《轴向拉伸和压缩》PPT课件

第一章 轴向拉伸和压缩 1-1 工程实际中的轴向拉伸和压缩问题 1-2 拉伸和压缩时的内力 1-3 截面上的应力 1-4 拉伸和压缩时的变形 1-5 拉伸和压缩时材料的力学性能 1-6 拉伸和压缩时的强度计算 1-7 拉伸和压缩超静定问题 1-8 应力集中的概念 1-9 变形能的概念 1-1 工程实际中的轴向拉伸和压缩问题 拉伸或压缩杆件大多数是 等截面直杆 ，其特点是： 一、受力特点 在杆两端受一对大小相等、方向相反的力， 力的作用线与杆的轴线重合，若两端的两个 力向外，则是拉伸，向内则是压缩； 有一些杆受到两个以上的轴向外力作用，仍属于拉 压杆。 二、变形特点 杆件沿轴线方向伸长或缩短。 1-2 拉伸和压缩时的内力 一、内力的概念 定义： 所研究物体内部一部分 对另一部分之间的作用力。 特点 物体内部： 方向相反： 大小相等： 成对出现： 二、轴力和轴力图 轴力 : 作用线与杆件轴线重合的内力。轴力背离截面 时称为轴向拉力，规定为正值，指向截面时称为轴向 压力，规定为负值。同一截面两侧的轴力大小相等， 符号相同。 N N P P P P 轴力 N(N)的符号为正 N N P P P P 轴力 N(N)的符号为负 轴力图 : 在平面坐标系用横坐标表示杆件横截面位置， 纵坐标表示轴力大小，并标明其符号的图形。 三、截面法 1.概念： 用任意一截面假想地把杆件截成两个单元体， 以显示并确定内力的方法。 2.步骤 截： 欲求某一截面的轴力，就假想用一截面把杆截成 两个单元体，取其中的一个单元体为研究对象，移去 另一个单元体； 代： 用轴力代替移去单元体对保留单元体的作用，一 般假定其符号为正 (即拉向轴力 )； 平： 建立平衡方程，由已知外力确定未知轴力。 3.【 例 1-1】 求杆的轴力并画出轴力图 NAB A PA=P A PA=P B PB=2P C PC=4P D PD=2P E PE=P 【 解 】 1)根据载荷“突变”情况，采用截面法从左 至右分段列平衡方程求各段的轴力 : AB段 : 0 NPF ABAix BC段 : 0 NPPF BCBAixNBC A PA=P B PB=2P PPN AAB PPPN BABC 3)( A PA=P B PB=2P C PC=4P D PD=2P E PE=P 0 NPPPF CDCBAix CD段 : DE段 : 0 NPPPPF DEDCBAix A PA=P B PB=2P C PC=4P N CD PPPPN CBACD )()( PPPPPN DCBADE )()()( A PA=P B PB=2P C PC=4P D PD=2P N DE 2)画轴力图 : A B C D E + + 单元体上背离截面的外力在截面上产生正的轴力，指 向截面的外力在截面上产生负的轴力 ; 轴力的大小等于外力的大小 ; 截面上总的轴力等于单元体上的所有外力产生的轴力 的代数和。 P 3P P P 1-3 截面上的应力 一、应力的概念 内力在截面上的密集程度称为 应力 。即： dA dP A Pp A 0lim 将 P沿截面分解成法向内力 N和切向内力 T 。 dA dN A N A 0lim 称为 正应力 ，它垂直于 截面，并规定拉应力为 正值，压应力为负值。 dA dT A T A 0lim 称为 剪应力 ，并规定使单 元体 绕其上任一点 顺时针 转的为正，反之为负。 + - + - P P 单位： 国际单位为 帕 斯卡 ，简称帕，用表示 Pa。其常 用单位有 兆帕 (MPa)、 吉帕 (GPa)等。 mN1P1 2a 换算关系： P10kP10MP10PG1 a9a6a3a 二、横截面 (与轴线垂直的截面 )上的应力 取等截面直杆作拉伸实验。 拉伸前 : ab、 cd为直线且 均垂直于轴线 。 a b c d a b c d 拉伸后 :ab、 cd仍为直线 且均垂直于轴线， ab 与 cd 间距离变大，杆变细。 1)变形前的横截面，变形后仍保持为垂直于杆轴的 平面，即 平面假设 。 2)任意两横截面间纵向纤维伸长量 (或缩 短量 )是相等的，即应力是均布的。