b l F (f) r l F (d) (c) F O O O O O O 2. 力偶与力偶矩 力偶 两个大小相等、方向相反且 不共线的平行力组成的力系。 力偶臂 力偶的两力之间的垂直距离。 力偶的作用面 力偶所在的平面。 力偶矩 FdM力偶矩 3. 平面力偶的性质 （ 1） 力偶不能合成为一个力，也不能用一个力来平衡。力 和力偶是静力学的两个基本要素。 （ 2） 力偶中的两个力对平面中任意点 O之矩之和等以什么 ？ F FA B O d x )()(),( FFFF OOO MMM FxxdF )( dF (3)同平面两个力偶的等效条件： 在同平面内的两个力偶， 如果力偶矩相同 (大小相等，转向相同 )，则两力偶彼此 等效。 (通过动画来演示证明过程 ) 因此： (a)只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可以在作 用面内任意移转，不改变对刚体的作用效果。 (b)只要保持力偶矩的大小和转向不变，可以同时改 变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体 的作用效果。 M M M 问：作用在 AC杆上的力偶 M能否移动到 BC杆上去？ A B C M M ？ 分析： 不能。力偶只能在同一刚体上的同 一个平面内移动。因为 三角架不是一个刚体， 所以不能。 代数和iMM 4. 平面力偶系的合成 因为力偶是代数量， 所以合力偶矩是各个分 力偶矩的代数和 iMM解： 根据 可得 负号表示合力偶矩的转向为顺时针方向 4321 MMMMM m.N60154 如图汽缸盖上 4个相同的 孔，每个孔的切削力偶矩大 小为 M1=M2=M3=M4=15 N.m。 求工件的总切削力偶矩 例 题 2 1M2M 3M4M 1.力的平移定理 A F B d F F A F B M=F. d=MB(F) 可以把作用于刚体上点 A 的力 F平行移到同一刚体上 的任意点 B，但必须同时附 加一个力偶，这个附加力偶 的矩等于原来的力 F对新作 用点 B的矩。 M 2-3 平面任意力系向一点简化 攻丝时为什么要两个 手施力 ,用一个手会有 什么不好之处 ? A B D C E F d 问：能否将力 F从 D点移动 到 E点并附加力偶。 分析：不能。力的移动只 能在同一个刚体上；因为刚架 不是一个刚体，所以力 F不能从 D点平移到 E点，即使是加附加 力偶也不行。 d F M A B F 问：已知力 F和力偶 M，两者可 以合成为一个力，请问该力应 该在 A点的左侧还是右侧 ? 分析：左边。合力应该在刚 体上 A点的左侧。但是和原来的 力 F平行且距离为 d， F Md F M F3 F1 F2 O 2.平面任意力系向作用面内一点的简化 主矢 和 主矩 简化中心 O O F 1 M1 F1 =F1 M1=MO(F1) F 2 M2 F2 =F2 M2=MO(F2) F 3 M 3 F3 =F3 M3=MO(F3) O F 1 F 2 F 3 O M1 M2 M3 + RF MO O MO RF FR=F1+F2+F3= F1+F2+F3 主矢 (简化后汇交力系合成结果 ) MO=M1+M2+M3=MO(F1)+ MO(F2) + MO(F3) 主矩 (附加力偶系合成结果 ) n i iFF 1 R 主矢 平面任意力系向作用面内任一点 O简化，可得一个力和一个力偶， 这个力等于该力系的主矢，作用线 通过简化中心。这个力偶的矩等于 力系对于点 O的主矩。 R R X c o s )Y()X(F F 22 主矢与主矩的计算（对于具 有几个力的一般情况） 主矩 1 ()nO O i i MM F O x y MO F R 3 . 固定端支座 既不能移动，又不能 转动的约束 固定端（插入端）约束 : FAx FAy 固定端约束简图 4 . 简化结果分析 合力矩定理 FR=0， MO0 FR 0， MO=0 FR 0， MO 0 FR=0， MO=0 1. 平面任意力系简化为一个力偶的情形 FR=0， MO0 n i iOO MM 1 )( F 因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力 系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。 O FR O 2 . 平面任意力系简化为一个合力的情形 合力矩定理 FR 0， MO=0 合力的作用线通过简化中心 FR 0， MO 0 FR O O d FR FR d R O F Md 平面任意力系的合力对 作用面内任一点的矩等于 力系中各力对同一点之矩 的代数和。 FR O Mo O 合力矩定理： 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n O R R O O i i n O R O i i M F F d M M F M F M F 在长方形平板的 O， A， B， C点上分别作用有四 个力： F1=1 kN， F2=2 kN， F3=F4=3 kN（如图），试求 以上四个力构成的力系对 O点 的简化结果，以及该力系的最 后合成结果。 例 题 3 F1 F2 F3 F4 O A B C x y 2m 3m 30 60 (1)求向 O点简化结果 4 R 1 xi i FX 30 c o s60 c o s 432 FFF kN 598.0 解： 4 R 1 yi i Y F 30 s in60 s in 421 FFF kN 768.0 1).求主矢 。 RF kN 7 9 4.0 2R2RR yx FFF 所以，主矢的大小 F1 F2 F3 F4 O A B C x y 2m 3m 30 60 6 1 4.0c o s R R R F F xi , F 1.52R i , F 主矢的方向： 2） . 