随机过程考试真命题

1、设随机过程X (t) = R -1 + C , t e (0, s) , C为常数，R月服从0,1区间上的均匀分布。(1) 求X(t)的一维概率密度和一维分布函数；(2) 求 X (t) 的均值函数、相关函数和协方差函数。2、设W (t),-gt 是参数为b 2的维纳过程，R N (1,4)是正态分布随机变量； 且对任意的g 15，W (t)与R均独立。令X (t)二W (t) + R，求随机过程&(t), gt a的均值函数、相关函数和协方差函数。3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即九二180 ;且每个 顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内1( 8个小时商场营业额的数学期望与方差。4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：0.3 0.70 P = 00.20.80.700.3丿(1) 求两步转移概率矩阵P及当初始分布为PX =1=1, PX =2= PX =3=00 0 0时，经两步转移后处于状态2的概率。(2) 求马尔可夫链的平稳分布。5设马尔可夫链的状态空间I = 123,4,5，转移概率矩阵为：0.30.40.300、0.60.4000P=010000000.30.7 0是参数为九的泊松过程，计算EIn(t)N(t + s)!o7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以N记在i第层进入电梯的人数。假定N相互独立， 且N是均值为九的泊松变量。在第i层进入的各个人相互独立地以概率P在第j层离开电iiij梯，工p =1。令o .二在第j层离开电梯的人数。ijjji（1）计算 E（O ）j（2）O 的分布是什么j（3）O 与 O 的联合分布是什么jk8、一质点在1,2 ,3点上作随机游动。若在时刻t质点位于这三个点之一，则在t,t + h）内， 它都以概率h + o（h）分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微 分方程，转移概率P （t）及平稳分布。ij1 有随机过程忆 gt5和%t） gt5设抽二A sin t+0） ,n（t） = B sin t+B+妨， 其中A,B,o, 为实常数，购匀分布于0, 2冗，试求R胡（s,t）2（15分）随机过程敏）二Acos（t+）,t o是强度为九的泊松过程，丫 ,k=l,2,L 是一列独立同分布随机变量，且 k与N(t),t O独立，令 X(t)=晋 Y ,t 0，证明：若 E(Y2S)，则 E X(t) = tEY k11k=17.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为Q，而今天无雨明天有雨的概率为0 ；规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态1。设a= 0.7,0 = 0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。- t +是平稳过程，g t ，其中0是常数，为均匀分布在0,2k上的随机变量，且), 7 t +与相互独立，R0和佃)分别是0, -g t +8 的相关函数与功率谱密度，试证：(1)M), -gt+g 是平稳过程，且相关函数：(J= 2 殳(t)2)n(t),-gt+g-)+ S 6+)9已知随机过程g(t)的相关函数为：伟“ )=e“2，问该随机过程敏)是否均方连续？是否均方可微？1、设随机过程X (t) = R -1 + C , t e (0, s) , C为常数，R月服从0,1区间上的均匀分布。(1) 求X(t)的一维概率密度和一维分布函数；(2) 求 X (t) 的均值函数、相关函数和协方差函数理论基础】(1)F (x)二 ix f (t)dt，则 f (t)为密度函数;1,a x bb a，分布函数0,其他g(2)X(t)为(a,b)上的均匀分布，概率密度函数f(x)= 0, x aF (x) = 巳,a x b(3)参数为九的指数分布，概率密度函数f (x)=r: ； 0，分布函数11 e 入,x 011F ”0,x0，心壮，D(x)花1(x(4)E(x)屮,D(x) m 2的正态分布概率密度函数f (x)二冇e,-g x g，1(t 一卩)2分布函数F(x) = 一= ixe一 2a2 dt,gxg，若卩=Q =1时，其为标准正态分布。 oj 2 兀g【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。(1)因R为0,1上的均匀分布，C为常数，故X(t)亦为均匀分布。由R的取值范围可知，X (t)为C, C +1上的均匀分布，因此其一维概率密度f (x) = tC x C +t，一维分布 0,其他0, x Cx 一 C函数 F (x) = 4, C X C +1(2 )根据相关定义，均值函数m (t) = EX (t) = - + C ； % 21C相关函数 R (s, t) = EX (s)X (t) = st +(s +1) + C2 ；X 3 2协方差函数 B (s, t) = EX (s) - m (s)X (t)-XXstmx(t) = 12 (当s =t 时为方差函数)【注】D(X) = E(X2) - E2(X) ; B (s, t) = R (s, t) - m (s)m (t)XXXX求概率密度的通解公式 f (x) = f (y)| y(x)|= f (y)/|x(y)| t2、设W (t), gt 是参数为b 2的维纳过程，R N (1,4)是正态分布随机变量；且对任意的-g15，W(t)与R均独立。