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优 翼 课 件 要点梳理 考点讲练 当堂练习 课堂小结 小结与复习 第五章 生活中的轴对称 七年级数学下（ BS） 教学课件 1.轴对称图形： 把一个图形沿着一条直线折叠，如 果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形 就叫作轴对称图形 .这条直线叫作 对称轴 . 2.轴对称： 把一个图形沿一条直线折叠，如果它能 与另一个图形完全重合，那么这两个图关于这条 直线成轴对称 .这条直线叫作 对称轴 . 要点梳理 一 .轴对称图形与轴对称 3.轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 区别 联系 图形 (1)轴对称图形是指 ( ) 具 有特殊形状的图形 , 只对 ( ) 图形而言 ; (2)对称轴 ( ) 只有一条 (1)轴对称是指 ( )图形 的位置关系 ,必须涉及 ( )图形 ; (2)只有 ( )对称轴 . 如果把轴对称图形沿对称轴 分成两部分 ,那么这两个图形 就关于这条直线成轴对称 . 如果把两个成轴对称的图形 拼在一起看成一个整体 ,那 么它就是一个轴对称图形 . B C A C B AA B C 一个 一个 不一定 两个 两个 一条 4.轴对称的性质： 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中 ， 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 ， 对应线 段相等 ， 对应角相等 . 1.等腰三角形的性质 名称 项目 等腰三角形 性质 边：两腰相等 角：两个底角相等 (等边对等角 ) 重要线段：顶角的平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合 (三线合一 ) 对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角的平 分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线 二 .简单的轴对称图形 角平分线上的点到角两边的距离相等 . 3.角平分线的性质 2.线段 垂直平分线 的性质 线段 垂直平分线 上的点到线段两端点的距离相等 . 考点一 轴对称图形与轴对称 例 1 如图， ABC和 ABC关于直线 MN对称， ABC和 ABC关于直线 EF对称 . (1)画直线 EF; (2)直线 MN与 EF相交于点 O，试探究 BOB与直线 MN， EF所夹锐角 的数量关系 . A B C A B C A B C M N 考点讲练 【 分析 】 连接 ABC和 ABC 中的任意一对对应点，作所得线段 的垂直平分线即为直线 EF，根据轴 对称的性质可求角的数量关系 . A B C A B C A B C 解： （ 1） 如图，连接 B B ,作线段 B B 的垂直平分线 EF,则直线 EF是 A B C 和 A B C 的对称轴； （ 2） 连接 BO,BO,BO, ABC和 ABC关于直线 MN对称， BOM = B OM. ABC和 ABC关于直线 EF 对称， BOE = BOE. BOB=2( BOM+ BOE) =2. E F O M N 轴对称和轴对称图形的概念是本章的重点，通过 观察日常生活中的轴对称现象，理解轴对称图形和轴 对称的概念的区别与联系；学习轴对称变换，不但要 会画一个图形关于某直线的对称图形，还要会通过简 单的图案设计确定最短路线等 . 方法总结 1.下面的图形是轴对称图形吗 ?如果是 ,你能指出 它的对称轴吗 ? 针对训练 2.如图所示，作出 ABC关于直线 x=1的对称图形 x y O x=1 A B C A B C 解： ABC就是所求作的图形 . 考点二 等腰三角形的性质 例 2 如图所示，在 ABC中， AB=AC,BD AC于 D. 试说明 ： BAC = 2 DBC. A B C D 1 2 E 【 分析 】 根据等腰三角形“三线合一” 的性质，可作顶角 BAC的平分线， 来获取角的数量关系 . A B C D 1 2 E 解：作 BAC的平分线 AE,交 BC于点 E,如图所示，则 11 = 2 = . 2 BAC AB=AC, AE BC. 2+ ACB=90 . BD AC, DBC+ ACB=90 . 2= DBC. BAC= 2 DBC. 