《函数极限》PPT课件.pptx

函 数 极 限 关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，的极限时即)(, xfx 二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势的极限时即)(,0 xfxx 一 、 自 变 量 趋 向 无 穷 大 时 函 数 的 极 限.sin时的变化趋势当观察函数xxx 播 放 问 题 :函数)(xfy在x的过程中, 对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.通过上面演示实验的观察: .0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx 问题:如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”. ;)()(任意小表示AxfAxf .的过程表示 xXx :.1定义 定 义 1 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 (不 论 它 多 么 小 ), 总 存 在 着 正 数 X,使 得 对 于 适 合 不 等 式 Xx 的 一 切 x ,所 对 应 的 函 数 值 )(xf 都 满 足 不 等 式 Axf )( , 那 末 常 数 A就 叫 函 数 )(xf 当 x 时 的 极 限 ,记 作 )()()(lim xAxfAxfx当或 定义 X Axfx )(lim .)(,0,0 AxfXxX恒有时使当 2.另两种情形: :.10情形x Axfx )(lim .)(,0,0 AxfXxX恒有时使当:.20情形x Axfx )(lim .)(,0,0 AxfXxX恒有时使当 Axfx )(lim:定理.)(lim)(lim AxfAxf xx 且 3.几何解释: xxy sinA XX .2, )(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当 Ay xfyXxXx 例1 证明2112 1lim xxx证|12| 1232112 1 xxx x故不妨设|x|1，而当|x|1时|1|2|12| xxx |12| 1232112 1 xxx |3|123 xx 0 2112 1xx要使同时成立和只须3|1| xx 3,1max X令时，便有则当Xx |12| 1232112 1 xxx |3x2112 1lim xxn . )(,)(lim:的图形的水平渐近线是函数则直线如果定义xfycycxfx 二 、 自 变 量 趋 向 有 限 值 时 函 数 的 极 限先看一个例子的变化趋势函数时考察1 )1(2)(,1 2 xxxfx 这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时， f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x1 时f(x)的极限。1 xyo4 问 题 :函数)(xfy在0 xx的过程中,对应 函数值)(xf无限趋近于确定值A. ;)()(任意小表示AxfAxf .0 00的过程表示xxxx x0 x0 x 0 x ,0邻域的去心点x .0程度接近体现xx :.1定义 定 义 2 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 (不 论 它 多 么 小 ),总 存 在 正 数 ,使 得 对 于 适 合 不 等 式 00 xx 的 一 切 x,对 应 的 函 数 值 )(xf 都 满 足 不 等 式 Axf )( ,那 末 常 数 A就 叫 函 数)(xf 当 0 xx 时 的 极 限 ,记 作 )()()(lim 00 xxAxfAxfxx 当或 定义 .)( ,0,0,0 0 Axf xx恒有时使当 注定义习惯上称为极限的定义其三个要素：10。正数，20。正数，30。不等式)|0(|)(| 0 xxAxf定义中 |0 0 xx 0 xx表示所以x x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0附近的变化趋势，即 x x0时f(x) 变化有无终极目标，而不是f(x) 在x 0这一孤立点的情况 。约定x x0但 xx0 0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于，对一固定的而言，合乎定义要求的并不是唯一的。由不等式 |f(x) A| 来选定，一般地，越小，越小2.几何解释: .2 ,)(, 0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当 Ay xfyxx 0 xAA A 0 x 0 x )(xfy xyo .,越小越好后找到一个显然 例2 证明5)13(lim2 xx证|2|3|5)(| xxf |2|3|5)(| xxf要使3|2| x只须于是0 )3( 时当 |2|0 x恒有 |5)(| xf 5)13(lim2 xx例3 设x 00 证明00lim xxxx 证000 | xx xxxx 00 | xxx 000 |,| xxxxx 只须为使0 ,min 00 xx取时当 |0 0 xx恒有 000 | xxxxx例4 证明)1(1lim0 aaxx证0（不妨设1） |1| xa要使 11 xa只须)1(log)1(log aa x又只须)1(log,11minlog aa令时当 |0 x )1(log11log aa x 11 xa |1| xa即1lim0 xx a 例5 证明212 1lim1 xxx证|12| |1|3212 1 xxxx不妨设41|1|0 x |)1(21|12| xx |1|21 x214121 |1|6|12| |1|3212 1 xxxxx故0 6,41min 取 有时当,|1|0 x 212 1xx 212 1lim1 xxx注 在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对|f(x) A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一下。 