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2.2 离散型随机变量 一、离散型随机变量 二、常见的离散型随机变量 一、离散型随机变量的分布律 1、离散型随机变量定义 定义 2.1 若随机变量 X的可能取值仅有有限 或可列多个 , 则称此随机变量为 离散型随机 变量 。 即： X的可能取值为 xk, 则离散型随机变量可 记为 X=xk k=1,2,3, 2、离散型随机变量的分布律 )3.2(1)2( )2.2(0)1( : )1.2(,2,1 1 k k k k kk p p p kpxXP 满足条件若 定义 2.2 设离散型随机变量 X的所有可能取 值为 xk，且 X取值为 xk的概率，即事件 X=xk 的概率为 则称 (2.1)式为 X的 概率分布 (或 分布律 )。 1,0, 1 kkkk ppxXPp ）分析表达式：（ 注 ：概率分布有三种表示方式 n n n n k ppp xxx ppp xxx p X 21 21 21 21 )2( 或 表格或矩阵表达式： pk X x1 x2 x3 xn (3)图形表示法 nnn nnn xxpppp xxxppp xxxpp xxxp xx xF 1 0 )( 121 1121 3221 211 1 由随机变量 X的概率分布可以得到其分布函数， 以 X有 n个可能取值为例： 的值。，再分别求 个区间：分为应将 ，则个可能取值取）如果随机变量（ )(), ,),),(1),( ,3 211 21 xFx xxxn xxxnX n n (2) 离散型随机变量 X的分布函数 F(x)的图形为 一阶梯形曲线； 注 (1)离散型随机变量 X的分布函数 F(x)在 X=xk处 有跳跃，其跳跃值为 pk=PX=xk， k=1,2, ； 11 10 2 1 2 01 2 1 10 )()2( 2 1 11 x x x x xFq）答：（ 的分布函数。）（ 的值；）试求（ X q qqp X k 2 1 21 2 1 101 2 练习 设 X为一离散型随机变量，其分布律如 下： 3、离散型随机变量的分布律的求法 (1)利用古典概率、条件概率、独立性等计 算方法及其运算法则求出事件 X=xk的概率 pk=PX=xk, k=1, 2, 求法步骤 为： 第一步 ：先确定 X的全部可能取值 xk， k=1, 2,; 第二步 ：具体求出事件 X=xk的概率，即 pk。 例 2.1 设有甲、乙两势均力敌的排球 队，在每一局比赛中各队取胜的概率 都是 1/2，求两个队在一场排球比赛 中所打局数的概率分布及分布函数。 )()3( 321321 BBBAAAPXP 解 : 设一场排球比赛中所打局数为随机变量 X, 则按现 行规则 , X的取值只可能是 3, 4或 5. 而第 k局比赛甲 , 乙 队取胜的事件分别记为 Ak, Bk, 则 P(Ak)=P(Bk)=1/2, k=1,2,3,4,5 且每个 Ak与 Bk间是相互独立的。 )()( 321321 BBBPAAAP )()()()()()( 321321 BPBPBPAPAPAP 4/12/12/1 33 ) ()4( 432143214321 432143214321 BBBBBBBBBBBB AAAAAAAAAAAAPXP 8/32/16 4 X 3 4 5 Pk 1/4 3/8 3/8 PX=5 1PX=3PX=4 3/8 51 548/5 434/1 30 )( x x x x xF X的分布函数为： 即所求概率分布如下表： (2)利用分布函数 F(x)求概率分布 求法步骤 为： 第一步 ： F(x)的各间断点 xk的取值为 X的可能取值； 第二步 ：由 pk=PX=xk=F(xk)F(xk0)求出事件 X=xk 的概率。 例 2.2 设随机变量 X的分布函数为 试求 X的概率分布。 31 318.0 114.0 10 )( x x x x xF 2.04.04.0 311 kp X即所求为 出分布律。 