高考数学文一轮复习课件第8第三圆的方程苏教江苏

第三节 圆的方程 第 三 节 圆 的 方 程 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 基础梳理 1 圆的方程 ( 1 ) 标准方程： ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 ，其中 _ _ _ _ _ _ 为圆心， r 为半径 ( 2 ) 一般方程： x 2 y 2 Dx Ey F 0( D 2 E 2 4 F 0) 其中圆心为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，半径为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . (a， b) D 2 ， E 2 1 2 D 2 E 2 4 F ( 3 ) 圆的参数方程： x a r co s y b r s i n ( 为参数 ) 其中 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 为圆心， _ 为半径 (a， b) r 思考感悟 二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圆的条件是什么 ？ 提示： A C 0， B 0， D2 E2 4AF0. 2 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系可以利用点与圆心间的 距离跟半径 r 的大小关系的比较来判断 ( 1 ) 点 P ( x 0 ， y 0 ) 与 M ： ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 的位置关系有： ( x 0 a ) 2 ( y 0 b ) 2 r 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； r 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 点 P在圆外 点 P在圆上 点 P在圆内 1圆 (x a)2 (y b)2 m2(m0)的圆心是 _，半径是 _ 2 (2011年徐州质检 )经过原点，圆心在 x轴的 负半轴上，半径等于的圆的标准方程是 _ 课前热身 答案： ( a ， b ) | |m 答案： ( x 3 ) 2 y 2 3 3若方程 x2 y2 4x 2y 5k 0表示圆，则 k的取值范围是 _ 答案： ( ， 1) 4圆的方程为 x2 y2 kx 2y k2 0，当圆 面积最大时，圆心坐标为 _ 答案： (0， 1) 考点探究 挑战高考 考点突破 求圆的方程 无论是圆的标准方程还是圆的一般方程 ， 都 有三个待定系数 ， 因此求圆的方程 ， 应用三 个条件来求 一般地 ， 已知圆心或半径的条 件 ， 选用圆的标准式 ， 否则选用一般式 另 外 ， 还有几何法可以用来求圆的方程 要充 分利用圆的有关几何性质 ， 如 “ 圆心在圆的 任一条弦的垂直平分线上 ”“ 半径 、 弦心距 、 弦长的一半构成直角三角形 ” 等 已知圆 C通过不同的三点 P(m,0)， Q(2,0) ， R(0， 1)，且 CP的斜率为 1. (1)试求 C的方程； (2)过原点 O作两条互相垂直的直线 l1、 l2， l1交 C于 E， F两点， l2交 C于 G， H两点，求四 边形 EGFH面积的最大值 【 思路分析 】 (1)设出圆的一般式方程，列出 方程组求解； (2)由图形结合 l1 l2及点到直线 的距离等构造出重要不等式求最大值的条件 例 1 【解】 ( 1 ) 设圆 C 的方程为 x 2 y 2 Dx Ey F 0 ， 则 C 点的坐标为 ( D 2 ， E 2 ) ，且 PC 的斜率为 1 ，因为圆 C 通过不 同的三点 P ( m, 0) ， Q ( 2 , 0 ) ， R ( 0 , 1 ) ， 所以有 1 E F 0 ， 4 2 D F 0 ， D 2 2 m 2 ， E 2 0 D 2 m 1 ， 解得 D 1 ， E 5 ， F 6 ， m 3. 所以圆 C 的方程为 x 2 y 2 x 5 y 6 0. ( 2 ) 圆心 C ( 1 2 ， 5 2 ) ，设圆心到 l 1 ， l 2 的距离分别 为 d 1 ， d 2 ，则 d 2 1 d 2 2 OC 2 13 2 ， 又 ( EF 2 ) 2 d 2 1 R 2 ， ( GH 2 ) 2 d 2 2 R 2 ， 两式相加，得： EF 2 GH 2 74 2 EF GH ， S 1 2 EF GH 37 2 ，即 ( S 四边形 E F G H ) m a x 37 2 . 