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小结与复习 第二十一章 一元二次方程 优 翼 课 件 要点梳理 考点讲练 课堂小结 课后作业 九年级数学上（ BS） 教学课件 一、一元二次方程的基本概念 1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为 ax2 bx c 0(a， b， c为常数， a0)的形式，这样的 方程叫做一元二次方程 2.一般形式： ax2 bx c 0 (a， b， c为常数， a0) 要点梳理 3.项数和系数： ax2 bx c 0 (a， b， c为常数， a0) 一次项： ax2 一次项系数： a 二次项： bx 二次项系数： b 常数项： c 4.注意事项： (1)含有一个未知数； (2)未知数的最高次数为 2； (3)二次项系数不为 0； (4)整式方程 二、解一元二次方程的方法 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （ p2 - 4q 0） (x+m)2 n（ n 0） ax2 + bx +c = 0(a0 , b2 - 4ac0) (x + m) （ x + n） 0 各种一元二次方程的解法及使用类型 三、一元二次方程在生活中的应用 列方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 检 答 （ 1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系 （ 2）设元：就是设未知数 ,分直接设与间接设 ,应根据实际需要恰当选取设元法 （ 3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系列方程这一环节最重 要，决定着能否顺利解决实际问题 （ 4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性 （ 5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语 考点一 一元二次方程的定义 例 1 若关于 x的方程 (m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程， 则 m的取值范围是（ ） A. m1 B. m=1 C. m1 D. m0 解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二 次项（二次项系数不为 0），因此它的系数 m-10,即 m1,故选 A. A 1.方程 5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ，一次 项系数是 ，常数项是 . 4 -2 0 考点讲练 针对训练 考点二 一元二次方程的根的应用 解析 根据一元二次方程根的定义可知将 x=0代入原方程一定 会使方程左右两边相等，故只要把 x=0代入就可以得到以 m为 未知数的方程 m2-1=0，解得 m= 1的值 .这里应填 -1.这种题的 解题方法我们称之为“有根必代” . 例 2 若关于 x的一元二次方程 （ m-1)x2+x+m2-1=0有一 个根为 0,则 m= . 【易错提示】 求出 m值有两个 1和 -1,由于原方程是一元二次方 程，所以 1不符合，应引起注意 . -1 针对训练 2. 一元二次方程 x2+px-2=0的一个根为 2，则 p的值 为 . -1 【 易错提示 】 (1)配方法的前提是二次项系数是 1； （ a-b)2与 （ a+b)2 要准确区分； （ 2） 求三角形的周长，不能盲目地将三边 长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯 解析 (1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方； （ 2） 先求出方程 x2 13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关 系定理，得到符合题意的边，进而求得三角形周长 考点三 一元二次方程的解法 例 3 (1)用配方法解方程 x2-2x-5=0时，原方程应变为（ ） A. (x-1)2=6 B.(x+2)2=9 C. (x+1)2=6 D.(x-2)2=9 (2) (易错题） 三角形两边长分别为 3和 6，第三边的长是方程 x2 13x+36=0的根，则该三角形的周长为（ ） A 13 B 15 C 18 D 13或 18 A A 3.菱形 ABCD的一条对角线长为 6，边 AB的长是方程 x2-7x+12=0的一个根，则菱形 ABCD的周长为（ ） A. 16 B. 12 C. 16或 12 D. 24 A 针对训练 4.用公式法和配方法分别解方程： x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤） . 1 - 4 - 1 .a b c，公 式 ： ，法 22 - 4 = - 4 - 4 1 - 1 = 2 0 0 .b a c 2 - 4 204 2 5. 2 2 1 b b ac x a 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 122 5, 2 5 .xx 4.用公式法和配方法分别解方程： x2-4x-1=0 （要求写出必要解题步骤） . 