故： AN P P a b c d 1-4 拉伸和压缩时的变形 一、绝对变形和相对变形 1. 拉压试验引起杆件尺寸变化情况 P l1 d1 l d P 拉伸试验 绝对变形 00 1 1 ddd lll P P 压缩试验 绝对变形 00 1 1 ddd lll 2. 相对变形 (线应变 ) l l 纵向线应变， 无量纲，拉伸为正， 压缩为负。 d d 横向线应变， 无量纲，拉伸为负， 压缩为正。 l d l1 d1 3.泊松比 当拉压杆件的应力不超过 材料比例极限时，横向线 应变 与纵向线应变 之比 为一常数，其绝对值称为 泊松比 ，用 表示。 即： | | 或 二、虎克定律 E 即：构件的应力未超过材 料的比例极限时，其应力 与应变成正比。 E 材料的 弹性模量 ，与 应力量纲相同。 虎克定律的另一表达式 EA Nll EA 构件的 抗拉 (压 )刚度 若构件在第 i段标距 li内 Ei、 Ai、 Ni为常数，则变形为 n i ii ii AE lNl 1 x tAtE dttNx 0 )()( )()( 若构件 E(x)、 A (x) 、 N (x) 为截面位置 x的连续函数， 则变形为： 1-5 拉伸和压缩时材料的力学性能 这里仅研究材料在 常温静载 下的机械性质。 一、低碳钢拉伸时的力学性能 1.标距 l0： 试样中段用于测量拉伸变形的部分。 2.试样技术要求： 对圆截面试样要求其标距满足 l0=10d0 或 l0=5d0 。 l0 d0 3.拉伸实验图 A B P f O 弹性阶段 A 段 特征： 在 OAB段任何处御除载荷后，曲线能沿原路返 回。其中 OA段为一直线，即应力与应变成正比，比例 系数为弹性模量 E，且 E为直线 OA的斜率；与 A点对应 的应力称为 比例极限 ，即是材料应力与应变成正比的 最大应力。 应力超过比例极限时，应力与应变不再成正比关系即 AB段是微弯曲线。 B点对应的应力称为 弹性极限 。 C D s (不连续 )屈服阶段 BCDE段 特征： 在过 B点至试样断裂的整个过程的任何地方卸除 载荷后曲线均不能沿原路返回，只能沿与 OA平行的直 线返回。试样表面将出现与轴线成 45左右的滑痕，材 料发生永久变形称为 塑性应变 。如果此时再加载，曲 线将沿与 OA平行的直线上升至原卸载点。 过 B点后变形增加较快而应力增加不显著，对应于 C点 的应力称为 上屈服点 。过 C点后不计初始瞬时效应时的 最低点 D称为 下屈服点 。从 D点后曲线上将出现近乎水 平的微小波动段。一般取 D点对应的应力为 屈服极限 。 A B P f O E 强化阶段 EFG段 特征： 与弹性阶段相比，应力增加缓慢，变形增加 较快，变形大部分属于塑性变形，曲线最高点 G对 应的应力称为 强度极限 。如果此时卸载，曲线将沿 FO1下降，再加载，曲线将沿 O1F上升，比例极限 和塑性极限都将增大，该过程称为 冷作硬化 。冷作 硬化现象经退火后可消除。 F G b O1 E A B C D P f s O 局部变形 (颈缩 )阶段 GH段 A B C D F E G P f s O1 b O H O2 特征： 过 G点后，变形集中在试样的薄弱地方，横向 尺寸急剧缩小，出现“颈缩”现象，虽然曲线下降但 由于横截面尺寸较名义值变小，实验证明颈缩截面上 的实际应力却是一直在增加，最后沿横截面断裂。 此时的残余应变 OO2()称为 延伸率 。 4.延伸率 与截面收缩率 延伸率与截面收缩率反映材料塑性性能指标。 %1 0 0 0 01 l ll n 延伸率 l0 试件原来的标距段长度。 l1 试件拉断的标距段长度。 n 试样标距直径比。 截面收缩率 00 0 10 100 A AA A0 试件原来横截面积。 A1 试件断裂后断口处的横截面积。 一般称 5的材料为 塑性材料 ，如低合金 钢、碳素钢、青铜等； 1 安全因数 对塑性材料： n s s 对脆性材料： nb b ns、 nb分别为按屈服极限和强度极限规定的安全因数， 一般地 nsnb。 * 3.影响安全系数的因素 确定安全系数一般应考虑的因素 : 材料的均匀程度； 载荷估计的准确性； 计算方法方面的简化和近似程度； 构件加工工艺，构件工作条件；构件的重要性。 