【 名师点评 】 求圆的方程有两类方法： (1)几 何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆 的位置关系，进而求得圆的基本量和方程； (2) 代数法：即用“待定系数法”求圆的方程，其 一般步骤是：根据题意选择方程的形式：标 准形式或一般形式；利用条件列出关于 a、 b 、 r或 D、 E、 F的方程组；解出 a、 b、 r或 D 、 E、 F，代入标准方程或一般方程 变式训练 1 根据下列条件求圆的方程 ( 1 ) 圆心 C (2 ， 1) ，且截直线 y x 1 所 得弦长为 2 2 ； ( 2 ) 圆心在直线 y 4 x 上，且与直线 l： x y 1 0 相切于点 P (3 ， 2) 解： ( 1 ) 设圆的方程为 ( x 2) 2 ( y 1) 2 r 2 ( r 0) 由题意知，圆心到直线 y x 1 的距离为 d | |2 1 1 1 1 2 . 又直线 y x 1 被圆截得的弦长为 2 2 ， 2 2 2 r 2 d 2 ，即 2 2 2 r 2 2 ，解得 r 2. 所求圆的方程为 ( x 2) 2 ( y 1) 2 4. ( 2 ) 法一：设圆的标准方程为 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 ， 则有 b 4 a ， 3 a 2 2 b 2 r 2 ， | |a b 1 2 r ， 解得 a 1 ， b 4 ， r 2 2 . 圆的方程为 ( x 1) 2 ( y 4) 2 8. 法二：过切点且与 x y 1 0 垂直的直线 方程为 y 2 x 3 ，其与 y 4 x 联立可求 圆心为 (1 ， 4) r 2 2 . 所求圆的方程为 ( x 1) 2 ( y 4) 2 8. 与圆有关的最值问题 ( 1 ) 求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一 些代数式的几何意义进行转化如 (1 ) 形如 m y b x a 的 最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ( 2 ) 形如 t ax by 的最值问题，可转化为直线在 y 轴上的截 距的最值问题； ( 3 ) 形如 m ( x a ) 2 ( y b ) 2 的最值 问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题 ( 2 ) 特别要记住下面两个代数式的几何意义： y x 表示点 ( x ， y ) 与原点 ( 0 , 0 ) 连线的直线斜率， x 2 y 2 表 示点 ( x ， y ) 与原点的距离 已知点 P ( x ， y ) 是圆 ( x 2) 2 y 2 1 上任意一点 ( 1 ) 求 P 点到直线 3 x 4 y 12 0 的距离的 最大值和最小值； ( 2 ) 求 x 2 y 的最大值和最小值； ( 3 ) 求 y 2 x 1 的最大值和最小值 例 2 【 思路分析 】 根据几何意义，借助于平面几 何知识，利用数形结合求解 【解】 ( 1 ) 圆心 C ( 2 , 0 ) 到直线 3 x 4 y 12 0 的距离为 d | |3 2 4 0 12 3 2 4 2 6 5 . P 点到直线 3 x 4 y 12 0 的距离 的最大值为 d r 6 5 1 11 5 ， 最小值为 d r 6 5 1 1 5 . ( 2 ) 设 t x 2 y ， 则直线 x 2 y t 0 与圆 ( x 2) 2 y 2 1 有公共点 | | 2 t 1 2 2 2 1. 5 2 t 5 2 ， t m a x 5 2 ， t m i n 2 5 . ( 3 ) 设 k y 2 x 1 ， 则直线 kx y k 2 0 与圆 ( x 2) 2 y 2 1 有公共点， | | 3 k 2 k 2 1 1. 3 3 4 k 3 3 4 ， k m a x 3 3 4 ， k m i n 3 3 4 . 【名师点评】 涉及与圆有关的最值，可借助 图形性质，利用数形结合求解一般地： 形 如 y b x a 的 最值问题，可转化为动直线斜率 的最值问题； 形如 t ax by 的最值问题， 可转化为动直线截距的最值问题； 形如 m ( x a ) 2 ( y b ) 2 的最值问题，可转化为两点间 的距离平方的最值问题等 互动探究 2 本例题条件不变，求 x2 y2的最大值和最小值 解： x 2 y 2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平 面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处 取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为 2 0 2 0 0 2 2. ( x 2 y 2 ) m a x (2 1) 2 9 ， ( x 2 y 2 ) m i n (2 1) 2 1. 