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小结与复习 优 翼 课 件 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 第一章 特殊平行四边形 九年级数学上（ BS） 教学课件 项目 四边形 对边 角 对角线 平行且相等 平行 且四边相等 平行 且四边相等 四个角 都是直角 对角相等 邻角互补 四个角 都是直角 互相平分且 相等 互相垂直平分且相 等，每一条对角线 平分一组对角 互相垂直且平分， 每一条对角线平分 一组对角 一、菱形、 矩形、 正方形的性质 要点梳理 四边形 条件 定义：有一外角是直角的平行四边形 三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形 定义：一组邻边相等的平行四边形 四条边都相等的四边形 对角线互相垂直的平行四边形 定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四 边形 有一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形 二、菱形、 矩形、 正方形的判定方法 例 1： 如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O， BAD=60 ， BD =6， 求菱形的边长 AB和对角线 AC的长 . 解： 四边形 ABCD是菱形， AC BD(菱形的对角线互相垂直 ) OB=OD= BD = 6=3(菱形的对角线互相平分 ) 在等腰三角形 ABC中， BAD=60， ABD是等边三角形 . AB = BD = 6. A B C O D 考点一 菱形的性质和判定 1 2 1 2 考点讲练 证明：在 AOB中 . AB= , OA=2,OB=1. AB2=AO2+OB2. AOB是直角三角形 , AOB是直角 . AC BD. ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形 ). 1. 已知：如右图 ,在 ABCD中 ,对角线 AC与 BD相交于 点 O, AB= ,OA=2,OB=1. 求证： ABCD是菱形 . 5 A B C O D 5 针对训练 2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠 部分的四边形 ABCD是什么形状？说说你的理由 . A B C D E F 解：四边形 ABCD是菱形 . 过点 C作 AB边的垂线交点 E,作 AD边 上的垂线交点 F. S 四边形 ABCD=AD CF =AB CE . 由题意可知 CE = CF 且 四边形 ABCD是平行四边形 . AD = AB . 四边形 ABCD是菱形 . 例 2： 如图 ,在矩形 ABCD中 ,两条对角线相交于点 O, AOD=120 ,AB=2.5 ,求矩形对角线的长 . 解： 四边形 ABCD是矩形 . AC = BD(矩形的对角线相等 ). OA= OC= AC,OB = OD = BD , (矩形对角线相互平分 ) OA = OD. A B C D O 考点二 矩形的性质和判定 1 2 1 2 A B C D O AOD=120 , ODA= OAD= (180 - 120 )=30 . 又 DAB=90 , （矩形的四个角都是直角） BD = 2AB = 2 2.5 = 5. 1 2 例 3 如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于 点 O，过点 A作 AE BD，过点 D作 ED AC，两线相 交于点 E 求证：四边形 AODE是菱形； 证明： AE BD， ED AC， 四边形 AODE是平行四边形 . 四边形 ABCD是矩形， AC=BD， OA=OC= AC， OB=OD= BD， OA=OC=OD， 四边形 AODE是菱形 . 1 2 1 2 【变式题】 如图， O是菱形 ABCD对角线的交点，作 BE AC， CE BD， BE、 CE交于点 E，四边形 CEBO是 矩形吗？说出你的理由 . D A B C E O 解：四边形 CEBO是矩形 . 理由如下：已知四边形 ABCD是菱形 . AC BD. BOC=90 . BE AC,CE BD， 四边形 CEBO是平行四边形 . 四边形 CEBO是矩形 . 3.如图 ,在 ABCD中 ,对角线 AC与 BD相交于点 O , ABO是等边三角形 , AB=4,求 ABCD的面积 . 解： 四边形 ABCD是平行四边形 , OA= OC,OB = OD. 又 ABO是等边三角形 , OA= OB=AB= 4, BAC=60 . AC= BD= 2OA = 2 4 = 8. A B C D O 针对训练 ABCD是矩形 （ 对角线相等的平行四边形是矩形 ） . ABC=90 （矩形的四个角都是直角） . 