《量子统计南大》PPT课件

第八章、玻色统计和费米统计 (一 )、热力学量的统计表达式 1e M B 分布 1;1 ee 则量子效应就必须考虑， 需要用量子统计 1le a ll ：玻色分布 ：费米分布 我们引进巨配分函数 ： ll l e 1 l n l n 1 ll l e lnl l N （ ， ， y）的函数 取对数： 平均粒子数： ln1 1 yyey Y l l l l ll l ln 1 l ll l ll le U 总能量： 外界对系统的广义力： 利用上述公式得到： dyyddd lnlnlnln NddY d ydU lnlnln 对于一个孤立的系统，粒子数目的变化为零，有： lnlnln0 dY d ydUNd dSdQT 1 lnlnlnddQ 根据热力学第二定律： Tk B 1 lnlnlndkdS lnlnlnkS 根 据 ln 的定义，以及最可几分布给出的参数间的关系， 可以得到玻尔兹曼关系式： ，其中我们已经取积分常数为零。 lnkS 对于一个开放的系统，粒子数目的变化不为零，有： 在热力学中，我们知道： kTkT ;1 lnlnlndkdS 。 lnkS NddY d ydU lnlnln lnlnln dNdY d ydU dSNdY d ydUT 1 lnlnlnkS 对于遵从玻色、费米分布的系统，只要求出了系 统的巨配分函数的对数 ln，就可以求出系统的 平均粒子数、内能、物态方程、熵等，从而确定 系统的所有的平衡性质。 ln是以 ， ， y（对 应简单系统，即： T， V， ）为自然变量的特 征函数。热力学中知道，这种系统的特征函数是 巨热力势 J U TS N。这样，我们得到巨热 力势用 ln表示的形式： 。 所以：知道粒子的能级和简并度，就可以求出所 有的热力学函数，确定系统的平衡性质： lnkTJ lnN lnU ln1 VP lnkTJ lnlnlnkS (二 )、弱简并的玻色和费米气体 我们知道，一般气体满足经典极限条件，可以用玻 尔兹曼分布处理。这种气体称为 非简并性气体 。需 要利用玻色和费米分布讨论的气体称为 简并气体 。 首先，讨论弱简并的玻色、费米气体的特性。 为了简单，不考虑分子的内部结构。只有平动自由度， 分子的能量为： 。 在体积 V内，在能量从 到 d的范围内，分子可能的 状态数目为： 2222 1 zyx pppm dm h VgdD 2/12/3 3 2 2 g为粒子的自旋自 由度引入的简并度 0 2/1 2/3 3 12 2 demh VgN 系统的总分子数满足：据此可以求出系数 。 0 2/3 2/3 3 12 2 demh VgU x 系统的内能 U为： 两个被积函数的分母可以写成： 令： 在 e1的情况下， e-x是一 个小量，因此可以将右式中 括弧内的项展成级数。只取 前两项，有： xxx eee 1 1 1 1 xxx ee e 11 1 eehm k Tgk TVU 2/5 2/3 2 2 112 2 3 eehm k TgVN 2/3 2/3 2 2 112 两式相除得到右式： eN kTU 24 11 2 3 上式中第一项是根据玻尔兹曼分布得到的内能；第二项是在 考虑弱简并情况下，由微观粒子的全同性原理引起的粒子统 计关联所导致的附加内能。值得注意的是：该附加内能对玻 色气体为负；对费米气体为正。可以认为： 粒子的统计关联 使得费米粒子出现排斥作用，玻色粒子出现等效的吸引作用 。 eN k TPV 24 11 UPV 3 2 (三 )、玻色爱因斯坦凝聚 前面讨论过非简并和弱简并玻色气体的情况。现在我们讨论 简并理想玻色气体 的情况以及其 在动量空间中的凝聚现象。 为了简单，假设粒子的自旋量子数为零，根据玻色分布，有： 1 le a ll kTkT ;1 由于处在任意能级上的粒子数 目不能为负数。所以： 0 1e x p kT a l l l 00l 理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。 如果假设粒子的最低能级（基态）能量 0， 则有： 0，可以求出： n V N kT V l l l 1e x p 1 化学势 为温度 T和粒子数 密度 n的函数。 化学势 为温度 T和粒子数密度 n的函数。 在粒子数密度 n不变的情况下，温度越 低，化学势越高。 n kT d m h 0 2/1 2/3 3 1e x p 2 2 如果上式可以用积分代替，则有： 化学势随着温度的下降而上升。当温度趋于 某一临界温度 Tc时，化学势将趋于零（假设 基态能量 0）。 n kT dm h c 0 2/1 2/3 3 1/e x p2 2 2/323/23/52 n mk T c 当温度降低到临界温度 Tc时， 临界温度 Tc由下式计算： 0 0 粒子能 级 T， 这说明，在利用积分式求化学势 时，当温度低于 Tc 后，我们不可能获得负的化学势。