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课 标 版 理 数 8.3空间点、线、面的位置关系及平行关系 1.基本公理知 识 梳 理名称文字语言符号语言公理1如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 l 公理2过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面A、B、C不共线 A、B、C平面且是唯一的公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线若P ,且P ,则 =a,且P aA lB lAB 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行设a、b、c为直线,a b且b c,则a c2.空间两条直线的位置关系位置关系公共点的个数共面直线相交直线有且仅有一个公共点平行直线在同一个平面内,没有公共点异面直线不在同一平面内,没有公共点 位置关系公共点的个数直线在平面内直线上有两个点在平面内,则所有点都在平面内直线在平面外直线和平面相交直线与平面有且仅有一个公共点直线和平面平行直线与平面没有公共点3.直线与平面的位置关系 4.平面与平面的位置关系5.平行关系的判定定理(1)直线与平面平行的判定定理:平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面 平行.(2)平面与平面平行的判定定理:位置关系公共点的个数两个平面平行没有公共点两个平面相交有一条公共直线 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.6.平行关系的性质定理(1)直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.(2)平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 1.已知直线l1、l2与平面,则下列结论正确的是()A.若l1 ,l2 =A,则l1、l2为异面直线B.若l1 l2,l1 ,则l2 C.若l1 l2,l1 ,则l2 D.若l 1 ,l2 ,则l1 l2答案DA错,l1、l2也可能相交;B错,l2也可能在内;C错,l2也可能在内;D正确,垂直于同一平面的两条直线平行.故选D. 2.若平面平面,直线a平面,点B ,则在平面内过B点的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一与a平行的直线答案A当直线a在平面内且经过B点时,a平面,但这时在平面内过B点的所有直线中,不存在与a平行的直线,而在其他情况下,都可以存在与a平行的直线,故选A. 3.已知m、n是不重合的直线,、是不重合的平面,有下列命题:若m ,n ,则m n;若m ,m ,则 ;若 =n,m n,则m 且m ;若m ,m ,则 .其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3 答案B如图:m不平行于n;如图:与相交; 如图:m在内;同时垂直于一条直线的两个不重合平面平行,故选B. 4.、为两个互相平行的平面,a、b为两条不重合的直线,下列条件:a,b ;a ,b ;a ,b ;a ,b .其中是a b的充分条件的为()A.B.C.D.答案C由可得出a、b平行或异面,故不充分;由可得出a b,故不充分;由可得出a、b平行或异面或相交.只有满足题意,故选C. 5.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,AB CD,BA AD,CD=2AB,PA底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系为. 解析取PD的中点F,连结EF、AF,在PCD中,EF CD.又 AB CD且CD=2AB, EF AB, 四边形ABEF是平行四边形, EB AF.又 EB面PAD,AF面PAD, BE面PAD. 12答案平行 典例1(1)(2014辽宁,4,5分)已知m,n表示两条不同直线,表示平面.下列说法正确的是()A.若m ,n ,则m nB.若m ,n ,则m nC.若m ,m n,则n D.若m ,m n,则n (2)(2013课标全国,4,5分)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足l m,l n,l ,l ,则()A. 且l B. 且l C.与相交,且交线垂直于l D.与相交,且交线平行于l典 例 题 组空间点、线、面的位置关系 答案(1)B(2)D解析(1)A选项m、n也可以相交或异面,C选项也可以n ,D选项也可以n 或n与斜交.根据线面垂直的性质可知选B.(2)若 ,则m n,这与m、n为异面直线矛盾,所以A不正确.将已知条件转化到正方体中,易知与不一定垂直,但与的交线一定平行于l,从而排除B、C.故选D. 长(正)方体、三棱柱、三棱锥等常见几何体模型承载着空间线面位置关系,具有很好的验证功能,在客观性试题中用好模型,会事半功倍. 1-1若直线l不平行于平面,且l ,则()A.内的所有直线与l异面B.内不存在与l平行的直线C.内存在唯一的直线与l平行D.内的直线与l都相交答案B解析若内存在直线m l, l ,则l ,与题设矛盾,故选B. 1-2m、n是不同的直线,、是不同的平面,有以下四个命题:若 , ,则 ;若 ,m ,则m ;若m ,m ,则 ;若m n,n ,则m .其中真命题的序号是()A.B.C.D.答案A解析确定命题正确常常需要严格的证明,判断命题错误只需举一个反例就可以了.如图,在正方体AC中,平面BC垂直平面AC,直线AD平行于平面BC,但直线AD并不垂直于平面AC故错误,排除C,D;由线面平行 的判定定理知,缺少条件m ,故错误.