资源描述
3.6简 单 的 三 角 恒 等 变 换1 化 简 三 角 函 数 式 的 基 本 要 求 ：(1)能 求 出 值 的 要 求 出 值 来 ；(2)使 三 角 函 数 式 的 项 数 、 三 角 函 数 的 种 类 及 角 的 种 类 尽 可能 少 ；(3)使 三 角 函 数 式 的 次 数 尽 可 能 低 ；(4)分 母 中 尽 量 不 含 三 角 函 数 式 和 根 式 答 案 ： B 2 (2013上 饶 四 校 联 考 )已 知 (0， )， 且 sin cos 12， 则 cos 2 的 值 为 ( ) A. 74 B 74 C 74 D 14 【 解 析 】 将 sin cos 12两 边 平 方 ， 得 1 sin 2 14， sin 2 34， sin 0， cos 0， 可 知 2 |cos |， 2 34 ， 即 2 32 ， cos 2 74 ， 故 选 B. 【 答 案 】 B 3.（ 2014杭 州 调 研 )已 知 tan 且 0， 则 （ )A. B. C. D. 214 2 4cos 2sinsin2 2 552 552 105310102 【 解 析 】 由 tan ， 得 tan 又 0， 所 以 sin 故 【 答 案 】 A 21tan1 1tan4 312 1010 552sin22 cossin22 cossinsin24cos 2sinsin2 2 4 设 、 (0， )， 且 sin( ) 513， tan2 12， 则 cos _. 【 解 析 】 tan 2 12， tan 2tan 21 tan 2 2 2 121 12 2 43， 而 (0， )， 4 ， 2 . 由 tan sin cos 43及 sin2 cos2 1 得 sin 45， cos 35. 又 sin( ) 513 22 ， 34 ， ， cos( ) 1213. cos cos( ) cos( )cos sin( )sin 1213 35 513 45 1665. 【 答 案 】 1665 5.2cos 5 sin 25sin 65 的 值 为 _ 【 解 析 】 2cos 5 sin 25sin 65 2cos 5 sin（ 30 5）sin 65 2cos 5 12cos 5 32 sin 5cos 25 32 sin 5 32cos 5cos 25 3（ sin 30sin 5 cos 30cos 5）cos 25 3cos 25cos 25 3. 【 答 案 】 3 三 角 函 数 式 的 化 简(2)二 看 “ 函 数 名 称 ” ， 看 函 数 名 称 之 间 的 差 异 ， 从而 确 定 使 用 的 公 式 ， 常 见 的 有 “ 切 化 弦 ” ；(3)三 看 “ 结 构 特 征 ” ， 分 析 结 构 特 征 ， 可 以 帮 助 我们 找 到 变 形 的 方 向 ， 常 见 的 有 “ 遇 到 分 式 要 通 分 ”等 【 方 法 总 结 】 (1)三 角 函 数 式 的 化 简 原 则 一 是 统 一 角 ， 二 是统 一 函 数 名 .能 求 值 的 求 值 ， 必 要 时 切化 弦 ， 更 易 通 分 、 约 分 .(2)三 角 函 数 化 简 的 方 法 主 要 是 弦 切 互 化 ， 异名 化 同 名 ， 异 角 化 同 角 ， 降 幂 或 升 幂 . 三 角 恒 等 式 的 证 明三 角 恒 等 式 的 证 明 主 要 有 两 种 类 型 ： 绝 对 恒 等 式 与 条 件 恒等 式 (1)证 明 绝 对 恒 等 式 要 根 据 等 式 两 边 的 特 征 ， 化 繁 为 简 ，左 右 归 一 ， 变 更 论 证 ， 通 过 三 角 恒 等 式 变 换 ， 使 等 式 的 两边 化 异 为 同 (2)条 件 恒 等 式 的 证 明 则 要 认 真 观 察 ， 比 较 已 知 条 件 与 求 证等 式 之 间 的 联 系 ， 选 择 适 当 途 径 对 条 件 等 式 进 行 变 形 ， 直到 得 到 所 证 等 式 ， 或 者 将 欲 证 等 式 及 条 件 进 行 变 式 ， 创 造机 会 代 入 条 件 ， 最 终 推 导 出 所 证 等 式 （ 1) 求 证 ： （ 2） 已 知 ： 2sin =sin +cos ,2sin2=sin 2,求 证 ： 2cos 2=cos 2. xxxxxx x sincos11cossin1cossin 2sin 【 证 明 】 (1)因 为 左 边 2sin xcos x sin x （ cos x 1） sin x （ cos x 1） 2sin xcos xsin2x （ cos x 1） 2 2sin xcos xsin2x cos2x 2cos x 1 2sin xcos x 2cos2x 2cos x sin x1 cos x sin x（ 1 cos x）（ 1 cos x） （ 1 cos x） sin x（ 1 cos x）sin2x 1 cos xsin x 右 边 所 以 原 等 式 成 立 （ 2） 由 2sin =sin +cos 两 边 平 方 得4sin2 =1+2sin cos =1+sin 2 ,将 2sin2 =sin 2 代 入 上 式 得 4sin2 =1+2sin2 , 2sin2 =4sin2 -1, 1-2sin2 =1-（ 4sin2 -1） =2（ 1-2sin2 ） ,此 即 cos 2 =2cos 2 , 2cos 2 =cos 2 得 证 . 