数字滤波器设计方法

数字系统综合 -数字滤波器设计方法 - 概述 什么情况下采用数字系统设计 从历来的比赛题 ,看数字系统的应用优势 数字系统设计的知识准备 数字信号处理理论 离散时间系统的分析综合和实现 模拟滤波器 数字滤波器 数字信号处理的一般概念 DSP 的两个重要工具 FFT 数字滤波 关于 FFT 1 0 ( 2 / ) , , : 0 1 N nm m n N n jN N X x W n m N We 上述 DFT变换要进行 N2 次 乘法运算 利用 Sin 函数的对称性和周期性 ,可删减大量的重复 运算 , N越大 ,运算的浪费越大 减小样本点数 N的一个方法 : - 将大的样本分解为 小的样本 利用 Fourier积分变换的线性性质 ,将小样本分别变换 的结果 ,合成为 N个点的变换 . 由大分解为小的方法之一 :-隔点抽取法 关于 FFT 线性积分变换的三个性质 : 两个序列之和的变换 ,等于两者分别变换之和 (线性 叠加性 ) 序列时移 ,对应于变换域的相移 (时移 相移 ) 序列样点的间隔变换对应于变换域的频率变换 (尺度变换 ) 利用这三个性质 ,将 N点序列 分解 为两个 N/2长度的 序列 ,分别变换 . 对变换结果进行 合成 ,合成时 ,要补偿相位的偏移量 . 关于滤波器 电路系统中储能元件 L,C的存在 ,它们与电路中的 R 一起 ,产生信号传输的 延迟 延迟的效果 ,对于不同的频率信号 ,作用不一样 ,产 生了 滤波 作用 . -产生 滤波过程的实质 ,是电路中存在延迟 -低频的滤波对应于大的延时 其他的 延迟 信号的方法 开关电容 -开关电容滤波器 数字存储延迟 -数字滤波器 开关电容滤波器 1TR C fC 用小电容 ,即可实现大值电阻 ,便于集成 改变 f, 即可改变电阻 R, 通过改变 RC时间常数 (延 时 ),改变滤波器特性 ,实现程控 开关电容滤波器 ,是时间离散 ,幅度为模拟量的系统 . 数字滤波器 采用逐级数字存储的方法 ,来控制延迟时间 , 可以实现任意长时间的延时 ,因而实现任意低频 的滤波 对延时序列中的各个样点值 ,加权求和输出 , 即完成了滤波 (FIR) 离散时间系统 : 差分方程 传递函数 关于 Z变换 11 11 1 1 11 01 2 2 1 ( ) : ( ) ( ) ( ) : : () ( ) ( m m sT s T s T s j N N n n n n NN nn nn nn N n n n N j j m T jT N n N X x xeW Four i e r m Ze Z e e e Xx x x Z Z e Z ZZ x 序 列 的 变 换 为 令 序 的 散 变 换列 为 离 () () () YZ HZ XZ 传 递 函 数 ( 滤 波 器 ) 二阶滤波器 高阶分解为一阶和二阶的节联组合 全极点二阶 ,代表一个谐振型的滤波器 . 它描述的极点位置如下图 12 12 1() 1HZ b Z b Z N 1i i i M 0i i i zb1 za )z(H 滤波过程的直观理解 1 0 ( ) ( ) ( ) N k y n h k x n k 差 分 方 程 1 0 ( ) ( ) N n n H Z h n Z 传 递 函 数 0 2 二阶节数字滤波器的极点位置 1 2 2 2 2, a r c c os , 2 01 22 rb b b b b 单位园 R=1 0 1 2 2 sa mp sa mpf f T f 一个二阶谐振型滤波器的幅频特性 三个参差调谐二阶谐振型滤波器级联后的幅频特性 三个二阶级联 ,满足带宽要求 ,和边带衰减速度 1 12 12 () 1 aZHZ b Z b Z 加 有 零 点 的 二 阶 滤 波 器 以上设计过程 ,注重了介绍数字滤波器的物 理概念 ,可以满足 幅频特性 的要求 . 