求轨迹问题是解析几何的一个重要内容，也是 高考的热点问题，因此必须认真领会、掌握， 求轨迹时，应注意以下几点： (1)求方程必须建立适当的平面直角坐标系，有 利于简化解题过程，所得方程比较简单； (2)一般情况下，化简前后方程的解集是相同的 ，如有特殊情况，可适当予以说明，即删去增 加的解和补上失去的解； 与圆有关的轨迹问题 (3)一般地，求哪个点的轨迹，就设哪个点 的坐标； (4)求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨 迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方 程后还要指明轨迹表示什么曲线； (5)在某些较复杂的探求轨迹方程的问题中 ，可先确定一个较易求得的点的轨迹方程 ，再以此点作为主动点，所求轨迹上的点 作为相关点，求得轨迹方程 (2011年常州质检 )在等腰 ABC中， 已知 AB AC，且点 B( 1,0)，点 D(2,0)为 AC的中点 (1)求点 C的轨迹方程； (2)已知直线 l： x y 4 0，求边 BC在直线 l上的射影 EF长的最大值 例 3 【 思路分析 】 (1)设出点 C，表示出点 A坐标 ，代入 AB AC，可得到 C的轨迹方程； (2)结 合图形可知 CF与圆 C相切时， EF最长 【 解 】 (1)设 C(x， y)， D(2,0)为 AC的中点， A(4 x， y) B( 1,0)，由 AB AC， 得 AB2 AC2. (x 5)2 y2 (2x 4)2 (2y)2. 整理得 (x 1)2 y2 4. A， B， C三点不共线， y0， 则点 C的轨迹方程为 (x 1)2 y2 4(y0) ( 2 ) 法一：由条件，易得 BE ： x y 1 0. 设 CF ： x y b 0 ， 当 EF 取得最大值时， 直线 CF 与圆 ( x 1) 2 y 2 4 相切 设 M ( 1 , 0 ) ，则 | |1 0 b 2 2. b 2 2 1( 舍去 ) ，或 b 2 2 1. CF ： x y 2 2 1 0. EF m a x 等于点 B 到 CF 的距离 | | 1 0 2 2 1 2 2 2. 法二：设点 M ( 1 , 0 ) ， 过 M 作 AE ， CF 的垂线，垂足分别为 G ， H ， 则四边形 E F H G 是矩形 EF GH GM MH . 由条件，得 MG BM 2 2 2 2 . MH 的最大值为半径 2 ， EF m a x 2 2. 【 名师点评 】 本题中圆 C的方程按求 点的轨迹的步骤求出，这不同于已知 轨迹为圆的情形下求圆的方程，因而 ，圆的有关性质以及方程是无法作为 条件来应用的 方法技巧 1利用圆的标准方程能直接求出圆心和 半径，比较点到圆心的距离与半径的大小 ，能得出点与圆的位置关系求圆的标准 方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借 助弦心距、弦、半径之间的关系计算时， 可大大简化计算的过程与难度 方法感悟 2点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、 点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心 的距离 d与圆半径 r的关系 dr时，点在圆外 3当二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0具有条件： (1)A C0； (2)B 0； (3)D2 E2 4AF0时，它才表示圆条件 (1)和 (2)是此方程 表示圆的必要条件，但不充分，条件 (1)、 (2)、 (3)合起来是此方程表示圆的充要条件 4圆的方程中有三个独立系数，因此必须具 备三个独立条件才能确定一个圆，确定系数的 方法可用待定系数法 5研究与圆有关的最值问题时，可借助图形 的性质，利用数形结合求解研究圆上的点到 定点 (或到定直线 )的距离的最值问题，一般在 点与定点的连线 (点与直线的垂线 )过圆心时寻 找，解决这类问题除可充分利用圆的几何性质 外，还可考虑圆的参数方程进行三角代换，利 用三角函数有界性求解 失误防范 1圆的标准方程 (x a)2 (y b)2 r2，应用时 半径用错，易看成 r2为半径圆的一般方程在 应用时，易错写圆心坐标和半径 