回归传统回归根本（吴有昌）

回归传统回归传统 回归根本回归根本-2011年高考数学广东卷试题年高考数学广东卷试题和答卷分析和答卷分析华南师范大学数学科学学院吴 有 昌汇报的主要内容汇报的主要内容n n一、试卷的考点分布与特点分析试卷的考点分布与特点分析n n二、二、2011年试题相关数据年试题相关数据n n三、学生答卷的主要错误分析三、学生答卷的主要错误分析n n四、对高考命题和教学的建议四、对高考命题和教学的建议n n五、五、11年高考数学试题动向年高考数学试题动向引言引言n n2011年高考数学广东卷（简称广东卷）在2010年试题的基础上适当加大了难度，突出了高考选拔性功能。通过对2011年广东卷试题（简称2011年试题）的命题思想、特点分析和考生答卷的分析，希望对广大中学教师在教学、备考方面有新的启发。n n与2010年试题相比，2011年试题在命题思想、命题思路与风格都有一定的差异。有的差异应该引起我们的反思，有的差异给了我们新的启示。因此，2011年试题值得深入研究。一、试卷的考点分布和特点分析一、试卷的考点分布和特点分析n n 与2010年试题相比，2011年试题在考点分布上有较大差异，加大了对传统知识内容几何、函数和数列的考查。近三年的考点分布如下表：知识点集合向量函数三角函数数列解几（不含选做题）立几概率统计排列组合线性规划复数不等式研究性题选做题文科2009年5825141619232352552010年55241951019221219552011552912191923185555理科2009年51319952419225555102010年551519519192251251452011年552412191418235555552009、2010、2011试题考点分布表n n通过分析上表可发现，函数的分值有所增加。文科卷中函数（包括三角函数、数列）所占分值是60分，理科卷中函数（包括三角函数、数列）所占分值是55分）。在文科卷中，几何（包括解几和立几）所占的分值是42分，较2010广东卷增加了13分。在总分不变的情况下，新增知识所占的分值必有所减少。2011年广东卷新增知识（向量、概率统计和线性规划）所占的分值是33分，比例为22%。n n每年的试题都有各自不同的特点，通过分析，归每年的试题都有各自不同的特点，通过分析，归每年的试题都有各自不同的特点，通过分析，归每年的试题都有各自不同的特点，通过分析，归纳纳纳纳20112011年试题的特点如下：年试题的特点如下：年试题的特点如下：年试题的特点如下：n n2 21 1回归传统，对函数、几何知识的考查的力度回归传统，对函数、几何知识的考查的力度回归传统，对函数、几何知识的考查的力度回归传统，对函数、几何知识的考查的力度有所加大有所加大有所加大有所加大n n20112011年理科试题对函数的考查力度不大，因此，年理科试题对函数的考查力度不大，因此，年理科试题对函数的考查力度不大，因此，年理科试题对函数的考查力度不大，因此，教师们都普遍预期教师们都普遍预期教师们都普遍预期教师们都普遍预期20112011年试题对函数知识的考查年试题对函数知识的考查年试题对函数知识的考查年试题对函数知识的考查力度将加大。确实如此，从表力度将加大。确实如此，从表力度将加大。确实如此，从表力度将加大。确实如此，从表1 1的数据可知，文、的数据可知，文、的数据可知，文、的数据可知，文、理科试题中函数所占的分值都有所增加，其中，理科试题中函数所占的分值都有所增加，其中，理科试题中函数所占的分值都有所增加，其中，理科试题中函数所占的分值都有所增加，其中，理科试题增加了理科试题增加了理科试题增加了理科试题增加了1616分，增加的幅度为分，增加的幅度为分，增加的幅度为分，增加的幅度为41%41%。文科加。文科加。文科加。文科加大了对几何知识的考查力度，大了对几何知识的考查力度，大了对几何知识的考查力度，大了对几何知识的考查力度，20112011年试题所占分年试题所占分年试题所占分年试题所占分值增加了值增加了值增加了值增加了1313分，增加的幅度约为分，增加的幅度约为分，增加的幅度约为分，增加的幅度约为45%45%。n n理科试题中几何知识所占分值表面上看降低了，实际上并非如此，压轴题理21是通过平面解析几何中抛物线的知识引出，考查了考生对抛物线相关知识的理解。因此，2011年试题突出考查了中学数学的主干知识，做到了“重点内容重点考”。n n22 回归根本，重视数学定义的作用回归根本，重视数学定义的作用n n2011年试题重视利用数学定义解决问题，很好地发挥了高考指挥棒的引导作用。