对滤波器的 相频特性 有要求的滤波器设计 , 应采用 逼近函数 的设计方法 根据模拟滤波器来设计 IIR滤波器 根据模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波 器传递函数 Ha(s)设计数字滤波器传递函数 H(z)。因此，它归根到 底是一个由 s平面到 z平面的变换，必须满足两条基本要求： H(z) 的频响要能模拟 Ha(s)的频响，即 s平面的虚轴必须映射到 z 平面的单位圆 e j上。 因果稳定的 Ha(s)应能映射成因果稳定的 H(z)。也就是 s平面的左 半平面 Res0应该映射到 z平面的单位圆以内 |z|1。 不同的变换是通过保留模拟或数字滤波器的不同方面的特性 得到的。如果我们想保留冲击响应的形状，我们得到脉冲响应不 变法变换；如果我们想把一个差分等式的表达转换成相应的差分 方程，我们得到有限差分逼近技术。而另一种叫做“阶跃不变” 的技术保留了单位阶跃响应的形状。此外，应用最为广泛的是 “双线性变换法”，其保留了模拟域装换到数字域过程中的的系 统函数。 总结而言，模拟滤波器到数字滤波器的映射问题主要有两种映射 方法： 脉冲响应不变法 和 双线性变换法 ，对这两种方法简要介绍 如下： 脉冲响应不变法 这种设计方法的思想是使数字滤波器的冲击响应与频率选择性的模拟滤波器相似。 因此我们以采样间隔来采样模拟滤波器冲击响应 ha(t)来获得数字滤波器的冲击 响应： h(n)=ha(nT) 其中模拟与数字频率的关系如下 T 。 由于 z=在单位圆上，而在虚轴上，我们有如下平面到平面的变换公式： z=e sT (1) 系统函数 H(z)与 Ha(s)之间有如下的 频域混叠 公式相对应： 这是 多对一 的映射。 由于整个 S平面的左半边映射到单位圆，因此一个因果稳定的滤波器映射到另一 个因果稳定的滤波器。 总会有 混叠现象 发生。 多对一的映射 z=e sTIm(z)Re(z)单位圆 k- 12( ) ( )T aH Z H s jk T 多对一的映射 z=e sT Im(z) Re(z) 单位圆 双线性变换法 这种映射其变换关系如下： (3) 在频域 不会有混叠 现象发生。其数字与模拟频率之间的映射关系如下： 由此可见模拟频率与数字频率之间是 非线性 的映射，在低频阶段，线性性质还 比较好，但高频段非线性比较严重。 一对一的映射 z=e sTIm(z)Re(z)单位圆 一对一的映射 z=e sT Im(z) Re(z) 单位圆 利用 MATLAB设计 1,明确要求 ,例如给出幅度平方特性曲线 2,采用标准 3,确定希望的硬件和软件结构 4,根据滤波器的要求特点 ,选择逼近函数 形 式 ,输入参数 ,调用辅助设计工具 6,人工干预 :选择结构 5,对设计的滤波器模拟仿真 MATLAB设计例 采用标准 :GB3241-82 和国际标准 IEC225 规定的滤波器相对衰减限值。我们 的滤波器设计指标将比标准 GB3241-82和标准 GB3241-82更为严格；而真正 设计出的滤波器的实际指标在某些方面又超过了我们将要介绍的部分情况。 下面是根据 IEC-225标准设计的滤波器 ,用于音频频谱分析仪中 . 1/3 二倍频程带通滤波器 的规定，我们的滤波器的主要 设计要求指标 ： 幅频特性的函数为 H=H（ f） 中心频率为 fc, 通带为 fpl， fph， 阻带为 fsl， fsh之外的部分。 带内波动小于 0.5dB, 阻带衰减大于 36dB。 具体要求如图 1所示： 之外f s h , f s l 3 6 d B|H ( f )| f p h , f p l f 0 .5 d B|H ( f )| 2 ( 1 / 3 )*fcf s h 2 ( - 1 / 3 )*fcf s l - 3 d BH ( f p h ) , 2 ( 1 / 6 )*fcf p h - 3 d BH ( f p l) 2 ( - 1 / 6 ) ,*fc f p l fsl fpl fc fph fsh 0dB -0.5dB -3dB -36dB 借助 Matlab的辅助设计，我们得到的三个 1/3 二倍频程带通滤波器都是采用 椭圆 滤波器原型的 8阶 IIR滤波器。 