一般在常温静载情况下，塑性材料的安全系数 ns=1.52.0，脆性材料安全系数 nb=2.53.0。 二、强度计算 1.强度条件 : A N 杆件横截面上的工作应力； N 横截面上的轴力； A 横截面面积； 材料的许用应力。 2.应用 强度校核 AN 设计截面： 最大工作应力是否超过材料的许用应力。 NA 求许可载荷： AN 3.例题 【 例 1-2】 图示等厚度直杆， BC段加工有一槽。已知： 弹性模量 E = 200 GPa，许用应力 =220MPa， l=200。 尺寸单位为 mm，力的单位为 kN。 1)作 该杆的轴力图； 2)计算伸长量 lAE； 3)校核杆的强度。 【 解 】 1)根据杆上的载荷“突变”情况分段画轴力图： 20 kN 10 kN C D E A B + 10 10 20 10 l l l l A B C D 10 30 20 E 2)计算伸长量 lAE )( DE DE CD CD BC BC AB AB DECDBCABAE A N A N A N A N E llllll 3)校核强度 M Pa1 0 01020 1020 3 AB AB AB A N M Pa200 1010 1020 3 BC BC BC A N M P a501020 1010 3 CD CD CD A N M Pa100 1010 1010 3 DE DE DE A N 因 M Pa200|)|,|,|,m a x ( | DECDBCAB 故该杆安全。 mm 15.0)1010 10101020 10101010 10201020 1020(10200 200 3333 3 【 例 1-3】 图示结构中，圆杆 AB直径 dAB=30mm，许用 应力 AB=120MPa，圆杆 BC直径 dBC=20mm，许用应 力 BC=160MPa，不考虑结构自重。 (1)求其所能承受 的最大载荷 W？ (2)若载荷的最大值 W=100kN，求两杆 的最小直径。 【 解 】 1)设 AB杆、 BC杆的内力如图示。 060s in 060c o s WNF NNF ABiy ABBCix A B C 60 W NBC 60 W NAB 2)AB杆、 BC杆能承受的最大载荷： 3 8 2 AB ABAB AB AB d W A N 3 4 2 BC BCBC BCBC d W A N 360c o t 3260s in WWN WWN BC AB kN5.738 3 2 ABABdW kN1.874 3 2 BCBCdW 故最大载荷为 73.5kN。 3)AB杆、 BC杆的最小直径： mm35 101203 101008 3 8 3 8 6 3 2 ABABABABAB AB AB Wd d W A N mm4.21101603 1010043 43 4 6 3 2 BCBCBCBCBC BC BC Wd d W A N 【 例 1-4】 图示蒸气机气缸内径 D=560mm，蒸汽压力 p=2.5MPa， 活塞杆直径 d=100mm，许用应力 =76MPa。气缸和缸盖用螺栓连 接，螺栓内径 d1=30mm，许用应 力 t=60MPa。校核活塞杆强度 并计算缸盖所需螺栓个数 n。 D p p d 1 d 【 解 】 1)校核活塞杆强度 D d p p N kN596105.210)100560( 4 )( 4 0 6622 22 pdDPNPNF ix 活塞杆的工作应力为： M P a9.75Pa10100 105964 62 3 AN 2)计算螺栓个数 n 螺栓在工作中受拉伸，总拉力等于气缸盖所 受的总推力 P，则每个螺栓的轴力 。 nPN 1 1410601030 1059644 662 3 2 1111 1 1 tt t d P A Pn nA P A N 由螺栓的强度条件得： p p d 1 d D N1 【 例 1-5】 图示均质正圆锥台密度为 ，高 为 h，上、下底面直径分别为 d、 D。 写出 其在自重作用下的轴力、应力和变形公式。 