二次函数、二次方程、二次不等式间的关系

2013 届高三理科数学一轮复习8 二次函数、二次方程、二次不等式间的关系【考点解读】二次函数的性质： B 级【复习目标】1掌握二次函数的图像和性质；2理解二次函数、二次不等式、二次方程之间的关系。活动一：基础知识说明： 为了学习的方便，在解一元二次不等式ax 2bx c 0 和 ax 2bx c0 时，二次项系数a 都变为正数 ,解一元二次方程时二次项系数a 同样也变为正数。1三个 “二次 ”的基本关系：b24ac000ax 2yyyybxc(a0) 的图象Ox1x2Ox Oxx方程 ax 2bxc0的根等 一ax2bxc0式 元( a0)的解集的 二ax 2解 次bxc0集 不( a0) 的解集2三类重要题型：（ 1）二次函数的区间最值：y ax2bxc(a0) 在 m, n 上的最值： 解析式确定，区间确定；解析式确定，区间不定；对称轴不定，区间确定； 开口向上求最大值与开口向下求最小值，分对称轴与区间中点的两种位置关系讨论； 开口向上求最小值与开口向下求最大值，分对称轴与区间的三种位置关系讨论； 同时求最大值和最小值分四种情况讨论。（ 2）二次不等式恒成立问题： 二次不等式在 R 上恒成立ax2a 0； ax2bx c 0(aa 0bx c 0(a 0, x R) 恒成立0, x R) 恒成立00 二次不等式在区间上恒成立：化归为区间最值问题ax2bxcp(a0) 在区间 m, nax2bxcp(a0) 在区间 m, n上恒成立f (x) 在区间 m, n上恒成立f (x)在区间 m, n上的最小值f (x)minp即可；上的最小值f (x)maxp即可；（ 3）二次方程根的分布（详见考点9）3二次函数的三种解析式：（ 1）一般式：f (x)ax2bxc(a0)第1 页 共 4 页（ 2）顶点式：f ( x)a(xh)2k (a0)（ 3）两根式： f ( x) a(x x1 )( x x2 )( a 0)4二次函数的图像和性质：f (x) ax2bxc(a0)顶点： ( 2ab , 4ac4ab 2)递减区间： (,2ab 递增区间： 2ab ,)5若二次函数 yf (x) 恒满足 f ( x m)f (xn) ，则其对称轴为mnx2活动二：基础练习1已知二次函数f (x) 同时满足条件： （ 1） f (1x) f (1 x) ； (2)f ( x) 的最大值为15；（ 3） f ( x) =0 的两根立方和等于 17。求 f (x) 的解析式。2求函数yx22ax1 在 0,2 上的值域。3已知f ( x)x23x5, xt ,t1 ，若 f ( x) 的最小值为 h(t ) ，写出 h(t) 的表达式。4已知f ( x)x2ax3a ，若 x 2, 2 时， f ( x)0 恒成立，求实数a 的取值范围。第2 页 共 4 页活动三：典型例题例 1设 a 为实数，函数 f (x) x2x a 1， x R .（ 1）讨论 f ( x) 的奇偶性；（ 2）求 f ( x) 的最小值例 2定义在 R 上的奇函数 f(x) ，当 x 0 时， f (x) 是减函数，如果当x 0,1 时，不等式f (1 2 x24a2 ) f (4ax3) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围。例 3已知函数f ( x)lg( a 21) x2( a1)x1（ 1） f ( x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；（ 2） f ( x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围；第3 页 共 4 页活动四：自主检测1若函数f (x)=x2 + 2(a 1)x +2 在 ( ,4 上是减函数 , 则实数 a 的取值范围是。2若方程2ax2 x 1=0 在 (0 , 1 内恰有一解，则实数 a 的取值范围是。3函数 f(x)=x2 2x +3 在 0,a 上有最大值3，最小值2, 则实数 a 的取值范围是。4函数 f ( x) log 1(x2ax 2a) 在 (,1 ) 单调递减，则实数a 的取值范围是。225函数 f( x)= ax2+bx+c( a0) 对任意实数 x 都有 f(2 x)= f(2+ x), 试求满足不等式 f log1 (x2x 21 )2f log1(2x2 x 85) 的 x 的取值范围。2第4 页 共 4 页