即可求或这些方程求出所满足的方程组，解出 的可能取值出所满足的关系式，或列 建立取值概率且即由 , , )(10 21 kk k kkkk xp xxxX xXPppp 解 : (1) F(x)的间断点为 1,1,3, 即为 X的可能取值 (2) p1=P(X= 1)=F(1)F(10)=0.40=0.4 p2=P(X=1)=F(1)F(10)=0.80.4=0.4 p3=P(X=3)=F(3)F(30)=10.8=0.2 (3) 利用分布律的基本性质求分布律 23 21 2 12 2 13 2221 pXPXPp pXPXPp 例 2.3 一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的 两倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一 个作质量检验，用随机变量描述检验的可能结果，试求出它 的概率分布。 解 : 设抽取产品的检验等级数为 X, 则 X =1,2,3, 依题意知 2222321 2 7 2 121 3,2,1,0 ppppppp ip i 且 由概率分布性质知： 7/17/47/2 312 ppp故 7/17/27/4 321 kp X即所求为 二、常见的离散型随机变量 设随机变量 X的可能取值仅为 0或 1，其概率分 布为 PX=k=pk(1p)1k k=0,1 (0p1) 或 则称 X服从参数为 p的（ 01）分布 。 X 0 1 1p p pk 11 101 00 )( x xp x xF 其分布函数为： 1、（ 01）分布（两点分布） 例 ： (1)对新生婴儿进行性别登记，记女婴出现的事件为 A (2)检查一件产品是否合格，记合格品的事件为 A (3)检查某车间电力消耗量是否超负荷，记超过负荷事 件为 A (4)抛掷硬币一次，记正面出现的事件为 A。 结果。来描述这个随机试验的 变量 ）分布的随机定义一个服从（则总可在即 元素，其样本空间只包含两个对于一个随机试验，若 应用模型： Ae Ae eXX SAAS 1 0 )( 10, 11 1005.0 00 )( ,)10( ,95.0 100 95 1,05.0 100 5 0: x x x xF X XPXP 其分布函数为分布服从可见此 由题意知解 例 2.4 设 100件产品，其中有 95件合格品， 5件 次品。现从中任取一件，设随机变量 试求 X的概率分布及分布函数。 取得正品 取得次品 1 0 X 2、等可能分布 (离散型均匀分布 ) 如果随机变量 X可以取 n个不同的值 x1, x2, xn, 且取每个 xk值的概率相等 , 即 PX=xk=1/n k=1,2, n 则称 X服从等可能分布 或 离散型均匀分布 , 其分 布参数为 n, 可记为 XU(n)。 1,2,1 1 / 0 )( 1 1 nk xx xxxnk xx xF n kk 其分布函数为 注 : 等可能概型中 , 试验 E的可能结果只可能是有限个 3、二项分布 若随机变量 X取值为 0,1,2, n的概率为 则称 X服从参数为 n,p的二项分布 ，记为 XB(n,p)。 nkppCkXP knkkn ,1,0)1( xk knkk n xk ppCkXPxF 00 )1()( 其分布函数为 应用模型 ： n重贝努利概型中事件 A发生的次数 X即服从 B(n,p)。 EpqpAPpAP AAE ，将，且 ，或的结果只有两个，即设试验 )10(1)()( 定义 2.3 独立地重复进行 n次，则称这一串重复的独立试 验为 n重贝努利试验 ，或称 贝努利概型 。 例如 ： (1)n次投掷一枚硬币，其中正面出现次数 X的 分布； (2)检查 n只产品 (次品率一定 )，其中次品个数 X 的分布； (3)n台同型号机床，在一小时内，每台机床出 故障的概率相同，则 n台机床在同一小时内出 故障的台数的分布； (4)n个新生婴儿中男婴的个数的分布； (5)某射手向同一目标射击 n次， n次射击中击 中靶心的次数的分布。 注 3 当二项分布 B(n,p)中的参数 n=1时 , 化为两 点分布 B(1,p), 即两点分布是二项分布的特例 的展开式的通项。二项式 恰为即为二项分布 故称因为 n knkk n n k nknkk n pp ppCkXPpnB ppppC )1( )1(,),( ,1)1()1( 0 注 1 整数部分）。 的为不超过处达到极大值。