三 角 形 内 的 三 角 变 换 = 1 sin cos cos sin tan sin sin sin sin B C B CA B C B C = 1 1 1tan tan tan A B C , 无 论 如 何 交 换 y中 两 个 角 的 位 置 ， y的 值 不 会 发 生 变 化 . （ 2） 总 有 cos(B-C) 1, y= 1 2sin tan cos cosAA A B C 1 2sintan cos 1AA A . 2sincos 1AA = 24sin cos2 2 2tan 2cos 2A A AA ,且 1tan A = 21 tan 22tan 2AA , y 1 2sintan cos 1AA A =1 1 3tan2 2tan 2 AA , 2 求 值 ： 主 要 有 三 类 求 值 问 题(1)“ 给 角 求 值 ” ： 一 般 所 给 出 的 角 都 是 非 特 殊 角 ， 从表 面 来 看 是 很 难 的 ， 但 仔 细 观 察 非 特 殊 角 与 特 殊 角 总有 一 定 关 系 ， 解 题 时 ， 要 利 用 观 察 得 到 的 关 系 ， 结 合公 式 转 化 为 特 殊 角 并 且 消 除 非 特 殊 角 的 三 角 函 数 而 得解 (2)“ 给 值 求 值 ” ： 给 出 某 些 角 的 三 角 函 数 式 的 值 ， 求另 外 一 些 角 的 三 角 函 数 值 ， 解 题 关 键 在 于 “ 变 角 ” ，使 其 角 相 同 或 具 有 某 种 关 系 (3)“ 给 值 求 角 ” ： 实 质 是 转 化 为 “ 给 值 求 值 ” ， 关 键也 是 变 角 ， 把 所 求 角 用 含 已 知 角 的 式 子 表 示 ， 由 所 得的 函 数 值 结 合 该 函 数 的 单 调 区 间 求 得 角 从 近 两 年 的 高 考 试 题 来 看 ， 利 用 同 角 三 角 函 数 的 关系 改 变 三 角 函 数 的 名 称 ， 利 用 诱 导 公 式 、 和 差 角 公 式及 二 倍 角 公 式 改 变 角 的 恒 等 变 换 是 高 考 的 热 点 ， 常 与三 角 函 数 式 的 求 值 、 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 、 向 量 等知 识 综 合 考 查 ， 既 有 选 择 题 、 填 空 题 ， 又 有 解 答 题 ，属 中 低 档 题 1.（ 2013全 国 新 课 标 卷 )已 知 sin 2 ， 则 cos2 （ )A. B. C. D. 【 解 析 】 结 合 二 倍 角 公 式 进 行 求 解 . sin 2 cos2 【 答 案 】 A 32 461 3121 3232 6123212 2sin12 22cos14 3.（ 2013湖 南 卷 )已 知 函 数 f（ x) sin cos ， g（ x) 2sin2 .（ 1)若 是 第 一 象 限 角 ， 且 f（ ) ， 求 g（ )的 值 ；（ 2)求 使 f（ x)g（ x)成 立 的 x的 取 值 集 合 .【 解 析 】 f（ x) sin cos sin x cos x cos x sin x sin xg（ x) 2sin 2 1 cos x. 6x 3x 6x 3x2x 53323 21 21 23 32x （ 1)由 f（ ) ， 得 sin .又 是 第 一 象 限 角 ， 所 以 cos 0.从 而 g（ ) 1 cos 1 （ 2)f（ x) g（ x)等 价 于 sin x 1 cos x，即 sin x cos x 1， 于 是 sin 从 而 2k x 2k ， k Z，即 2k x 2k ， k Z.故 使 f（ x) g（ x)成 立 的 x的 取 值 集 合 为533 53 51541sin-1 2 33 216 x6 6 6532 Zkkxkx ,3222 4.（ 2014四 川 卷 ） 已 知 函 数 f（ x) sin （ 1)求 f（ x)的 单 调 递 增 区 间 ；（ 2)若 是 第 二 象 限 角 ， 求 cos sin 的 值 .【 解 析 】 （ 1)因 为 函 数 y sin x的 单 调 递 增 区 间 为 ， k Z，由 2k 3x 2k ， k Z，得 ， k Z. 43 x 2cos4cos543 f kk 22,22- 2 4 2 3212324- kxk 所 以 ， 函 数 f（ x)的 单 调 递 增 区 间 为 ， k Z.（ 2)由 已 知 ， 得 所 以 sin cos cos sin （ cos2 sin2 )，即 sin cos （ cos sin )2（ sin cos ).当 sin cos 0时 ， 由 是 第 二 象 限 角 ， 得 2k ，k Z，此 时 ， cos sin .当 sin cos 0时 ， （ cos sin ) 2 由 是 第 二 象 限 角 ， 得 cos sin 0，此 时 cos sin 综 上 所 述 ， cos sin 或 3212,324 kk 22 sincos4cos544sin3 af4 4 4sinsin -4cos cos54 54 432 54 25 252
展开阅读全文