x dx h dx N(x) N(x)+d N(x) 【 解 】 取单元体作受力分析 0)()()()( xdNxNdxxAgxNF iy dxxgAxdN )()( dxxAg )( d h dDxhxAx )( 4)( 2 横截面面积因 )()(12 )()( 334 hdhddDxhh dDgxN 故 )( )()( 3 )( )( )()( 2 3 2 hddDxh hdhddDxh h dDg xA xNx 故 hx dxxAgxN )()( dx xd dx xxdxx )()()()()( 设 x横截面变形为 (x)， (x+dx)横截面变形为 : (x)+ d(x) 由线应变的定义得： 由虎克定律得： E x dx xdx )()()( E dxxxd )()( x dxhddDxh hdhddDxhhE dDgx 0 2 3 2 )( )()( 3 )()( )( 1 2 )( )( 1 2 )( 3)( 22 2 hddDxh hddDxh hddDh hddDh hE gx 故 dx (x) (x)+ d(x) 1-7 拉伸和压缩超静定问题 一、相关概念 静定问题： 能用静力平衡方程完全求解的问题。 超静定问题： 未知力个数多于独立的静力平衡方程数 目，仅仅根据平衡方程尚不能全部求解的问题。 超静定次数 ： 未知力个数与独立方程个数之差。该差 为一则为一次超静定，为二则为二次超静定等。 二、超静定问题的解法 平衡方程 ： 静力学平衡方程； 物理方程： 变形与内力等的关系； 变形协调方程： 指保持结构连续的变形几何条件。 这是重点和难点。 【 例 1-6】 图示结构中杆 1和杆 2的抗拉刚度为 E1A1，杆 3的抗拉刚度为 E3A3 ，求各杆件的内力。 【 解 】 1)以节点 O为研究对象。 c o s20c o s2 1331 NPNPNNF iy 2)物理方程。 AE lNl 11 111 AE lNl 33 333 3)变形协调方程。 c o s31 ll 4)求解。 c o s2 c o s 31133 211 1 AEAE APEN c o s2 31133 33 3 AEAE APEN 1 2 3 O P P O l c o s 由所求结果知：超静定问题中杆件内力 (或构件约束反 力 )不仅与载荷有关，还与杆件的抗拉 (压 )刚度有关。 【 例 1-7】 已知杆 AB、 AC、 DE 的长度为 LAB、 LAC、 LDE， 杆 AB、 AC的抗拉刚度为 EABAAB、 EACAAC。求杆 AB、 AC的内力。 A 【 解 】 1)静力平衡方程。 0c o ss i nc o ss i n)( LPLNLNm DEACACABABiD F P E C B D FDx FDy 2)物理方程。 AE LNL ABAB ABABAB 3)变形协调方程。 L L L L AC AB AC AB c os c os s in s in AE LNL ACAC ACACAC 4)解方程得： 2s i n2s i n 2s i n2 22 LAELAE LAPEN ACACACABABAB DEABABAB 2 s in2s in 2s in2 22 LAELAE LAPEN ACACACABABAB DEACACAC D B C E B C E A L L CC BB L L AC AB AC AB s in s inc o sc o s 三、装配应力、温度应力 装配应力 在超静定结构中，构件由于制造的几何误差，装配成 结构后虽然未承受外载荷，但在各构件中也存在内力。 这种内力引起的应力称 装配应力 。 计算装配应力的关键在于根据变 形协调条件建立变形几何方程。 【 例 1-8】 图示结构中杆 1和 杆 2的抗拉刚度为 E1A1 ，杆 3 的抗拉刚度为 E3A3 ，制造误 差为 。求各杆装配内力。 O 1 3 O0 O 2 l3 【 解 】 1)以节点 O为研究对象，建立方程： c o s20c o s2 1313 NNNNF iy 2)物理方程。 AE lNl 11 11 1 AE lNl 33 33 3 3)变形协调方程。 ll 13 c o s)( 4)求解。 c o s2 c o s 3 111331 3311 1 AElAEl AEAEN c os2 c os2 3 111331 2 3311 3 AElAEl AEAEN 【 思考 】 装配好后若在 O点垂直向下作用一力 P，该如 何求各杆件的内力？ 