在 Rt ABC中 ,由勾股定理 ,得 AB2 + BC2 =AC2 , BC= . S ABCD=ABBC=4 = A B C D O 2 2 2 28 4 4 3A C A B 43 16 3 4.如图， O是菱形 ABCD对角线的交点，作 BE AC， CE BD， BE、 CE交于点 E，四边形 CEBO是矩形吗？说出你的理由 . D A B C E O 解：四边形 CEBO是矩形 . 理由如下：已知四边形 ABCD是菱形 . AC BD. BOC=90 . DE AC,CE BD， 四边形 CEBO是平行四边形 . 四边形 CEBO是矩形 （有一个角是直角 的平行 四边形是矩形 ） . 例 4 如图，已知在四边形 ABFC中， ACB 90 ， BC 的垂直平分线 EF交 BC于点 D，交 AB于点 E，且 CF AE； (1)试判断四边形 BECF是什么四边形？并说明理由； (2)当 A的大小满足什么条件时，四边形 BECF是正方 形？请回答并证明你的结论 解： (1)四边形 BECF是菱形 理由如下： EF垂直平分 BC， BF FC， BE EC， 3 1. ACB 90 ， 3 4 90 ， 1 2 90 , 2 4， 考点三 正方形的性质和判定 EC AE， BE AE. CF AE， BE EC CF BF， 四边形 BECF是菱形； (2)当 A 45 时，菱形 BECF是正方形 证明如下： A 45 ， ACB 90 ， CBA 45 ， EBF 2 CBA 90 ， 菱形 BECF是正方形 方法总结 正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再 判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱 形，再判定这个矩形有一个角为直角；还可以先判 定四边形是平行四边形，再用或进行判定 例 5 如图， ABC中，点 O是 AC上的一动点，过点 O 作直线 MN BC，设 MN交 BCA的平分线于点 E，交 BCA的外角 ACG的平分线于点 F，连接 AE、 AF. (1)求证： ECF 90 ； (2)当点 O运动到何处时，四边形 AECF是矩形？请 说明理由； (1)证明： CE平分 BCO， CF平分 GCO， OCE BCE， OCF GCF， ECF 180 90 . 1 2 (2)解：当点 O运动到 AC的中点时，四边形 AECF是 矩形理由如下： MN BC， OEC BCE， OFC GCF. 又 CE平分 BCO， CF平分 GCO， OCE BCE， OCF GCF， OCE OEC， OCF OFC， EO CO， FO CO， OE OF. 又 当点 O运动到 AC的中点时， AO CO， 四边形 AECF是平行四边形 . ECF 90 ， 四边形 AECF是矩形 . 解：当点 O运动到 AC的中点时， 且满足 ACB为直角时，四边形 AECF是正方形 由 (2)知当点 O运动到 AC的中点时，四边形 AECF 是矩形， 已知 MN BC， 当 ACB 90 ， 则 AOF COE COF AOE 90 ， 即 AC EF， 四边形 AECF是正方形 (3)在 (2)的条件下， ABC应该满足 什么 条件时， 四边形 AECF为正方形 针对训练 5.如图，两个含有 30角的完全相同的三角板 ABC和 DEF沿直线 FC滑动，下列说法错误的是（ ） A四边形 ACDF是平行四边形 B当点 E为 BC中点时，四边形 ACDF是矩形 C当点 B与点 E重合时，四边形 ACDF是菱形 D四边形 ACDF不可能是正方形 B 6.如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC=6， BD=10， 则菱形 ABCD的面积为 _ 30 A B C O D 7.如图，四边形 ABCD是边长为 2的正方形，点 G是 BC延长线上一点，连接 AG，点 E、 F分别在 AG上， 连接 BE、 DF， 1 2， 3 4. (1)证明： ABE DAF； (2)若 AGB 30 ，求 EF的长 (1)证明： 四边形 ABCD是正方形， AB AD. 在 ABE和 DAF中， ABE DAF. (2) 解： 四边形 ABCD是正方形， 1 4 90 . 3 4， 1 3 90， AFD 90 . 在正方形 ABCD中， AD BC， 1 AGB 30 . 在 Rt ADF中， AFD 90， AD 2， AF ， DF 1. 由 (1)得 ABE DAF， AE DF 1， EF AF AE 1. 3 3 两组对 边平行 一个角是直角且一组邻边相等 课堂小结 见 章末练习 课后作业
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