3.单侧极限:例如, .1)(lim 0,1 0,1)( 0 2 xf xx xxxf x证明设yo x1xy 1 12 xy两种情况分别讨论和分00 xx ,0 xx从左侧无限趋近; 0 xx记作,0 xx从右侧无限趋近;0 xx记作 左 极 限 .)( ,0,0 00 Axf xxx恒有时使当.)()(lim 00 AxfAxfxx 或记作右 极 限 .)( ,0,0 00 Axf xxx恒有时使当.)()(lim 00 AxfAxfxx 或记作00 0: 000 xxxxxx xxx 注意 .)()()(lim: 000 AxfxfAxfxx 定理例 6 .lim0不存在验证xxx证 xxxx xx 00 limlim 1)1(lim 0 x xxxx xx 00 limlim 11lim 0 x左右极限存在但不相等, .)(lim0不存在xfx y x1 1o 三 、 函 数 极 限 的 性 质1.局部有界性 定 理 若 在 某 个 过 程 下 , )(xf 有 极 限 ,则 存 在 过 程 的 一 个 时 刻 ,在 此 时 刻 以 后 )(xf 有 界 . 2.唯一性 定 理 若 )(lim xf 存 在 ,则 极 限 唯 一 .3.不等式性质（局部）定 理 (保 序 性 ) .),()(),(,0 .)(lim,)(lim00 00 BAxgxfxUx BxgAxf xxxx 则有若设 推 论 ).()(),(,0 ,)(lim,)(lim 00 00 xgxfxUx BABxgAxf xxxx 有则 且设定 理 (保 号 性 ) ).0)(0)(,),(,0 ),0(0,)(lim00 0 xfxfxUx AAAxfxx 或时当则 或且若推 论 ).0(0),0)(0)( ,),(,0,)(lim 000 AAxfxf xUxAxfxx 或则或 时当且若 4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定 义 . )(),(,),(),(,)( .),( ),(21 000时 的 子 列当 为 函 数即 则 称 数 列时使 得有 数 列 中或可 以 是设 在 过 程ax xfxfxfxfxf axnax xxxaax nn nn 定 理 .)(lim, )()(,)(lim Axf axxfxfAxf nn nax 则 有时 的 一 个 子 列 当是数 列若 证 Axfxx )(lim0 .)( ,0,0,0 0 Axf xx恒有时使当,lim 00 xxxx nnn 且又 .0 ,0,00 xx NnNn恒有时使当对上述,)( Axf n从而有.)(lim Axf nx 故 例如, 1sinlim0 xxx xxy sin,11sinlim nnn ,11sinlim nnn 11sin1lim 22 nnnnn函数极限与数列极限的关系函 数 极 限 存 在 的 充 要 条 件 是 它 的 任 何 子 列 的 极限 都 存 在 ,且 相 等 . H eine定理，又称归并原则 即AxfaxaxxAxf nnnnnax )(lim,)(lim证明设Axfax )(lim即时使当 |0,0 0 xx恒有 |)(| Axf再由axnn lim则对上述,0 N时使当Nn有 | axn又axn |0 axn故 |)(| Axf n Axf nn )(lim 设对axaxx nnn ,都有Axf nn )(lim要证Axfax )(lim用反证法若Axfax )(lim即满足，都有使对 x 0 |0 xx但0|)(| Axf现取n1有nx满足naxn 1|0 即axax nn ,但0|)(| Axf n此与Axf nn )(lim矛盾Axfax )(lim 例 7 .1sinlim0不存在证明xx证 xy 1sin ,1 nxn取,0lim nn x ;0nx且 ,2 14 1 nxn取,0lim nn x ;0nx且nx nnn sinlim1sinlim 而2 14sinlim1sinlim nx nnn而1lim n ,1二者不相等, .1sinlim0不存在故xx 四 、 小 结函 数 极 限 的 统 一 定 义;)(lim Anfn ;)(lim Axfx ;)(lim Axfx ;)(lim Axfx ;)(lim0 Axfxx ;)(lim0 Axfxx .)(lim0 Axfxx .)( ,0)(lim AxfAxf恒有从此时刻以后时刻(见下表) 过 程时 刻从此时刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf )(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx 00 xx过 程时 刻从此时刻以后 )(xf Axf )( 思 考 题 试问函数 0,5 0,10 0,1sin)( 2 xx xxxxxf 在0 x处 的左、右极限是否存在？当0 x时，)(xf的 极限是否存在？ 思 考 题 解 答 )(lim0 xfx ,5)5(lim 20 xx左极限存在, )(lim0 xfx ,01sinlim0 xxx右极限存在, )(lim0 xfx )(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在.