求主矩 MO 4 0 1 ()O i M M F mkN 50 30 3260 2 432 . s i nc o s FFF m 51.0 R FMd O 合力 FR到 O点的距离 RR FF O A B C x y MO RF F R （ 2）求最后合成结果 由于主矢和主矩都不为零，所以最后 合成结果是一个合力 FR。如右图所示。 例题 4 解： 以 O为简化中心有 120 120 120 A B C 1F 2F 3F O x y 已知：如图，每个力的大小都为 F1=F2=F3=250kN, OA=OB=OC=d=1.2m 求合成结果 3 1 1 23c o s 6 0 s in 3 0 0 R x i i F X F FF 3 23 1 0 s in 6 0 c o s 3 0 0R Y i i F Y F F 3 0 1 1 2 3 () 3 2 5 0 1 .2 9 0 0 . Oi i M M F F d F d F d k N m 反 时 针 2.4 空间汇交力系的合成 1. 空间力的投影和分解 2.4 空间汇交力系的合成 1. 空间力的投影和分解 直接投影法 c os c os c os FZ FY FX x y zF F F F X i Y j Z k O x y F z xF yF zF i j k yFYxFX zFZ 二次投影法 y z O x F Fxy i j k xF yF zF c o s s ins in c o ss in FZ FY FX F=Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk F Z F Y F X ZYXF ),c os ( ),c os ( ),c os ( 222 kF jF iF 2. 空间汇交力系的合成 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线 通过汇交点。 12 1 n R n i i R i i iX Y Z F F F F F F i j k R R R R R R R F Z F Y F X ZYXF ),c os ( ),c os ( ),c os ( )()()( 222 kF jF iF 2.5力对点之矩与对轴之矩 力偶系的合成 1. 力对点的矩 O A(x,y,z) B r F h y x z MO(F) 空间的力对 O点之矩取决于： (1)力矩的 大小 ； (2)力矩的 转向 ； (3)力矩 作用面的方位 。 须用一矢量表征 MO(F) =Fh=2 OAB )(FMO )(FM O kjiF kjir ZYX zyx MO(F) 定位矢量 kji kji FrFM )()()( )( yXxYxZzXzYyZ ZYX zyx O O A(x,y,z) B r F h y x z MO(F) i j k 2. 力对轴的矩 B A F O x y z h Fxy b Fz 力对轴的矩等于力在垂 直于该轴的平面上的投影对 轴与平面交点的矩。 Mz(F) = MO(Fxy) = Fxy h = 2 OAb 力对轴之矩用来表征 力对刚体绕某轴的转动效应。 Mz(F) 当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。 B A F O x y z h Fxy b Fz 力对轴的矩等于力在垂 直于该轴的平面上的投影对 轴与平面交点的矩。 Mz(F) = MO(Fxy) = Fxy h = 2 OAb 力对轴之矩用来表征 力对刚体绕某轴的转动效应。 Mz(F) 当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。 力对轴之矩的解析表达式 yXxYM xZzXM zYyZM z y x )( )( )( F F F yXxY MMMM yOxOxyOz )()()()( FFFF kji FFFF ZYX zyx y z O x F Fxy A(x,y,z) Fz Fx Fy Fy Fx B a b x y 3. 力对点的矩与力对 轴的矩的关系 kji kji FrFM )()()( )( yXxYxZzXzYyZ ZYX zyxO yXxYM xZzXM zYyZM z y x )( )( )( F F F )()( )()( )()( FF FF FF zzO yyO xxO MM MM MM 力对点的矩矢在通过 该点的某轴上的投影，等 于力对该轴的矩。 手柄 ABCE在平面 Axy内 ,在 D处作用一个力 F，如 图所示，它在垂直于 y轴的平面 内，偏离铅直线的角度为 。如 果 CD=b，杆 BC平行于 x轴 ,杆 CE平行于 y轴， AB和 BC的长度 都等于 l。试求力 F 对 x， y和 z三 轴的矩。 例 题 5 应用合力矩定理求解。 解： 方法 1 c o sFF blFCDABFMM zZxx 力 F 沿坐标轴的投影分别为： 0 c os s in FF F FF z y x 由于力与轴平行或相交 时力对该轴的矩为零，则有 c o sFF FlBCFMM zZyy s i nFF blFCDABFMM xxzz 应用力对轴的矩之解析 表达式求解。 xyz zxy yzx yFxFM xFzFM zFyFM F F F c o s,0, s i n FFFFF zyx 因为力在坐标轴上的投影分别为： 0, zblylx 力作用点 D 的坐标为： 0 c o sc o sF blFFblzFyFM yzx 则 方 法 2 0 c o sc o sF FlFlxFzFM zxy 0 s i ns i nF blFFblyFxFM xyz z P O a b c A x y 222 c os)()( cba P ab M OOA PMP 已知： P 、 a、 b、 c 求： 力 P 对 OA轴之矩 例 题 6 MO(P) () 00 O abc P Pb i j k M P r P i 解： （ 1）计算 MO(P) （ 2）利用力矩关系 2.7 重心 1. 