故选A. 典例2(2014课标,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC;(2)设二面角D-AE-C为60,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积. 3线面平行的判定与性质 解析(1)连结BD交AC于点O,连结EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO PB.又EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)因为PA平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,|为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则D(0, ,0),E,=.AB AP3 3 10 ,2 2 AE 3 10, ,2 2 设B(m,0,0)(m0),则C(m,0),=(m,0).设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,3 AC 3 则即可取n1=.又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设知|cos|=,即=,解得m=.因为E为PD的中点,所以三棱锥E-ACD的高为.三棱锥E-ACD的体积V= =.11 0,0,n ACn AE 3 0,3 1 0,2 2mx yy z 3, 1, 3m 12 233 4m 12 321213 12 3 32 12 38 证明线面平行的方法:(1)利用定义证明直线a与平面没有公共点,一般结合反证法来证明,这时“平行”的否定应是“在平面内”或“相交”,只有在排除这两种位置关系后才能得出“直线a与平面平行”这一结论.(2)利用直线与平面平行的判定定理,使用该定理时,应注意定理成立时所满足的条件.(3)利用面面平行的性质定理,把面面平行转化为线面平行.(i)一直线在两平行平面中的一平面内,则这条直线与另一平面平行.(ii)一直线在两平行平面外,且与其中一平面平行,则这条直线与另一平面也平行. 2-1如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证:MN平面AA1B1B.证明如图,作ME BC,交BB 1于E,作NF AD,交AB于F,连结EF,则EF平面AA1B1B. 易知=,=.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C=BD,CM=DN, B 1M=NB, =, ME=NF.又ME BC AD NF,四边形MEFN为平行四边形, MN EF.MEBC 11BMBC NFAD BNBDMEBC BNBD NFAD EF平面AA1B1B且MN平面AA1B1B, MN平面AA1B1B. 典例3(2014首师大大兴附中检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求证:平面AB1D1平面C1BD;(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明A1E=EF=FC. 解题导引(1)利用面面平行的判定定理证明.(2)利用面面平行的性质得面面平行的判定与性质 到平行关系,进而得到相等关系.解析(1)证明:因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以AB1 C1D.又因为C1D平面C1BD,AB1平面C1BD,所以AB 1平面C1BD.同理,B1D1平面C1BD.又因为AB1 B1D1=B1,AB1平面AB1D1,B1D1平面AB1D1,所以平面AB1D1平面C1BD. (2)如图,连结A1C1交B1D1于点O1,连结AO1,与A1C交于点E.因为AO1平面AB1D1, 所以点E在平面AB1D1内,所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.连结AC交BD于点O,连结C1O,与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.下面证明A1E=EF=FC:因为平面A 1C1C平面AB1D1=EO1,平面A1C1C平面C1BD=C1F,平面AB1D1平面C1BD,所以EO1 C1F,在A1C1F中,O1是A1C1的中点,所以E是A1F的中点,即A1E=EF.同理可证OF AE,所以F是CE的中点,即FC=EF,所以A 1E=EF=FC. (2)利用面面平行的判定定理.(3)利用两个平面垂直于同一直线.(4)证明两个平面同时平行于第三个平面.1.平面与平面平行的判定方法(1)利用面面平行的定义,此法一般与反证法结合.2.在平面和平面平行的判定定理中,“两条相交直线”中的“相交”两个字不能忽略,否则结论不一定成立. 3-1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E、F、G分别是BC、DC、SC的中点,求证:(1)直线EG平面BDD1B1;(2)平面EFG平面BDD1B1. 证明(1)如图,连结SB, E、G分别是BC、SC的中点, EG SB.又 SB平面BDD 1B1,EG平面BDD1B1, 直线EG平面BDD1B1.(2)连结SD, F、G分别是DC、SC的中点, FG SD.又 SD平面BDD1B1,FG平面BDD1B1, FG平面BDD1B1,又EG平面BDD1B1,EG平面EFG,FG平面EFG,EG FG=G,平面EFG平面BDD 1B1.
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