2 4 1 .xx移 得配 法 项： ，方 2 2 24 2 1 2 .xx配 方 , 得 225x 2= 5x由 此 可 得 ， 122 5, 2 5 .xx 考点四 一元二次方程的根的判别式的应用 例 4 已知关于 x的一元二次方程 x2-3m=4x有两个不相等 的实数根，则 m的取值范围是（ ） A. B. m2 C. m 0 D. m0,即 42-4 1 （ -3m)=16+12m0,解得 ,故选 A. 4 3m 5.下列所给方程中，没有实数根的是（ ） A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0 C.3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0 6.（开放题） 若关于 x的一元二次方程 x2-x+m=0有两个 不相等的实数根，则 m的值可能是 （写出一个即 可） D 0 针对训练 考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例 5 已知一元二次方程 x2 4x 3 0的两根为 m， n， 则 m2 mn n2 25 解析 根据根与系数的关系可知， m+n=4,mn=-3. m2 mn n2 m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 (-3)=25.故填 25. 【 重要变形 】 2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2 ;x x x x x x 221 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x 12 1 2 1 2 11 xx x x x x 针对训练 7. 已知方程 2x2+4x-3=0的两根分别为 x1和 x2,则 x12+x22 的值等于（ ） A. 7 B. -2 C. D. 3 2 3 2 A 考点六 一元二次方程的应用 例 6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成 本为每件 20元，调查发现当销售价为 24元，平均每天 能售出 32件，而当销售价每上涨 2元，平均每天就少 售出 4件 . (1)若公司每天的销售价为 x元，则每天的销售量为 多少？ （ 2） 如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于 每件 28元，该公司想要每天获得 150元的销售利润， 销售价应当为多少元？ 市场销售问题 解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如 下：设 公司每天的销售价为 x元 . 单件利润 销售量（件） 每星期利润（元） 正常销售 涨价销售 4 32 x-20 32-2(x-24) 150 其等量关系是：总利润 =单件利润 销售量 . 解： （ 1） 32-(x-24) 2=80-2x; （ 2） 由题意可得 (x-20)(80-2x)=150. 解得 x1=25, x2=35. 由题意 x28, x=25,即售价应当为 25元 . 【 易错提示 】 销售量在正常销售的基础上进行减少 .要注意验根 . 128 例 7 菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克 5元的价格 对外批发销售 .由于部分菜农盲目扩大种植，造成该种蔬 菜滞销 .小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次 下调后，以每千克 3.2元的价格对外批发销售 .求平均每 次下调的百分率是多少？ 解：设平均每次下调的百分率是 x，根据题意得 5（ 1-x)2=3.2 解得 x1=1.8 (舍去） , x2=0.2=20%. 答：平均每次下调的百分率是 20%. 平均变化率问题 例 8 为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召，我 市某单位准备将院内一个长为 30m,宽为 20m的长方形空 地，建成一个矩形的花园，要求在花园中修两条纵向平 行和一条弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示， 要是种植花草的面积为 532m2,，那么小道的宽度应为多 少米？（所有小道的进出口的宽度相等，且每段小道为 平行四边形） 解：设小道进出口的宽为 xcm （ 30-2x)(20-x)=532 x2-35x+34=0 x1=1 x2=34（舍去） 答：小道进出口的宽度应为 1米 . 解决有关面积问题时，除了对所学图形面积公式熟悉外，还要 会将不规则图形分割或组合成规则图形，并找出各部分图形面积之 间的关系，再列方程求解 . （注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等） 平移转化 方法总结 一元二次方程 一元二次方 程的定义 概念： 整式方程； 一元； 二次 . 一般形式： ax2+bx+c=0 (a0) 一元二次方 程的解法 直接开平方法 配方法 公式法 2 24 ( 4 0 )2b b a cx b a ca 因式分解法 根 的 判 别 式 及 根与系数的关系 根的判别式 ： =b2-4ac 根与系数的关系 12 12 bxx a cxx a 一元二次方 程的应用 营销问题 、 平均变化率问题 几何问题 、 数字问题 课堂小结 见 章末练习 课后作业
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