2在应用圆的性质解题时，易理解错误造成 解题出错，要熟记有关性质 考向瞭望 把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看 ， 求圆的方程或已 知圆的方程求圆心坐标 、 半径等是高考的热点 ， 题型既有填空题 ， 又有解答题 客观题突出了 “ 小而巧 ” ， 主要考查圆的标准方程 、 一般方程； 主观题往往在知识交汇处命题 ， 除考查圆的标准 方程 、 一般方程外 ， 还考查待定系数法 、 方程思 想等 预测 2012年江苏高考仍将以求圆的方程为主要考 查点，重点考查运算能力以及逻辑推理能力 (本题满分 14分 )在平面直角坐标系 xOy中， 设二次函数 f(x) x2 2x b(x R)的图象与两个 坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为 C. (1)求实数 b的取值范围； (2)求圆 C的方程； (3)问圆 C是否经过定点 (其坐标与 b无关 )？请证 明你的结论 例 规范解答 【 解 】 (1)令 x 0，得抛物线与 y轴的交点是 (0， b) 令 f(x) 0，得 x2 2x b 0. 由题意 b0且 0，解得 b 1且 b0. 3分 (2)设所求圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F 0，令 y 0，得 x2 Dx F 0，这与 x2 2x b 0是同一个 方程，故 D 2， F b. 5分 令 x 0得 y2 Ey b 0，此方程有一个根为 b，代入得 出 E b 1. 所以圆 C的方程为 x2 y2 2x (b 1)y b 0 8分 (3)圆 C必过定点 (0,1)和 ( 2,1). 10分 证明如下：将 (0,1)代入圆 C的方程， 得左边 02 12 2 0 (b 1) b 0，右边 0. 12分 所以圆 C必过定点 (0,1) 同理可证圆 C必过定点 ( 2,1). 14分 【 名师点评 】 圆的方程有标准式和一般式， 虽然都需要三个独立条件才能求出圆的方程， 但意义又不相同，圆的一般式方程，更侧重方 程运算，而标准方程侧重于图形的性质，在解 题中，善于辨别所给条件，选取准确的方程形 式对于解题起着非常重要的作用 1如果圆 (x a)2 (y a)2 4上总存在两个点到原 点的距离为 1，则实数 a的取值范围是 _ 名师预测 解析： 圆的半径为 2 ，欲使圆上总存在两个点到原点 的距离为 1 ，则圆心到原点的距离在区间 ( 1 , 3 ) 内， 1 2 | |a 3 ，解得 a ( 3 2 2 ， 2 2 ) ( 2 2 ， 3 2 2 ) 答案： ( 32 2 ， 22 ) ( 22 ， 32 2 ) 2一束光线从点 A( 1,1)出发，经 x轴反射到 圆 C： (x 2)2 (y 3)2 1上的最短路程是 _ 解析： 先作出已知圆 C 关于 x 轴对称的圆 C ， 问题转化为 求点 A 到圆 C 上的点的最短路径， 即 AC 1 4. 答案： 4 3 已知以点 C ( t， 2 t )( t R ， t 0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O ， A ，与 y 轴交于点 O ， B ，其中 O 为原点 ( 1 ) 求证： OA B 的面积为定值； ( 2 ) 设直线 y 2 x 4 与圆 C 交于点 M ， N ，若 OM ON ，求圆 C 的方程 解： ( 1 ) 证明： 圆 C 过原点 O ， OC 2 t 2 4 t 2 . 设圆 C 的方程是 ( x t ) 2 ( y 2 t ) 2 t 2 4 t 2 . 令 x 0 ，得 y 1 0 ， y 2 4 t ； 令 y 0 ，得 x 1 0 ， x 2 2 t， S O A B 1 2 OA OB 1 2 4 t | |2 t 4 ， 即 OA B 的面积为定值 ( 2 ) OM ON ， CM CN ， OC 垂直平分线段 MN . k MN 2 ， k OC 1 2 ， 直线 O C 的方程是 y 1 2 x . 2 t 1 2 t，解得 t 2 或 t 2. 当 t 2 时，圆心 C 的坐标为 ( 2 , 1 ) ， OC 5 ，此时 C 到直线 y 2 x 4 的距离 d 1 5 5 ，圆 C 与直线 y 2 x 4 相交于两点 当 t 2 时，圆心 C 的坐标为 ( 2 ， 1) ， OC 5 ，此时 C 到直线 y 2 x 4 的距离 d 9 5 5 ，圆 C 与直线 y 2 x 4 不相交， t 2 不符合题意故舍去 圆 C 的方程为 ( x 2) 2 ( y 1) 2 5. 本部分内容讲解结束 点此进入课件目录 按 ESC键退出全屏播放 谢谢使用