【 答 】 令平衡方程右边等于 P即可。 O 1 3 O0 O 2 l3 温度应力 在超静定结构中，构件的长度互相牵制，不能自由收 缩，因此温度变化将导致各构件的长度的变化，使得 构件产生内力，这种内力称为 温度内力 。 由温度内力引起的应力称为 温度应力 。 计算温度应力的关键在于根据变形协调条件建立变形 几何方程和写出正确的物理方程。 【 例 1-9】 图示结构中杆 1和杆 2的抗拉刚度为 E1A1 ，线 膨胀系数为 1= 2 ，杆 3的抗拉刚度为 E3A3 ，线膨胀系 数为 3 。设升温为 T，求各杆的温度内力。 1 2 3 O O 【 解 】 1)以节点 O为研究对象，建 立静力平衡方程： c o s20c o s2 1313 NNNNF iy 1 2 3 O O 2)物理方程。设二力杆 1、杆 2受压， 杆 3受拉，则变形满足： AE lNTll 11 11 111 由温度升高和压 缩内力引起的变形 AE lNTll 33 33 333 由温度升高和拉 伸内力引起的变形 3)变形协调方程。 c o s31 ll 4)求解。 c os2 )c os( 31133 2313311 1 AEAE TAEAEN c os2 c os)c os(2 31133 2313311 3 AEAE TAEAEN 杆 1、杆 2受压，杆 3受拉的假定成立与否由 的符号确定。 c o s 231 【 思考 】 若在 O点垂直向下作用一力 P，该如何求各杆 件的内力？ 【 答 】 令平衡方程右边等于 P即可。 【 思考 】 如果上述结构同时存在装配误差、温度变化、 外载荷，如何求解？ 【 解 】 1)静力平衡方程： 0c o s2 31 PNNF iy 2)物理方程： AE lNTll 11 11 111 由温度变化和压缩内力引起的 变形 AE lNTll 33 33 333 由温度变化和拉伸内力引起的 变形 3)变形协调方程： ll 13 c o s)( 1-8 应力集中的概念 一、 概念 杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象。 二、 应力集中系数 (因子 )k P P m max m k max max m 应力集中处最大应力； 同一截面的平均应力。 三、 应力集中的影响 1. 静载情况 塑性材料 ： 应力集中处的应力首先达到屈服极限，该 处应力保持不变，发生塑性变形。若继续增大外力， 增大的外力由未达到塑性极限部分承担，一般不影响 构件的安全工作，故一般可不考虑。 脆性材料 ： 局部应力达到破坏强度时会引起局部断裂， 故要考虑。 2. 交变应力情况 在交变应力时，对塑性和脆性材料应力集中对构件强 度影响均大。 1-9 变形能的概念 一、 概念 变形能 (应变能 )： 在外力作用下弹性体因弹性变形而 储存的能量。在缓慢加载过程中可不考虑能量的损失， 即认为积蓄在弹性体内的变形能 U等于外力所作的功 W。 比能： 单位体积的变形能。 二、公式推导 P l l l P O x dx P P 设外力为 P时弹性体对 应的变形为 x。 P对元变形量 dx所作 的元功为： dxPdW l P 因线弹性体内力和变形满足虎克定律， l PxP P P l x 故由 l P O x dx P l P 则 dx l PxdxPdW 于是： 20 lPdx l PxW l 外力作的功 W完全转化成弹性体的变形能 U，同时 杆的内力 N=P，故 变形能 为： EA lNlNlPWU 222 2 比能 为： 22 Al lN Al Uu Eu 2 2 2 2Eu 或 或 三、例题 【 例 1-10】 求图示结构中节点 O的位移。 P P O O 【 解 】 1)以节点 O为研究对象，建立平衡方程 。 c o s20c o s2 PNPNF iy 2)两杆的变形能： c o s4 )c o s2( 22 2 222 EA lP EA lP EA lNU 3)P作的功： 2 PW 4)令 U=W得： c os22c os4 22 2 EA PlP EA lP