高考数学失分点之三角

三角函数、平面向量及解三角形 失分点 11 图象变换方向或变换量把握不准致误 例 1 已知函数 f ( x ) 2 co s x si n ( x 3 ) 3 si n 2 x si n x co s x 2( x R ) ，该函数的图象可由 y s i n x ( x R ) 的 图象经过怎样的变换得到？ 错解 f ( x ) 2 co s x ( 1 2 si n x 3 2 co s x ) 3 si n 2 x si n x co s x 2 2 s i n x co s x 3 ( co s 2 x s i n 2 x ) 2 s i n 2 x 3 co s 2 x 2 2 s i n ( 2 x 3 ) 2. 保持 y s i n x 图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原 来的 1 2 ，得到 y si n 2 x 的图象； 由 y s i n 2 x 的图象向右平移 3 个单位得 y s i n ( 2 x 3 ) 的图象； 再保持图象上 各点横坐标不变，纵坐标为原来的 2 倍， 得 y 2 s i n ( 2 x 3 ) 的图象； 将所得图象向上平移 2 个单位得 y si n ( 2 x 3 ) 2 的 图象 找准失分点 第 步中，平移方向和平移量均错 失分原因与防范措施 平移 方向 出错， 由 f ( x ) f ( x a ) ( a 0 ) 是左加右减，即 x a 是 f ( x ) 向左平移 a 个单位， x a 是 f ( x ) 向右平移 a 个单位平移量出错，平移对象 是 x ，而不是 2 x . 我们所说的平移多少是对 x 说的，即 “ 对 x 说话 ” 解决此类问题的办法一般是先平移后伸缩在 平移时，如 x 有系数 ，则先写成 ( x ) 的形式 正解 f ( x ) 2c os x ( 1 2 si n x 3 2 c os x ) 3 si n 2 x si n x c os x 2 2si n x c os x 3 ( c os 2 x si n 2 x ) 2 si n 2 x 3 c os 2 x 2 2si n( 2 x 3 ) 2. 由 y si n x 的图象向左平移 3 个单位长度得到 y si n( x 3 ) 的图象； 再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 2 ，得 y si n( 2 x 3 ) 的图象； 再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍， 得 y 2si n( 2 x 3 ) 的图象； 最后将所得图象向上平移 2 个单位长度得 y 2si n( 2 x 3 ) 2 的图象 变式训练 1 为了得到函数 y si n ( 2 x 6 ) 的图象，可以 将函数 y c o s 2 x 的图象 ( ) A 向右平移 6 个单位长度 B 向右平移 3 个单位长度 C 向左平移 6 个单位长度 D 向左平移 3 个单位长度 解析 y s i n ( 2 x 6 ) c o s 2 (2 x 6 ) c o s( 2 3 2 x ) c o s( 2 x 2 3 ) c o s 2 ( x 3 ) ， 将函数 y c o s 2 x 的图象向右平移 3 个单位长度 B 失分点 12 忽视角的范围致误 例 2 已知 、 (0 ， ) 且 t a n ( ) 1 2 ， t a n 1 7 ， 求 2 的值 错解 t a n t a n ( ) t a n ( ) t a n 1 t a n ( ) t a n 1 2 1 7 1 1 2 1 7 1 3 ， t a n ( 2 ) t a n ( ) t a n t a n ( ) 1 t a n t a n ( ) 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1. 、 (0 ， ) ， 2 0, 0 ， 0 2 ， t an 1 7 0, 0 ， 2 ， 0 ， 2 . 2 ( ) ( ， 0) t an( 2 ) t an ( ) t an t an ( ) 1 t an t an ( ) 1 3 1 2 1 1 3 1 2 1. 2 3 4 . 变式训练 2 已知 、 (0 ， 2 ) ， co s 5 5 ，且 co s 10 10 ，求 . 解 方法一 、 (0 ， 2 ) 且 c o s 5 5 ， c o s 10 10 ， si n 2 5 5 ， si n 3 10 10 ， si n ( ) si n c o s s i n c o s 2 5 5 10 10 3 10 10 5 5 2 2 . 又 c o s 5 5 2 2 ， c o s 10 10 2 2 ， 4 2 ， 4 2 ， 2 ， 3 4 . 方法二 、 (0 ， 2 ) 且 c o s 5 5 ， c o s 10 10 ， si n 2 5 5 ， si n 3 10 10 ， c o s( ) c o s c o s s i n si n 2 2 . 0 ， 3 4 . 失分点 13 解三角形时，忽视讨论而致误 例 3 在 AB C 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c 且 a 1 ， c 3 . ( 1 ) 若 C 3 ，求 A ； ( 2 ) 若 A 6 ，求 b . 错解 ( 1) 在 ABC 中， a si n A c si n C ， si n A a si n C c 1 2 ， A 6 或 5 6 . ( 2) 由 a si n A c si n C 得 si n C c si n A a 3 2 ， C 3 ， 由 C 3 知 B 2 ， b a 2 c 2 2. 找准失分点 第 ( 1 ) 问产生了增解 5 6 . 第 ( 2 ) 问失了一个解 b 1. 失分原因与防范措施 在第（ 1 ）问中，没有注意到 a c 这个条件，是出错的根本原因 . 由于 a c ，必有 A A ，所以 C 可以是锐角，也可以是钝角 . 在解决此类问题时应注意 两点：三角形内角和为 . 比较两边的大小关系 . 正解 ( 1 ) 由正弦定理得 a si n A c si n C ， 即 si n A a si n C c 1 2 . 又 a c ， A C ， 0 A b ， 故 B A ， 因此 B 为锐角 故 c os B 1 si n 2 B 2 5 ， 从而 ta n B si n B c os B 1 2 . 失分点 14 忽视两向量的夹角为钝角 ( 锐角 ) 的充要条 件致误 例 4 设两个向量 e 1 ， e 2 ，满足 | e 1 | 2 ， | e 2 | 1 ， e 1 与 e 2 的夹角为 3 . 若向量 2 t e 1 7 e 2 与 e 1 t e 2 的夹角为钝角， 求实数 t 的范围 错解 2 t e 1 7 e 2 与 e 1 t e 2 的夹角为钝角， (2 t e 1 7 e 2 ) ( e 1 t e 2 ) 0 ， 2 t 2 15 t 7 0 ， 解之得 ： 7 t 1 2 ， t 的范围为 ( 7 ， 1 2 ) 找准失分点 2 t e 1 7 e 2 与 e 1 t e 2 的夹角为钝角 (2 t e 1 7 e 2 ) ( e 1 t e 2 ) 0 且 a , b 不同向； 为直角 a b =0 ； 为钝角 a b 0 且 a b 不反向 . 正解 2 t e 1 7 e 2 与 e 1 t e 2 的夹角为钝角， (2 t e 1 7 e 2 ) ( e 1 t e 2 ) 0 且 2 t e 1 7 e 2 ( e 1 t e 2 )( 0) (2 t e 1 7 e 2 ) ( e 1 t e 2 ) 0 得 2 t 2 15 t 7 0 ， 7 t 1 2 . 若 2 t e 1 7 e 2 ( e 1 t e 2 )( 0 ) ， (2 t ) e 1 (7 t ) e 2 0 . 2 t 0 7 t 0 ， 即 t 14 2 ， t 的取值范围为 ： 7 t 0 ，得 5 21 2 k 0 ) ， 可得 k 1 ， k ， 解得 k 1. 因此实数 k 的取值范围是 5 21 2 k 5 21 2 且 k 1. 返回