令X(t) = W(t) + R，求随机过程&(t), gt a的均值函数、相关函数和协方差函数。【解答】此题解法同1 题。依题意，W(t) N(0,b 2丨t|)，RN(1,4)，因此X (t) = W(t) + R服从于正态分布。故:均值函数 m (t) = EX (t) = 1 ；X相关函数 R (s，t) = EX (s)X (t) = 5 ；X协方差函数B(s，t) = EX(s)-m (s)X(t)-m (t) = 4 (当s =t 时为方差函数)XXX3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即九=180 ;且每个 顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内1( 8个小时商场营业额的数学期望与方差。【解答】此题可参见课本习题3.10题。由题意可知，每个顾客的消费额Y是服从参数为s的指数分布，由指数分布的性质可知：E(Y) = =,D(Y)=，故E(Y2)=，则由复合泊松过程的性质可得：一天内商场营 ss 2s 2业额的数学期望m=8 x 180 x E(Y厂X一天内商场营业额的方差b 2=8 x 180 x E(Y2)。X4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：0.3 0.70 P = 00.20.80.700.3丿(1)求两步转移概率矩阵P及当初始分布为PX =1=1, PX =2= PX =3=00 0 02）求马尔可夫链的平稳分布。【解答】可参考教材例4.3 题及4.16 题（1）两步转移概率矩阵0.30.70、0.30.70、0.090.350.56、P (2) = PP =00.20.800.20.8=0.560.040.4、0.700.3丿、0.700.3 /、0.420.490.09 丿当初始分布为 p X 二 1二 1, p X 二 2二 p X 二 3二 0 时，0 0 00.09 0.35 0.56、 (10 00.56 0.040.4 =(0.09 0.35 0.56)0.42 0.49 0.09丿故经两步转移后处于状态2的概率为0.35。（2）因为马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下方程组兀=0.3 兀 + 0k + 0.7兀1123兀=0.7兀 + 0.2k + 0k2123k = 0k + 0.8k + 0.3k3123k +k +k = 1123解上述方程组得平稳分布为878k =, k =, k =1232233235、设马尔可夫链的状态空间I = 1,2,3,4,5，转移概率矩阵为：0.30.40.300、0.60.4000P=010000000.30.7 00010丿求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。解答】此题比较综合，可参加例4.13 题和 4.16 题画出状态转移图如下：(1)由上图可知，状态分类为G二123; G二4,512(2)由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。A对G1常返闭集而言，解方程组兀=0.3 兀 + 0.6兀 + 0K1123兀=0.4兀+ 0.4兀+1兀2123兀=0.3 兀 + 0h + 0h3123兀+兀+兀 =1123解上述方程组得平稳分布为3725937兀=,兀=,兀 =115290350则各状态的平均返回时间分别为153729025935037B对g常返闭集而言，解方程组兀=0.3k +1 兀112 O是参数为九的泊松过程，计算E In(t)N(t + s)。【解答】E n (t) N (t + s)=E N (t)(N (t + s) - N (t) + N (t) )_=E N (t)(N (t + s) - N (t) + E N (t )2_ =E n (t) E n (t + s) - N (t)+ E N (t )2 =九t 九s +九t + (九t)2=九t (1+九t +九s)7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以N记在i第层进入电梯的人数。假定N相互独立， ii且N是均值为九的泊松变量。在第i层进入的各个人相互独立地以概率P在第j层离开电 iiij梯，工p =1。令O .二在第j层离开电梯的人数。ijjji(1) 计算 E(O )j(2) O 的分布是什么(3) O 与 O 的联合分布是什么 jk解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，此次考试此题不考 以N记在第i层乘上电梯，在第j层离去的人数，则N是均值为九p的泊松变量,且全部ijiji ijN.