（其中 不是整数若 是整数若 pnpn pnpn pnpnpn k )1()1( )1()1( )1()1(,1)1( 0 注 2 二项分布 B(n,p)的分布律 PX=k在 例 2.5 设某种疾病在鸭子中传染的概率为 0.25。 (1)求在正常情况下 (未注射防疫血清时 )， 50只鸭 子和 39只鸭子中，受到感染的最大可能只数； (2)设对 17只鸭子注射甲种血清后，仍有一只受到 感染；对 23只鸭子注射乙种血清后，仍有两只受到 感染。 试问这两种血清是否有效？ 注 4 一般地 , 当 n不大于 10时 , F(x)的值可由 二项 分布表 查出 , 若 n较大时 , 通常采用泊松分布函数 或正态分布函数作近似计算。 只。大可能只数为只鸭子中受到感染的最故数 非整时， 1250, 75.1225.051)1(25.0,50)1( pnpn 解 : 设 n只鸭子中受感染的只数为 X, 则 XB(n,0.25) 。或 感染的只数有两个值只鸭子中最大可能受到故 为整数时，当 109 39 ,1025.040)1(25.0,39 0 k pnpn 0501.0 )25.01)(25.0()25.01( )1()0()1()1( 17,)2( 161 17 170 17 17 CC XPXPXPF 染为只鸭子中至多一只受感则假定血清无效 04 92.0 )25.01()25.0( )25.01)(25.0()25.01( )2()1()0()2()2( 23 2122 23 221 23 230 23 23 C CC XPXPXPXPF 感染的概率为只鸭子中，至多两只受在 由于假定血清无效 , 而得出相应事件出现的概 率很小 , 所以 , 可以初步判断两种血清都是有 效的。且由于 F23(2)0为常数 , 则称 X服从参数为 的泊松 分布 , 记作 X (); 其分布函数为 xk k k exF 0 ! )( ,2,1,0 ! k k ekXP k 注 1 泊松分布中的参数 表征平均特性 , 如 X表示 单位时间内某电话交换台接到的呼叫次数 , 即 表 示在这单位时间内接到呼叫次数的平均数。 应用模型 ： 作为描述大量独立试验中稀有事件 A出现次数 的分布模型。 例如 ： (1)电话交换台在一段时间内接到的呼唤次数 ; (2)一大批产品中的废品数 ; (3)某路段 , 某时段内交通事故出现的次数 ; (4)某商店一天内销售的某种特殊商品数 ; (5)一本书中某一页上印刷错误个数。 注 2 泊松分布常用于近似计算二项分布的概率。 当贝努利试验的次数 n很大，而在一次试验中某 事件发生的概率 p很小，且 =np适中时，可用泊松分 布作二项分布概率的近似计算，即 从下表可看出近似程度。（见下页） )(!)1( npkeppCkXP k knkk n 的整数部分）。为不超过处达到极大值（其中 为整数 非整数 ,1 0 k 注 3 泊松分布 ()的分布律 PX=k在 k n=10 n=20 n=40 n=100 p=0.1 p=0.05 p=0.025 p=0.01 =np=1 0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368 1 0.385 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 大于 4 0.004 0.003 0.005 0.003 0.004 knkkn ppCkXP )1( ! k ekXP k 5.030 3600 60 30 )( 话次数的平均数秒内电话交换台接到电而 解：已知 X 例 2.6 某电话交换台在一般情况下 , 一小时内平均 接到电话 60次 , 已知电话呼唤次数 X服从泊松分布 , 试求在一般情况下 , 30秒内接到电话次数不超过一 次的概率。 ,2,1,0!5.0 5.0 kk ekXP k 故 9 0 9 8.05.1!15.0!05.01 5.0 5.015.00 eeeXP于是 例 2.7 设有 80台同类型设备 , 各台工作是 相互独立的 , 发生故障的概率都是 0.01, 且 一台设备的故障能由一个人处理。考虑 两种配备维修工人的方法 , 其一是由 4人 维护 , 每人负责 20台 ; 其二是由 3人共同维 护 80台 , 试比较两种方法在设备发生故障 时不能及时维修的概率的大小。 