选择结构形式的考虑 : IIR滤波器的实现结构分为直接 I型，直接 II型，级联型和并联型。直接型结 构对系数 ai和 bi的精度要求比较严格。从极零点的角度来看，任何一个系数 ai的 改变都将影响系统各零点的分布；同样，任何一个系数 bi的改变都将影响系统各 极点的分布。当阶数 N较高时，这种影响将更大。 将高阶变成一系列不同组合的 低阶系统来实现。而对于级联结构来说，各二阶节点的极零点相对独立，因此 它有一定的独立性，也便于调整。 对于并联型结构，可以独立的调整其极点位 置，但是不能控制零点。对于运算误差，并联的各基本节不互相影响，而级联 型前级的输出误差有座位后级的输入误差，因此，并联型结构比级联型结构的 运算误差要小一些。总之，当对传输零点的精度要求较高时，采用级联型较为 合适，其他情况，采用并联型结构稍好一些。零点对于我们的系统来说对应着 带外的衰减，这是滤波器很重要的设计指标。因此我们采用级联型结构。级联 型的 IIR结构如图 5.3所示。其中二阶节有两种实现结构：直接 II型和直接 I型，前 者比后者 节省一半的延时单元 。因此我们 采用直接 II型来实现二阶节 。 考虑具体的实施 该设计在 TMS32054xx 的 DSP系统中实现 ,在 CCS开发环境中开发 . CCS所提供的用于信号分析处理的函数库 dsplib中， IIR滤波器的计算是由二 阶节的并联组成的。每个滤波器采用直接二型的结构。 三个八阶椭圆 1/3 二倍频程带通滤波器的系数表如表 5.3所示，其幅频特性曲 线及零极点图如图 5.75.9所示： 直接 II 型 直接 I 型 三个八阶椭圆 1/3 二倍频程带通滤波器的系数表如表 5.3所示，其幅频特性曲线及零极点图如图 5.75.9所示： th order 1/3倍频程 椭圆带 通滤波器中心频率 22.3KHz b0 b1 b2 1 a1 a2 Biquad I 1 -0.8195 1 1 0.78207 0.80199 Biquad II 1 1.8513 1 1 1.1341 0.82553 Biquad III 1 0.15978 1 1 0.59391 0.92932 Biquad IV 1 1.6094 1 1 1.369 0.94671 表 5.3.1 中心频率 22.3KHz的 1/3 二倍频程带通滤波器的系数表 th order 1/3倍频程 椭圆带 通滤波器中心频率 17.7KHz b0 b1 b2 1 a1 a2 Biquad I 1 -1.1998 1 1 0.04561 0.84928 Biquad II 1 1.4466 1 1 -0.14891 0.8519 Biquad III 1 -0.52651 1 1 -0.14891 0.94724 Biquad IV 1 0.91018 1 1 0.5645 0.94929 表 5.3.2 中心频率 17.7KHz的 1/3 二倍频程带通滤波器的系数表 th order 1/3倍频程 椭圆带 通滤波器中心频率 14.0KHz b0 b1 b2 1 a1 a2 Biquad I 1 0.8064 1 1 -0.3229 0.8779 Biquad II 1 -1.4460 1 1 -0.5700 0.8816 Biquad III 1 0.1334 1 1 -0.1784 0.9569 Biquad IV 1 -1.0058 1 1 -0.7362 0.9599 表 5.3.3 中心频率 14.0KHz的 1/3 二倍频程带通滤波器的系数表 中心频率 22.3KHz的 1/3 二倍频程带通滤波器的幅频特性曲线 中心频率 22.3KHz的 1/3 二倍频程带通滤波器的零极点图 中心频率 17.7KHz的 1/3 二倍频程带通滤波器的幅频特性曲线