(i 0, j i)相互独立。因此：ij EO 二E工N 二工九pjiji ijii由泊松变量的性质知，O二工N是均值为工九p的泊松变量jiji ijii因O与O独立，则P(OO ) = P(O )P(O ) = -e-e= 上e-2入,九为期 ik人 i / / / i!k!i!k!望。望。8、一质点在1,2 ,3点上作随机游动。若在时刻t质点位于这三个点之一，则在t,t + h)内， 它都以概率h + o(h)分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微 分方程,转移概率 p (t) 及平稳分布。ij【解答】参见教材习题5.2题依题意，由lim匕 =q (i丰j)得，q. = 1(i丰j)，柯尔莫哥洛夫向前方程为AtijiJP =-2p (t) + p(t) + p(t)，ijiji, J-1i, J +1由于状态空间I = 123，故p (t) + p (t) + p (t)二 1， ij i, j-1 i, j+1所以p=2p (t) +1 -p (t) = 3p (t) +1 ，ijijijij解上述一阶线性微分方程得：p (t)ij=ce由初始条件pij(0)=1, i = j0, i 丰 j确定常数c，得故其平稳分布p (t)=ijI 2 上.+ e 3 , i = j 33II 丿 t 一一一e 3 ,i 丰j3 3兀=lim p (t) = , j = 1,2,3 j tT8 ij 31、有随机过程忆 gt5和%t) gt5设g(t)二A sin偵 t+0) ,n(t) = B sin偵 t+0+),其中A，B，o, 为实常数，均匀分布于0，2冗，试求R#s,t)舟,0如2冗0, 其它d9(s, t) = E g (s)H (t) = f A sin (os +0 )B sin (ot +0 +90=- AB f I cos (o(z - s )+申)-cos (o (/ + s4兀L0=AB cos Co(f s )+9), -g s, t +s22、随机过程g(t)二Acos(t+)，-gt =0，依题意N(t)是参数为九的Poisson过程。1)在开门半小时中，无顾客到来的概率为:二 e -2在未来半小时仍无顾客到来可表(2)在开门半小时中无顾客到来可表示为N f1L 012丿示为 0，从而所有状态都是遍历状态，于 是极限分布就是平稳分布。设平稳分布为冗二冗，冗2，冗J，求解方程组：冗二冗P冗1 +冗2 +冗3 =】即：1兀2 11兀1 2 111+ 兀 + 兀 =兀3 2 6 3 112+ 兀 +兀=兀9 5-92 3 3 21+ 兀=兀2 6 3 3兀+兀 +兀 =1123得：896兀=, K =, 兀=123223323即极限分布为：“,1232323由计算结果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而畅销状态的可能 性最小。5、试对以下列矩阵为一步转移概率矩阵的齐次马尔可夫链的状态空间进行分解。(2) P =1-41- 2 o o 10000003 - 4 1 -0 0 00 2-3011 11 -0 0 00.700.3000.10.80.100（1）P =0.400.6000000.50.50000.50.55、6、一个服务系统，顾客按强度为尢的Poisson过程到达，系统内只有一个服务员，并且服 务时间服从参数为卩的负指数分布，如果服务系统内没有顾客，则顾客到达就开始服务，否 则他就排队。但是，如果系统内有两个顾客在排队，他就离开而不返回。软（t）表示服务系 统中的顾客数目。（1）写出状态空间；2）求 Q 矩阵7、设0,- t +是平稳过程，令 qC）=g（t）cosC0t + ） g t +s，其中%是常数伺为均匀分布在0,2k上的随机变量且 比）,7 t +初与相互独立，占）和（）分别是C）, 一 g t 的相关函数与功率谱密度，试证:（1）,-gt +初是平稳过程，且相关函数：(2 ) Q _ g t +g的功率谱密度为S 6)_ -1 6一 )+ s 6+ )n4 go go7、7:(1) m(t)_ eROL ElgOcosCo t + )_ EIgQbLosCo t + )noo_ m f2K cos(o t +“d0 _ 0g 002兀R (/,t +t)_ EBSC +t)_ EEgQcosC t +T)cos(o ( +T )+)_ e EC M + T)eLosC t + 0)cos Co Ct +T00_ R (c )f cos(o t +0)cos(o (t +T)+e).d0goo2 兀0_ R (T)cos o T2 g0故为平稳过程2)s (o)_ fe_joTR (T)dT _f e -joT 丄 R (T )cos o t dT nn2 g0_g_g_+ge_jOT 1R (c)jT + e一呼 dT2 g_g_ 14_ -ts 6_ )+ s)4 g0 g0fe _j(_叫丄 R G) dTG) dT_gg8、已知随机过程g(t)的相关函数为：Rg ()_e_t2，问该随机过程g(t)是否均方连续？是否均方可微？8、解答： T=0 时，相关函数是连续的，故随机过程在任意时刻均方连续R (t )_ _2aTe _XT 2 gR (0)_2x g由于二阶导数在T = 0存在，故过程是均方可微的。