解 : (1)按第一种方法 , 设 X为“第一人维护的 20台同时发生故障的台数” , Ai (i=1,2,3,4)为 “第 i人维护的 20台中发生故障不能及时维修” 则 80台中发生故障不能及时维修的概率为 P(A1A2A3A4) 依题意 XB(20,0.01), 此处 =np=0.2, 故 P(A1) =P(X 2) 20 2 20 20 )99.0()01.0()2( k kkkCXP 故 P(A1A2A3A4) 0.0175231 1912020020 )99.0)(01.0()99.0(1 CC 2.0 1 2.0 0 !1 2.0 !0 2.01 ee 0 1 75 2 3 1.02.11 2.0 e )4( YP (2)按第二种方法 , 设 Y为“ 80台中同时发生故 障的台数” , 此时 YB(80,0.01), 此处 =np=0.8, 则 80台中发生故障不能及时维修的概率为 查泊松分布表得 P(Y 4)0.00908 80 4 80 80 )99.0()01.0( k kkkC 3 0 )(1 k kYP 4 8.0 ! 8.0 k k e k 3 0 8.0 ! 8.01 k k e k 所以，第二种方法更好。 例 2.8 一台总机共有 300台分机 , 总机拥有 13条外线 , 假设每台分机向总机要外线的概率为 3%, 试求每台分 机向总机要外线时能及时得到满足的概率和同时向总 机要外线的分机的最可能台数。 300,1,097.003.0 300300 kCkXP kkk 解 : 设 300台分机向总机要外线的台数 为 X, 则 XB(300,0.03) 903.03 0 0,03.0,3 0 0 nppn 很小很大 9 2 6 5.0!913 13 0 9 k k k eXP故 由注 3知 , 向总机要外线的分机的最可能台数 为 8或 9 台 (因 =9为整数 ) 例 2.9(寿命保险问题 ) 设在保险公司里有 2500 个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保 险 , 在一年里每个人死亡的概率为 0.002, 每个 参加保险的人在每年一月一日付 12元保险费 , 而死亡时家属可到保险公司领取赔付费 2000 元。 试问： (1)“一年内保险公司亏本” (记为 A)的概率是 多少？ (2)“一年内保险公司获利不少于 10000, 20000 元” (分别记为 B1,B2)的概率是多少？ 解： 每年保险公司收入为 2500 12=30000元 , 设 X为 2500人在一年中死亡的人数 , 则保险公 司应赔付 2000X元 , 若 A发生 , 则有 2000X30000 得 X15（人） 即若一年中死亡人数超过 15人 , 则公司亏本 (此处不计 3万元所得利息 )。 )15()()( XPPAP 保险公司亏本 依题意 XB(2500,0.002), 故 2 5 0 0 16 2 5 0 0 2 5 0 0 )998.0()002.0( k kkkC 15 0 2 5 0 0 2 5 0 0 )998.0()002.0(1 k kkkC 0 0 0 0 6 9.0 ! 5 ! 51 16 5 15 0 5 k k k k e k e k 故即发生意味着 ,10,1 0 0 0 02 0 0 03 0 0 0 0)2( 1 XXB )1 0 0 0 0()( 1 元获利不少于PBP 即一年内保险公司获利不少于 10000元的概率 在 98%以上。 )10( 人一年中死亡人数不超过P 10 0 2 5 0 0 2 5 0 0 )998.0()002.0()10( k kkkCXP 11 5 10 0 5 ! 51 ! 5 k k k k e k e k 986305.0013695.01 )5()( 2 XPBP 同理 5 0 2500 2500 )998.0()002.0( k kkkC 6 5 5 0 5 ! 51 ! 5 k k k k e k e k 615961.0384039.01 即一年内保险公司获利不少于 20000元的概率 约为 0.62
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