重心的概念及其坐标公式 z O x y P Pi C Vi xC yC zC xi yi zi PxC=P1x1+P2x2+Pnxn=Pixi 根据合力矩定理，对 y轴取矩，有 -PyC=(P1y1+P2y2+Pnyn)=-Piyi 根据合力矩定理，对 x轴取矩，有 将物体连同坐标系绕 x轴顺时针转 90 后，再对 x轴取矩，有 -PzC=(P1z1+P2z2+Pnzn)=-Pizi z O x y P Pi C Vi xC yC zC xi yi zi i ii C i ii C i ii C P zPz P yPy P xPx i ii C i ii C i ii C V Vzz V Vyy V Vxx S Szz S Syy S Sxx S C S C S C d,d,d 均质物体的重心就是 几何中心，通常称 形心 PxC=P1x1+P2x2+Pnxn=Pixi -PyC=(P1y1+P2y2+Pnyn)=-Piyi -PzC=(P1z1+P2z2+Pnzn)=-Pizi 由以上三式可以得到重心公式，即 对于均质体： 对于均质曲面： 2. 确定物体重心的方法 （ 1）对称法 具有对称轴对称面或对称中心的物体，其重心 必然在对称轴对称面或对称中心上 。 若一个物体具有两个对称面，则形心必在 两个对称面的交线上，若具有两个对称轴， 则形心就在两轴的交点上。 O O （ 2）用组合法求重心 (a) 分割法 o x y C1 C2 C3 30mm 30mm 30 mm 10 mm 10 mm x3=15, y3=5, A3=300 mm2 321 332211 AAA AxAxAx A Axx i ii c 解 : 建立图示坐标系 求： Z形截面重心 。 例 题 7 x1=-15, y1=45, A1=300 x2=5, y2=30, A2=400 mm27 321 332211 AAA AyAyAy A Ayy i ii C (b)负面积法（负体积法） 解： 建立图示坐标系，由对 称性可知： yC=0 3 40 3 4 1 Rx 25,1 0 0 0,502 232 2 1 rAA RA 40 5 0 2 5 1 0 0 0 4 0 2 5 3 1 9 .6 5m m 5 0 1 0 0 0 2 5 ii c i xA x A 求： 图示截面重心。 例 题 8 252 x 403 x 40mm 50mm 20 mm 1 2 3 10cm x y o A B E D a b x y x 求： 若将图示均质梯形板在 E点挂起， 且使 AD保持水平， BE等于多少。 例 题 9 解： 建立如图的坐标系 要使 AD保持水平，梯形板的重心应 在 y轴上，即 xC 0 把梯形分为三角形与矩形两部分 设 BE x 由 ii C i xAx A 032 1 2 xabxaxbx 022 22 aaxx a.x 3660解出得 （ 3）用实验方法测定重心的位置 (a) 悬挂法 A FA P A B FB P C D E (b) 称重法 F1 F2 第一步： 01 lFxP C P lFx C 1 第二步： 02 lFxP C P lFx C 2 c o s ll s inc o s hxx CC l Hlc o s, l Hs i n 22 2212 1 Hl HP FFrz C 结论与讨论 1. 力在坐标轴上的投影为： c o sFX 2. 平面力的解析表达式为： jiF YX 3. 求平面汇交力系的合力 （ 1）几何法 根据力多边形法则，求得合力的大小和方向为： FF R 合力的作用线通过各力的汇交点。 （ 2）解析法 根据合力投影定理： R Rx R RyRxR F F )i,Fc os ( )Y()X(FFF 2222 力偶的等效定理： 在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相同， 则彼此等效。力偶矩是力偶作用效果的唯一量度。 4. 力的平移定理： 平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的 矩等于原来的力对新作用点的矩。 5. 平面任意力系向平面内任选一点 O简化，一般情况下，可得一 个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即 n i n i n i iR YX 111 jiFF 作用线通过简化中心 O。这个力偶的矩等于该力系对于点 O的主 矩，即 n i iOO )F(MM 1 6. 平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。 主 矢 主 矩 合成结果 说 明 FR 0 FR= 0 MO = 0 MO0 MO 0 MO 0 合 力 合 力 力 偶 平 衡 此力为原力系的合力，合力的作用线 通过简化中心 合力作用线离简化中心的距离 R OFMd 此力偶为原力系的合力偶，在这种情 况下主矩与简化中心的位置无关 8. 力在空间直角坐标轴上的投影 O x y F z y z O x F Fxy c os c os c os FZ FY FX c o s s ins in c o ss in FZ FY FX 二次投影法 直 接 投 影 法 （ 3）力对点的矩与力对轴的矩的关系 )()( )()( )()( FF FF FF zzO yyO xxO MM MM MM 力对点的矩矢在通过该点 的某轴上的投影，等于力对该 轴的矩。 9. 重 心 重心的坐标公式 i ii C i ii C i ii C P zPz P yPy P xPx q A F B C D E H F 测试：试画出所有分离体图（ 80分）和整体受力图（ 20分）