文科第8题考查了抛物线的定义，文科第21题的第一小问事实上也可以利用抛物线的定义来解题；理科第19题考查了双曲线的定义。此外，文科第10题、理科第8题和理科21题都考查了考生利用新定义解决问题的能力。n n文科第10题新定义了复合函数和函数的乘积；理科第8题新定义了数集运算的封闭性。n n分析：分析：此题考查的知识点是复合函数与函数的乘积，主要考查考生对新定义的理解与创新思维能力，有较大难度。另解另解n n从选项进行分析，我们知道，A选项包含了D选项，即如果D选项正确，那么A选项也应该是正确的。如果从这个方面来思考，那么D选项就是首先应该淘汰的。再结合某个例子就可以确定正确答案了。n n2 23 3回归本质，重视考生数学素养与创新意识的回归本质，重视考生数学素养与创新意识的回归本质，重视考生数学素养与创新意识的回归本质，重视考生数学素养与创新意识的评价评价评价评价n n 学业评价的本质在于能真实反映出考生的数学学业评价的本质在于能真实反映出考生的数学素养与创新意识。在大多考生采用素养与创新意识。在大多考生采用“题海战术题海战术”的情况下，如何才能有效地考查考生的数学素养的情况下，如何才能有效地考查考生的数学素养与创新意识是一件困难的事情。以高等数学为背与创新意识是一件困难的事情。以高等数学为背景命题或许是一条较佳的途径之一，这也是当前景命题或许是一条较佳的途径之一，这也是当前全国高考题的热点之一，例如全国高考题的热点之一，例如20102010年广东理年广东理2121题、题、20102010年北京文年北京文2020题。题。n n2011年试题中文10、理8都是基于高等数学背景来命题，主要考查考生对于新定义的理解，包括对于一些比较陌生的数学术语诸如“封闭”的理解。通过引入新知识，能有效地考查考生的数学学习能力与真实的数学素养，也能考查到考生的创新意识。如此，一方面为高等学校选拔出优秀的考生，一方面为考生未来学习高等数学开启了一扇门。当然，怎样的具有高数背景的试题才能有效地做到这一点，值得思考。n n2 24 4以能力立意，全面考查考生的数学能力以能力立意，全面考查考生的数学能力以能力立意，全面考查考生的数学能力以能力立意，全面考查考生的数学能力n n 以能力立意是广东卷的命题原则。以能力立意是广东卷的命题原则。20112011年试题很好地做年试题很好地做到了这一点，对考生的能力考查全面，有效地发挥了考试到了这一点，对考生的能力考查全面，有效地发挥了考试的选拔性功能。例如，文的选拔性功能。例如，文1717、理、理1717题很好地考查了考生的题很好地考查了考生的数据处理能力；文数据处理能力；文1818、理、理1818题很好地考查了考生的推理论题很好地考查了考生的推理论证能力与空间想象能力；理证能力与空间想象能力；理1313题、理题、理2121题有效地考查了考题有效地考查了考生的抽象概括能力；文生的抽象概括能力；文1919、文、文2020题和理题和理1919、理、理2020题能有效题能有效地考查考生对于数与式的运算求解能力。因此，地考查考生对于数与式的运算求解能力。因此，20112011年试年试题能全面考查到考生的数学能力，为高校选拔出优秀的人题能全面考查到考生的数学能力，为高校选拔出优秀的人才提供了保证。才提供了保证。n n 20112011年试题突出考查了推理论证能力与运算求解能力，年试题突出考查了推理论证能力与运算求解能力，应该引起重视。应该引起重视。二、二、2011年试题相关数据年试题相关数据n n数据分析是评价试题的重要依据之一。根据相关的数据，我们可以获得一些启示。n n从表2、表3分析，2011年文、理试题难度均有所提高，符合选拔性考试的要求。从大题的难度来看，文、理科试题的梯度可以更加合理一些，以更好地区分不同层次的学生。题号题号0 0分卷数分卷数满分卷数满分卷数16161255512555195204195204171710434104346273262732181826274262742672826728191980021800217787782020145402145402262621212043192043191 1理科0分卷数与满分卷数题号题号0 0分卷数分卷数满分卷数满分卷数1616512245122412582112582117171502915029136909136909181810590610590680180119199577195771464620201857121857120 0（最高分为（最高分为7 7）21212558552558550 0（最高分为（最高分为8 8）文科0分卷数与满分卷数三、考生的典型错误分析三、考生的典型错误分析n n典型错误：典型错误：典型错误：典型错误：因为儿子的身高因为儿子的身高x x与父亲的身高与父亲的身高y y相关相关n n 这个问题考查学生运用线性回归分析的方法解这个问题考查学生运用线性回归分析的方法解决实际问题的能力，也就是学生要找到两个决实际问题的能力，也就是学生要找到两个变量之间的关系，不能搞反了。