这显然与理想玻色 气体的化学势始终为负值相矛盾。 式中，实际上基态（能量 0的能级） 的贡献被忽略了。在温度足够高时， 问题不大。因为基态上的粒子数目 很小。 n kT d m h 0 2/1 2/3 3 1e x p 2 2 在低温情况下，粒子将尽可能占据能量低的能级。由 于玻色子在能级上的占据数目不受限制，因此在温度 趋于绝对零度时，基态上的粒子数目将会很大。因而 不能忽略。在 TTc时，有： n kT dm h Tn 0 2/1 2/3 30 1/e x p2 2)( 第一项为基态的贡献；第二项 为激发态的贡献。计算中取 =0。 首先我们计算在 TTc时激发态对粒子数密度的贡献 n。 2/3 0 2/1 2/3 30 1/e x p2 2 cT Tn kT dm h n 那么基态对离子数密度的 贡献为： 2/3 00 1)( cT T nnnTn 这说明，在 TTc时，玻色粒子将在基态（能级 0）上凝聚。 其粒子数密度 n0与总的粒子数密度 n具有相同的量级。这一现 象称为 玻色爱因斯坦凝聚 （ Bose-Einstein-Condensation)， 温度 Tc称为凝聚温度。凝聚在基态上的粒子的能量和动量均为 零、系统的熵也为零： 动量空间的凝聚。 在 T0上的粒子的能 量和。 2/3 0 2/32/3 3 7 7 0.01/e x p2 2 cT TN kT kT dm h VU 2/3 9 2 5.1 cT V T T Nk V U C 定容热容量为： 在 TkT， e0K时，有： 温度不为零时，在与 相差 kT量级的范 围内分布函数发生了变化。热激发将 电子激发到能量稍高一些的能级上。 0FkT 2/10 2/1 12/1 f f f 从图中看出，温度 T下，同 0K时相比，只有在费米能级附近 的分布发生了改变。所以： 只有费米能级附近的电子对热容 量有贡献。 粗略估计以下。假设对热容 量有贡献的电子数目为： NkTN e ff 利用能量均分定理，金属中自由 电子对热容量的贡献为： F e ffeV T TNkkTNkkNC 2 3 2 3 2 3 在室温范围内， T/TF1/260，所以，电子的贡献很小，可忽略。 对自由电子气体的热容量进行定量计算。化学势由下式决定。 利用右式求出化 学势后，可以计 算系统的内能： 对于粒子数和内能分别为： N kT dm h V 0 2/1 2/3 3 1e x p 24 0 2/3 2/3 3 1e x p 24 kT dm h VU 这两个积分式子 可以写成： 0 1e x p kT dI 2/32/1 ; CC 2/33 24 mh VC kTx 令 粒子数和内 能分别为： 可以证明： . . . 6 . . . 1 2 2 2 0 0 2 0 kTd dx e x kTdI x 222/3 813 2 kTCN kTx 有： kT d xdkT x 222/5 8 51 5 2 kTCU 3/2223/2 8 1 2 3 kT C N 当 T0K时， 利用 kT/(0)代替 kT/ ，有： 032242 3 2 3 3/2223/2 2/3 33/2 V N mmV hN C N 223/222 012 10 08 10 kTkT 22 012 510 5 3 kTNU系统的内能近似为： 热容量近似为： 02 2 kTNk T UC V e V F e ffeV T TNkkTNkkNC 2 3 2 3 2 3 前面的粗略估计为：两者相差一个系数。 由于费米温度很高，在常温下电子对热容 量的贡献可以忽略不计。 但是当温度很低 时，由于离子振动的贡献按照 T 3衰减，电 子热容量不能忽略不计。 以 Cu为例， D 345K， TF 7.8X104 K。 02 2 kT Nk T U C V e V 34 5 4 3 D i V T NkC 单位时间内，碰到单位面积的金属表面上，动量在 dpxdpydpz 范围内的电子数目为： 满足 x的电子可以摆脱金 属的束缚到达金属外。发射 电流为： 1 2 222 2 13 zyx pppm zyxx x e dpdpdpv h dnv 1 2 22 2 13 zyx ppm zyx x e dpdpd h dnv (六 )、热电子发射 zy pp m x yy dpdpe h kT e e d dpdp h ej zyx 1ln 2 1 2 3 2 13 22 222 11 zy ppmWkT 在一般情况下， 1： ee )1l n ( kTW zy ppm k TkTW ekT h medpdpee h k Tej zy 232 1 3 42 22 功函数 W一般是电子伏特的量级，因此一般在高 温下（ 103K）才会发生可观的热电子发射。功函 数越大，发射需要的温度越高。同样的温度下， 功函数小的发射电流大。