解： AD 是 BC 的垂直平分线， AB =AC， BD=CD. 点 C 在 AE 的垂直平分线上， AC =CE, AB=AC=CE, AB+BD=DE. 例 3 如图 ， AD是 BC的垂直平分线 ， 点 C 在 AE 的 垂直平分线上 ， AB， AC， CE 的长度有什么关系 ？ AB+BD与 DE 有什么关系 ？ A B C D E 考点三 线段垂直平分线与角平分线的性质 【 分析 】 运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间 的转化即可 . 常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平 分线上的点到线段两端的距离相等 ” 进行线段之间的 转换来求线段之间的关系及周长的和差等 ,有时候与 等腰三角形的”三线合一”结合起来考查 . 方法总结 例 4 有公路 l1同侧、 l2异侧的两个城镇 A， B，如图 . 电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求， 发射塔到两个城镇 A， B的距离必须相等，到两条 公路 l1， l2的距离也必须相等，发射塔 C应修建在什 么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注 明点 C的位置 (保留作图痕迹，不要求写出画法 ). 【 解析 】 利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题 . 解：根据题意知道 ， 点 C应满足两个条件 ， 一是在线 段 AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分 线上 ， 所以点 C应是它们的交点 . (1)作两条公路夹角的平分线 OD或 OE; (2)作线段 AB的垂直平分线 FG； 则射线 OD,OE与直线 FG的交点 C1， C2就是所求的 位置 . 3.如图，在 ABC中， DE是 AC的 垂直平分线， AC=5厘米， ABD 的周长等于 13厘米，则 ABC的 周长是 . C 18厘米 A B D E 针对训练 4. 如图所示，已知 ABC中， PE AB交 BC于点 E， PF AC交 BC于点 F， 点 P是 AD上一点，且 点 D到 PE的 距离与到 PF的距离相等，判断 AD是否平分 BAC，并 说明理由 解： AD平分 BAC理由如下： D到 PE的距离与到 PF的距离相等， 点 D在 EPF的平分线上 1 2 又 PE AB， 1 3 同理， 2 4 3 4， AD平分 BAC A B C E F D ( 3 4 1 2 P 考点四 本章的数学思想与解题方法 分类讨论思想 例 5 等腰三角形的周长为 20cm,其中两边的差为 8cm, 求这个等腰三角形各边的长 . 【 解析 】 要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况 . 解：若腰比底边长，设腰长为 xcm,则底边长为（ x 8)cm， 根据题意 得 2x+x 8=20,解得 x= , x 8= ; 若腰比底边短，设腰长为 ycm,则底边长为 （ y+8)cm,根据 题意得 2y+y+8=20,解得 y=4, y+8=12,但 4+4=812,不符合 题意 . 故此等腰三角形的三边长分别为 28 3 4 3 28 cm, 3 28 cm, 3 4cm. 3 根据等腰三角形的性质求边长或度数时，若已知 条件未明确所给的角是顶角还是底角、所给的边是腰 还是底边时，要分两种情况才能使答案不致缺漏，同 时，求出答案后要和三角形的内角和定理及三角形三 边关系对照，若不符合，则答案不成立，要舍去，这 样才能保证答案准确 . 方法总结 5.若等腰三角形的两边长分别为 4和 6，求它的周长 . 解：若腰长为 6，则底边长为 4， 周长为 6+6+4=16； 若腰长为 4，则底边长为 6， 周长为 4+4+6=14. 故这个三角形的周长为 14或 16. 针对训练 生 活 中 的 轴 对 称 轴对称 现象 两个图形成轴对称 轴对称图形 对称轴 简单的轴 对称图形 等腰三角形的性质 轴对称图形的性质 对称性 “ 三线合一” 底角相等 线段垂直平分线上的点到这条线段 两个端点的距离相等 角的平分线上的点到这个角的两边的 距离相等 应用 图案设计 计算与推理 课堂小结 课后作业 见章末练习
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