变量之间的关系，不能搞反了。n n思考的问题：n n仅有三组量，能否就得到线性回归方程，其中的参数是什么？残差是否异常？线性回归方程检验是否显著？2011年理数列题n n在第一问中，采用数学归纳法解决是一个比较自然的想法。n n在第二问中，采用数学归纳法证明却不是件容易的事情。2008陕理22题题目题目0 0分卷（份）分卷（份）3 3分以下卷分以下卷（份）（份）文文181859125591259517195171理理181811720117203770137701文文20209823198231164655164655理理20207747977479119899119899理20题给分分布n n在此题中，若考生一上来就考虑建系，则需要先作一番证明，找到三条互相垂直的直线，这对于熟悉了用向量法的学生来说相当困难；若考生利用传统方法来做，在第二问时则需找到二面角的平面角，这个知识点在教材中仅有几行字的说明，似乎显得要求过高。二面角的平面角不好找。n n不少考生纠结于用什么方法来解，耗费了大量的时间。n n文科的立几题似乎也遇到了同样的问题。n n该题涉及的字母符号多，有陌生的名字，不熟悉的题目设问。这些都给文科生带来了很大的障碍。n n思考一个问题：n n应该如何恰当地评价某道数学试题？n n应该说，当前，对于如何评价某道数学试题，大家尚未有统一的标准与框架。是否能归纳出一个较为合理的框架，值得深入研究。四、对高考命题和中学数学教学的四、对高考命题和中学数学教学的建议建议n n1 1、对高考命题的建议、对高考命题的建议n n命题是一门遗憾的艺术，结合命题是一门遗憾的艺术，结合20112011年试题，从更年试题，从更高的标准与社会的期望出发，提出以下建议，仅高的标准与社会的期望出发，提出以下建议，仅供参考。供参考。n n1 11 1进一步拉大文、理科试题的差距进一步拉大文、理科试题的差距进一步拉大文、理科试题的差距进一步拉大文、理科试题的差距 n n实际上，广东省文、理科考生的差距比较大。例实际上，广东省文、理科考生的差距比较大。例如，在如，在20112011年试题中，文、理第一道大题所考查年试题中，文、理第一道大题所考查的知识点和能力大体相当，满分均为的知识点和能力大体相当，满分均为1212分，但实分，但实际得分却有较大差异。文科得分为际得分却有较大差异。文科得分为7.477.47分，理科为分，理科为10.2210.22分。分。n n要拉大文、理科试题的差距，不仅体现在考查的要拉大文、理科试题的差距，不仅体现在考查的内容上，还要体现在考查知识的能力要求方面，内容上，还要体现在考查知识的能力要求方面，例如，文科试题对数和式子的运算复杂程度要较例如，文科试题对数和式子的运算复杂程度要较理科试题低。此外，考查的知识和内容应符合文理科试题低。此外，考查的知识和内容应符合文科生的特点，也应符合文科生的未来大学生活的科生的特点，也应符合文科生的未来大学生活的专业需求。例如，对于数列的要求，应仅限于掌专业需求。例如，对于数列的要求，应仅限于掌握等差数列和等比数列的通项公式和前项和；对握等差数列和等比数列的通项公式和前项和；对于立体几何的要求，应多考查与几何直观有关的于立体几何的要求，应多考查与几何直观有关的知识如三视图；对于概率统计的要求，应多考查知识如三视图；对于概率统计的要求，应多考查与调查研究相关的知识如分层抽样等。与调查研究相关的知识如分层抽样等。n n2应逐步加强运算求解能力的考查应逐步加强运算求解能力的考查 n n新课程标准对于运算求解能力的要求较传统课程的要求大为降低，这在教学实践中也产生了一定的负面影响。在教学实践中，数学教师尤其是初中数学教师对运算的要求降低，学生的运算能力也有一定程度的下降。针对这一教学薄弱点，2011年试题加大了对运算求解能力的考查，有利于发挥积极的引导作用。n n同时，我们不得不承认，当前学生的运算能力确实比较弱，从这几年来高考答卷情况容易看出这一点（参见文参见文）。因此，对于运算求解能力的考查，应呈现出一个逐步加强的过程，防止出现不良的反应。n n3 3应坚持以常规题为主应坚持以常规题为主应坚持以常规题为主应坚持以常规题为主n n一方面，在高度紧张的高考中，考生碰到陌生一方面，在高度紧张的高考中，考生碰到陌生的试题则不易发挥出水平；另一方面，在精英的试题则不易发挥出水平；另一方面，在精英教育转向大众教育的背景下，高考的功能有所教育转向大众教育的背景下，高考的功能有所改变。这两个因素促使高考试题的命制应以常改变。这两个因素促使高考试题的命制应以常规题为主。规题为主。n n常规试题表现在两个方面：试题考查的内容为常规试题表现在两个方面：试题考查的内容为基础知识；考查的形式为考生常见的形式（如基础知识；考查的形式为考生常见的形式（如图形、符号和表述）。常规的试题同样可以考图形、符号和表述）。常规的试题同样可以考查出不同层次的学生，关键在于如何设问。查出不同层次的学生，关键在于如何设问。n n4应逐步加大设问的梯度，做到低起应逐步加大设问的梯度，做到低起点、多入口点、多入口n n当前高考的重要任务是区分出不同层次的考生。在解答题中，设问的方式会直接影响到本题的得分率。为保证区分出不同层次的考生，试题应逐步加大设问的梯度，做到第一小问的起点要低，入口多且易，保证得分率。应继续保持多年来广东卷试题命制的优良传统。n n15应体现对考生的人文关怀应体现对考生的人文关怀n n高考不应是冷漠的，应充满人文关怀，这也有利于培养符合现代社会要求的人才。为此，试题命制应做到：试题的背景贴近学生生活，题材新颖能吸引考生兴趣，试题的表述清楚无歧义，无陌生符号等等。n n对中学数学教学的几点建议对中学数学教学的几点建议对中学数学教学的几点建议对中学数学教学的几点建议n n针对考生在针对考生在针对考生在针对考生在20112011年广东卷中出现的问题，提出下年广东卷中出现的问题，提出下年广东卷中出现的问题，提出下年广东卷中出现的问题，提出下列建议供参考：列建议供参考：列建议供参考：列建议供参考：n n1 1重视数学概念的教学重视数学概念的教学重视数学概念的教学重视数学概念的教学n n 数学概念是数学发展的基础，也是学生数学思数学概念是数学发展的基础，也是学生数学思维的细胞。在教学实践中，部分数学教师重视维的细胞。在教学实践中，部分数学教师重视数学问题的操练，忽视数学概念的教学和理解。数学问题的操练，忽视数学概念的教学和理解。20112011年试题重视从数学概念出发解决问题，这是年试题重视从数学概念出发解决问题，这是很好的导向。重视数学概念的教学，则需重视很好的导向。重视数学概念的教学，则需重视讲清数学概念的来龙去脉，揭示数学概念的本讲清数学概念的来龙去脉，揭示数学概念的本质。质。n n22加强运算能力的培养加强运算能力的培养n n 考生的运算能力不强主要表现在对含字母的式子运算常出错，是近年广东高考突显的三大问题之一（参见文参见文3）。加强运算能力的培养应做到：多训练、明算理、多检验。此外，教育行政部分应制定系统的运算能力要求，明确小学、初中和高中数学的教学要求。n n2 23 3加强数学思想方法的教学加强数学思想方法的教学加强数学思想方法的教学加强数学思想方法的教学n n 高考要求考生应熟悉并灵活运用基本的数学思高考要求考生应熟悉并灵活运用基本的数学思想方法如数形结合方法、分类讨论方法、化归方想方法如数形结合方法、分类讨论方法、化归方法等。实际上，相当数量的考生对这些基本的数法等。实际上，相当数量的考生对这些基本的数学思想方法掌握情况不太理想，有待加强。学思想方法掌握情况不太理想，有待加强。n n20112011年试题突出考查了分类讨论思想与数形结合年试题突出考查了分类讨论思想与数形结合思想。这两种思想方法在数学中的地位相当重要，思想。这两种思想方法在数学中的地位相当重要，也是当前教学的薄弱点（也是当前教学的薄弱点（参见文参见文参见文参见文33）。应大力加。应大力加强数学思想方法在教学中的渗透。强数学思想方法在教学中的渗透。五、五、11年试题的几个动向年试题的几个动向n n动向一、注重数学的本质，注重数学定义的作用。如11年理解几题。n n动向二、注重传统几何证明方法的思维训练作用。n n动向三、注重对教学薄弱点的考查，例如，考生的推理能力与运算能力。n n动向四、注重考查学生的数学学习潜力，即以高等数学为背景命题。n n对于高等数学背景知识，思路宜开阔些。n n例如，数论中的同余、高等代数中的矩阵运算等等。n n数论、高等代数中的知识比较能被中学生所接受，容易入手，但不易解决。n n注:以上报告仅代表个人观点!